（福建专用）2013年高考数学总复习第四章第3课时平面向量的数量积及平面向量的应用举例随堂检测（含解析）1．(2012·福州调研)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )A．－ B.C.D.解析：选C.因为2a＋b＝＋＝，a－b＝，所以|2a＋b|＝3，|a－b|＝3.设2a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.2．设向量a＝(cos25°，sin25°)，b＝(sin20°，cos20°)．若t是实数，且u＝a＋tb，则|u|的最小值为( )A.B．1C.D.解析：选C.u＝a＋tb＝(cos25°＋tsin20°，sin25°＋tcos20°)，所以|u|＝＝＝，所以当t＝－时，|u|取最小值.3．已知点A(1,1)，B(1，－1)，C(cosθ，sinθ)(θ∈R)，O为坐标原点．(1)若|－|＝，求sin2θ的值；(2)若实数m，n满足m＋n＝，求(m－3)2＋n2的最大值．解：(1)∵|－|2＝||2＝(cosθ－1)2＋(sinθ－1)2＝－2(sinθ＋cosθ)＋4，∴－2(sinθ＋cosθ)＋4＝2.即sinθ＋cosθ＝.两边平方，得1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝－.(2)法一：由已知，得(m，m)＋(n，－n)＝(cosθ，sinθ)，∴解得∴(m－3)2＋n2＝m2＋n2－6m＋9＝－3(sinθ＋cosθ)＋10＝－6sin(θ＋)＋10.∴当sin(θ＋)＝－1时，(m－3)2＋n2取得最大值16.法二：∵∴两式平方相加得：m2＋n2＝1.2\n∴(m－3)2＋n2可视为单位圆上的动点到(3,0)的距离的平方，由图易知单位圆上的点(－1,0)与(3,0)的距离最大，∴(m－3)2＋n2取得最大值16.2
