（江苏专用）2013年高考数学总复习第四章第1课时向量的概念与线性运算课时闯关（含解析）[A级 双基巩固]一、填空题1．下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一方向相同；②三角形ABC中，必有＋＋＝0；③若＋＋＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中假命题的序号为________．解析：①若a与b长度相等，方向相反，则a＋b＝0；③A，B，C三点可能在一条直线上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.答案：①③④2．(2012·扬州质检)若A、B、C、D是平面上任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有________个．解析：①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋＝成立．答案：23．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析：由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，∴解得答案：－4．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a、b表示)．解析：由＝3，得4A＝3＝3(a＋b)，＝a＋b，∴＝(a＋b)－(a＋b)＝－a＋b.答案：－a＋b5．(2012·福州质检)已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在________．(P点位置)解析：由于＝λ＋⇒＋＝λ⇒＝λ，根据共线向量的基本条件，则C，P，A三点共线．答案：直线AC上5\n6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD的形状为________．解析：由已知可得：＝＋＋＝－8a－2b，故＝2，由向量共线定理可知AD∥BC且||＝2||，故四边形ABCD为梯形．答案：梯形7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则x＝________，y＝________.解析：由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.答案： 8．(2010·高考湖北卷改编)已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m，使＋＝m成立，则m＝________.解析：由已知条件易得M为△ABC的重心，取BC的中点D，则＋＝2，又＝，故m＝3.答案：3二、解答题9．点D、E、F分别是△ABC三边AB、AC、BC的中点，求证：(1)＋＝＋；(2)＋＋＝0.证明：(1)如图，在△ABF中，＋＝，在△ACF中，＋＝，所以＋＝＋.(2)∵点D、E、F分别是△ABC的三边AB、AC、BC的中点，∴四边形EDFC是平行四边形，＝－.又＝－，＝－，故＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)5\n＝(－＋)＋(－＋)＋(－＋)＝0.10．已知O、A、B是不共线的三点，且＝m＋n(m、n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A、P、B三点共线；(2)若A、P、B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．又因为BP与BA有公共点B，∴A、P、B三点共线．(2)若A、P、B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．由条件m＋(n－1)＝λ－λ，即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.因O、A、B不共线，∴、不共线，由平面向量基本定理知∴m＋n＝1.[B级 能力提升]一、填空题1.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设AN与BM交于点P，则用a，b表示为________．解析：∵＝＋，＝＋，设＝m，＝n，则＝＋m＝a＋m(b－a)＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.∵a与b不共线，∴⇒.∴＝a＋b.答案：a＋b5\n2．设D、P为△ABC内的两点且满足＝(＋)，＝＋，则＝________.解析：由＝(＋)可知，点D在△ABC的中线AE上，且AD＝AE，由＝＋得＝，由平面几何知识可知＝.答案：3．若＝a，＝b，下列向量中能表示∠AOB平分线上的向量OM的是________．①＋；②λ，λ由确定；③；④λ，λ由确定．解析：由平面几何知识知∠AOB的平分线可视为以OA，OB所在线段为邻边的菱形的对角线OM所在的直线，故＝λ，其中λ由确定．答案：②4．(2011·高考山东卷改编)设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3、A4调和分割A1，A2，已知平面上的点C、D调和分割点A、B，给出如下说法：①C可能是线段AB的中点；②D可能是线段AB中点；③C、D可能同时在线段AB上；④C、D不可能同时在线段AB的延长线上，则正确的有________个．解析：依题意，若C、D调和分割点A、B，则有＝λ，＝μ，且＋＝2，若C是线段AB的中点，则有＝，此时λ＝，又＋＝2，∴＝0，不可能成立，因此①不成立，同理②不对；当C、D同时在线段AB上时，由＝λ，＝μ知0＜λ＜1,0＜μ＜1，此时＋＞2，与已知矛盾，因此③不对；若C、D同时在线段AB的延长线上，则＝λ时λ＞1，＝μ时μ＞1，此时＋＜2和＋＝2矛盾，故C、D不可能同时在线段AB延长线上，因此④正确．答案：1二、解答题5\n5．已知O是正△ABC内部一点，＋2＋3＝0，求△ABC的面积与△OAC的面积之比．解：如图，取BC与AC的中点M、N，连结OM、ON.∵＋2＋3＝0，∴－＋3(＋)＝0.∴＝6，同理得＝3.∴2＝，与有公共点O，∴O、M、N三点共线．∴MN是△ABC的中位线，且ON＝2OM.∴AB＝3ON，则△ABC的面积与△OAC的面积比是3∶1.6．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，试问：＋是否为定值？解：设＝a，＝b，则＝xa，＝yb，＝＝(＋)＝(a＋b)，∴M＝A－A＝(a＋b)－xa＝(－x)a＋b，＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴(－x)a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.∵a与b不共线，∴消去λ得＋＝4，故＋为定值4.5
