（福建专用）2013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例课时闯关（含解析）一、选择题1．(2012·宁德质检)已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a·(b·c)等于( )A．(26，－78) B．(－28，－42)C．－52D．－78解析：选A.a·(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．2．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A．6B．2C．2D．2解析：选D.F＝F＋F＋2F1·F2＝28，所以|F3|＝2.3．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( )A.B．－C.D．－解析：选C.b＝(2a＋b)－2a＝(－5,12)，易求得|a|＝5，|b|＝13，则cos〈a，b〉＝＝.4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则三角形ABC的形状一定是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，∴·2＝0，∴⊥，∴∠A＝90°.故选C.5．已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则角A，B的大小分别为( )A.，B.，C.，D.，解析：选C.由m⊥n可得m·n＝0，即cosA－sinA＝0，所以角A＝，B＝－C.由acosB＋bcosA＝csinC得sinC＝1，所以C＝，故B＝.二、填空题6．若平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于________．5\n解析：由＋＋＝0可得(＋＋)2＝0，∴9＋16＋25＋2(·＋·＋·)＝0，·＋·＋·＝－25.答案：－257．设非零向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则x的取值范围________．解析：∵a，b的夹角为钝角，∴a·b＝x·－3x＋2x·2＝－3x2＋4x＜0，解得x＜0或x＞.①又由a，b共线且反向可得x＝－，②由①②得x的范围是∪∪.答案：∪∪8．(2012·合肥质检)关于平面向量a，b，c，有下列几个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|(a、b不共线)；③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直；④若非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．解析：平面向量的数量积不满足结合律，故①假；由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－b|恰为一个三角形的三条边长，而三角形的两边之差小于第三边，故②是真命题；因为[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)a·c－(c·a)b·c＝0，所以垂直，故③假；由|a|＝|b|＝|a－b|，再结合平行四边形法则可得a与a＋b的夹角为30°，命题④假．答案：②三、解答题9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．解：(1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a|＝4，|b|＝3代入上式，求得a·b＝－6.所以cosθ＝＝＝－.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝13，所以|a＋b|＝.(3)由(1)知，∠BAC＝θ＝，||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，所以S△ABC＝||||sin∠BAC＝3.10．已知点A(2,0)，B(0,2)，C(cosα，sinα)，且0<α<π.5\n(1)若|＋|＝，求与的夹角；(2)若⊥，求tanα的值．解：(1)因为|＋|＝，所以(2＋cosα)2＋sin2α＝7，所以cosα＝.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC＝.又因为∠AOB＝，所以与的夹角为.(2)＝(cosα－2，sinα)，＝(cosα，sinα－2)．因为⊥，所以·＝0，所以cosα＋sinα＝，①所以(cosα＋sinα)2＝，所以2sinαcosα＝－.又因为α∈(0，π)，所以α∈.因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝，cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－.②由①②得cosα＝，sinα＝，所以tanα＝－.一、选择题1．向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|等于( )A.B．2C．2D．4解析：选B.∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－2，∴cosθ＝＝－.又θ∈[0，π]，∴sinθ＝.∴|a×b|＝2×2×＝2.2．(2012·泉州调研)在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为( )A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等边三角形D．等边三角形5\n解析：选D.非零向量满足·＝0，即角A的平分线垂直于BC，∴AB＝AC，又cosA＝·＝，∠A＝，所以△ABC为等边三角形．二、填空题3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点．若OA＝6，则·的值是________．解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝6×6×cos60°－6×2×cos120°－6×2×cos120°＋2×2×cos180°＝26.答案：264．设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于________．解析：设向量a，b，c的起点为O，终点分别为A，B，C，由已知得，∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，则点C在△AOB的外接圆上，当OC经过圆心时，|c|最大，在△AOB中，求得AB＝，由正弦定理得△AOB外接圆的直径是＝2，故|c|的最大值是2.答案：2三、解答题5．已知平面向量a＝(，－1)，b＝.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使x＝a＋(t2－3)·b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数关系式k＝f(t)；(3)据(2)的结论，确定函数k＝f(t)的单调区间．解：(1)证明：因为a·b＝×＋(－1)×＝0，所以a⊥b.(2)因为x⊥y，所以x·y＝0，所以[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋[t－k(t2－3)]a·b＋t(t2－3)b2＝0.因为|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，所以－k×4＋t(t2－3)＝0，即k＝(t3－3t)(t≠0)．(3)由(2)知f(t)＝(t3－3t)，故f′(t)＝(3t2－3)，令f′(t)>0得t>1或t<－1，令f′(t)<0得－1<t<1且t≠0.5\n所以函数k＝f(t)的单调递增区间为(1，＋∞)和(－∞，－1)，单调递减区间为(－1,0)和(0,1)．6．已知向量m＝，n＝.(1)若m·n＝1，求cos的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．解：(1)∵m·n＝1，即sincos＋cos2＝1，即sin＋cos＋＝1，∴sin＝.∴cos＝cos＝－cos＝－＝2·2－1＝－.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝，B＝，∴0＜A＜.∴＜＋＜，＜sin＜1.又∵f(x)＝m·n＝sin＋，∴f(A)＝sin＋.故函数f(A)的取值范围是.5
