（福建专用）2013年高考数学总复习第六章第7课时数学归纳法随堂检测（含解析）1．已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，n∈N*，猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．解：由x1＝及xn＋1＝得x2＝，x4＝，x6＝，由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，已证命题成立；(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2，易知x2k>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝－＝＝>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．综合(1)(2)知，命题成立．2．设正整数数列{an}满足：a1＝2，a2＝6，当n≥2时，有|a－an－1an＋1|<an－1.(1)求a3、a4的值；(2)求数列{an}的通项．解：(1)n＝2时，|a－a1a3|<a1，由已知a1＝2，a2＝6，得|36－2a3|<1，因为a3为正整数，所以a3＝18.同理，a4＝54，(2)由(1)可猜想：an＝2·3n－1.证明如下：①n＝1,2时，命题成立；②假设当n＝k－1与n＝k时成立，即ak＝2·3k－1，ak－1＝2·3k－2.于是|a－ak－1ak＋1|<ak－1，整理得|－ak＋1|<.由归纳假设得|2·3k－ak＋1|<⇒2·3k－<ak＋1<2·3k＋，因为ak＋1为正整数，所以ak＋1＝2·3k，即当n＝k＋1时命题仍成立．综上：由①②知∀n∈N*，有an＝2·3n－1成立．1
