（江苏专用）2013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积课时闯关（含解析）[A级 双基巩固]一、填空题1．(2011·高考福建卷)若a＝(1,1)，b＝(－1,2)，则a·b＝________.解析：a＝(1,1)，b＝(－1,2)，a·b＝1×(－1)＋1×2＝－1＋2＝1.答案：12．(2011·高考江西卷)已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a和b的夹角为________．解析：∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2，且|a|＝|b|＝2.∴a·b＝2.∴cos〈a，b〉＝＝，而〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝.答案：3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________.解析：|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×2cos60°＋22＝3.∴|a－b|＝.答案：4．已知a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c垂直，则k＝________.解析：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)，又a－2b与c垂直，∴k＋3＝0，∴k＝－3.答案：－35．(2011·高考广东卷改编)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为________．解析：由线性约束条件画出可行域如图阴影部分，目标函数z＝·＝x＋y，由图可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大值为4.答案：46．(2011·高考上海卷)在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·＝________.5\n解析：如图，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD＝，cos∠BAD＝＝，∴·＝3××＝.答案：7．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的________条件．解析：f(x)＝x2a·b＋(b2－a2)x－a·b为一次函数⇒a⊥b且|a|≠|b|.答案：必要而不充分8．(2012·常州质检)在△ABC中，有如下命题，其中正确的是________．①－＝；②＋＋＝0；③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；④若·>0，则△ABC为锐角三角形．解析：在△ABC中，－＝，①错误；若·>0，则∠B是钝角，△ABC是钝角三角形，④错误．答案：②③二、解答题9．(1)在等边三角形ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求·，||；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，求(a－2b)·(2a＋3b)和|a＋2b|.解：(1)·＝||||cos〈，〉＝5×5cos120°＝－.∴＝(＋)，∴||2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)＝(25＋25＋2×5×5cos60°)＝，∴||＝.(2)∵a＝(3，－4)，b＝(2,1)，∴a－2b＝(3，－4)－(4,2)＝(－1，－6)，2a＋3b＝(6，－8)＋(6,3)＝(12，－5)，∴(a－2b)·(2a＋3b)＝－12＋30＝18.又∵a＋2b＝(3，－4)＋(4,2)＝(7，－2)，∴|a＋2b|＝＝.10．已知两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°.(1)若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的方向相反，求实数t的值；(2)若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．解：(1)由题意设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，5\n∴消去λ，解得2t2＝7.若t＝－，则λ＝－；若t＝，则λ＝＞0，则t＝不合题意，舍去．∴当t＝－时，2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为π，即这两个向量方向相反．(2)因为e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1，所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.因为这两个向量夹角为钝角，设夹角为θ，则有cosθ＝∈，所以有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，且2te1＋7e2与向量e1＋te2不反向．当2t2＋15t＋7＜0时，解得－7＜t＜－.又由(1)知t＝－时，这两个向量的夹角为π.∴t的取值范围是∪.[B级 能力提升]一、填空题1．(2011·高考大纲全国卷改编)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，a－c和b－c的夹角为60°，则|c|的最大值为________．解析：如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a－c，＝b－c.∵|a|＝|b|＝1，∴OA＝OB＝1，又∵a·b＝－，∴|a||b|cos∠AOB＝－，∴cos∠AOB＝－，∴∠AOB＝120°，又∵a－c和b－c的夹角为60°，而120°＋60°＝180°，∴O、A、C、B四点共圆，∴当OC为圆的直径时|c|最大，此时∠OAC＝∠OBC＝90°，∴Rt△AOC≌Rt△BOC， ∴∠ACO＝∠BCO＝30°.∴|OA|＝|OC|，∴|OC|＝2|OA|＝2.答案：22．(2011·高考天津卷)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，5\nP是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．解析：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x，∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，＝(2，－x)，＝(1，a－x)，∴＋3＝(5,3a－4x)，|＋3|2＝25＋(3a－4x)2≥25，∴|＋3|的最小值为5.答案：53．(2012·苏州调研)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点(包括端点)，则·的取值范围是________．解析：设＝λ(0≤λ≤1)，＝－，＝＋＝＋λ＝(1－λ)＋λ，∴·＝[(1－λ)＋λ]·(－)＝λ2－(1－λ)2＋(1－2λ)·.又∵2＝1，2＝4，·＝－1，故·＝λ－4(1－λ)－(1－2λ)＝7λ－5，由于0≤λ≤1，故·的取值范围是[－5,2]．答案：[－5,2]4．已知A(3，)，O是原点，点P(x，y)坐标满足，则的取值范围是________．解析：作出可行域，和的夹角θ∈[，]，所以＝||cosθ＝2cosθ∈[－3,3]．答案：[－3,3]二、解答题5．已知点M(－1,0)，N(1,0)，点P使·，·，·成等差数列，且公差小于零．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为与的夹角，求tanθ.解：(1)设P(x，y)，由M(－1,0)，N(1,0)，得5\n＝－＝(－1－x，－y)，＝－＝(1－x，－y)，＝－＝(2,0)，∴·＝2(1＋x)，·＝x2＋y2－1，·＝2(1－x)．于是·，·，·是公差小于零的等差数列，等价于即所以点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆．(2)点P的坐标为(x0，y0)，·＝x＋y－1＝3－1＝2，||·||＝·＝＝2，∴cosθ＝＝，∵0＜x0≤，∴<cosθ≤1,0≤θ＜，∴sinθ＝＝，∴tanθ＝＝＝＝|y0|.6．如图所示，在Rt△ABC中，已知：||＝a，若长为2a的线段PQ以A为中点．问：与的夹角为何值时，·的值最大？并求此最大值．解：在Rt△ABC中，·＝0.因为＝－，＝－，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝－a2＋·－·＝－a2＋(－)＝－a2＋·＝－a2＋·＝－a2＋a2cosθ.当θ＝0°时，·取得最大值0.5
