2013高考总复习江苏专用（理科）：第五篇平面向量与复数《第28讲平面向量的数量积》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2011·镇江统考)已知|a|＝1，|b|＝，若(a－b)⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析 设a与b夹角为θ，由(a－b)⊥a，得(a－b)·a＝0，又|a|＝1，所以a·b＝1，所以cosθ＝＝＝，∵θ∈[0，π]，∴θ＝.答案 2．已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.解析 由a＝(，1)，得|a|＝2，所以|a＋2b|＝＝＝＝＝2.答案 23．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为________．解析 由(a－mb)⊥a，得(a－mb)·a＝a2－ma·b＝9－6mcos60°＝9－3m＝0，得m＝3.答案 34．(2011·山东省日照调研)若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于________．解析 a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6＋cos＋2＝－4＋＝－.答案 －5．(2011·山东省实验中学)已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(－sinA,1)，q＝(1，cosB)，则p与q的夹角是________角．(填锐角，钝角或直角)解析 设p与q的夹角为θ，则由△ABC是锐角三角形，得A＋B＞，所以A＞－B，sin8\nA＞sin＝cosB，所以p·q＝－sinA＋cosB＜0，即cosθ＜0，θ为钝角．答案 钝角6．(★)(2011·南京模拟)在△ABC中，已知BC＝2，·＝1，则△ABC的面积S△ABC最大值是________．解析 以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则B(－1,0)，C(1,0)．设A(x，y)则＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，于是·＝(－1－x)(1－x)＋(－y)(－y)＝x2－1＋y2.由条件·＝1知x2＋y2＝2，这表明点A在以原点为圆心，为半径的圆上．当OA⊥BC时，△ABC面积最大，即S△ABC＝×2×＝.7．(2010·天津)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝________.解析 法一 建系如图所示．令B(xB,0)，C(xC，yC)，D(0,1)，所以＝(xC－xB，yC)，＝(－xB,1)，＝，所以所以xC＝(1－)xB，yC＝.＝((1－)xB，)，＝(0,1)，则·＝.法二 ·＝(＋)·＝·＝·，其中·＝||||cos∠ADB＝|8\n|||·＝2＝1.故·＝.答案 二、解答题(每小题15分，共45分)8．(★)设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．思路分析 转化为(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0且2te1＋7e2≠λ(e1＋te2)(λ＜0)．解 由已知得e＝4，e＝1，e1·e2＝2×1×cos60°＝1.∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te＝2t2＋15t＋7.欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0.得－7＜t＜－.设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)．∴∴2t2＝7.∴t＝－，此时λ＝－.即t＝－时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.∴夹角为钝角时，t的取值范围是∪.(【点评】本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.9．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．(1)求向量b＋c的长度的最大值；(2)设α＝，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．解 (1)因为b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，所以|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．因为－1≤cosβ≤1，所以0≤|b＋c|2≤4，8\n即0≤|b＋c|≤2，故当cosθ＝－1时，向量b＋c的长度取最大值2.(2)若α＝，则a＝，又b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，所以a·(b＋c)＝cosβ＋sinβ－.因为a⊥(b＋c)，所以a·(b＋c)＝0，即cosβ＋sinβ＝1，平方得cosβsinβ＝0，所以cosβ＝0或cosβ＝1.经检验cosβ＝0或cosβ＝1即为所求．10．(2011·苏北四市调研)如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝6，BC＝7，AD是∠BAC的平分线．(1)求证：DC＝2BD；(2)求·的值．(1)证明 在△ABD中，由正弦定理得＝.①在△ACD中，由正弦定理得＝.②又AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD，sin∠BAD＝sin∠CAD，又sin∠ADB＝sin(π－∠ADC)＝sin∠ADC，由①②得＝＝，所以DC＝2BD.(2)解 因为DC＝2BD，所以＝.在△ABC中，因为cosB＝＝＝.所以·＝·＝||||cos(π－B)8\n＝×3×7×＝－.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·苏州调研)设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝________.解析 由＝2，得－＝2(－)，所以＝＋.同理＝＋，又⊥，所以·＝·＝2＋2＝×9＋×36＝10.答案 102．(2011·启东模拟)若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.解析 建立直角坐标，由题意，设C(0,0)，A(2，0)，B(，3)，则M，·＝·＝－2.答案 －23．(2011·南京模拟)已知向量p的模是，向量q的模为1，p与q的夹角为，a＝3p＋2q，b＝p－q，则以a，b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________．解析 |a－b|＝|3p＋2q－p＋q|＝|2p＋3q|＝＝＝＝.答案 4．(2011·南通模拟)已知O是△ABC的内部一点，＋＋＝0，·＝2，且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为________．8\n解析 由·＝||||cos60°＝2，得||||＝4，S△ABC＝||||sin60°＝，由＋＋＝0知，O是△ABC的重心，所以S△OBC＝S△ABC＝.答案 5．已知点G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是________．解析 设AG交BC于D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，所以＝＝·(＋)＝(＋)，所以||2＝(＋)2＝(||2＋||2－4)，又由－2＝·＝||||cos120°，得||||＝4，故当||＝||＝2时，||取最小值.答案 6．已知△ABC所在平面上的动点M满足2·＝2－2，则M点的轨迹过△ABC的________心．解析 如图，设N是BC的中点，则由2·＝(－)·(＋)＝·2，得(－)·＝0，即·＝0，所以⊥，所以M点的轨迹过△ABC的外心．答案 外心二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·南通调研)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，|a－b|＝2.8\n(1)求a·b的值；(2)求|a＋b|的值．解 (1)因为|a－b|＝2，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4＋1－2a·b＝4.所以a·b＝.(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋2×＋1＝6.故|a＋b|＝.8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，G是△ABC的重心，且56sinA·＋40sinB·＋35sinC·＝0.(1)求角B的大小；(2)设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k,1)(k>1)，m·n的最大值为5，求实数k的值．解 (1)由G是△ABC的重心，得＋＋＝0，所以＝－(＋)，由正弦定理，可将已知等式转化为56a·＋40b·＋35c·(－－)＝0.整理，得(56a－35c)·＋(40b－35c)·＝0.因为，不共线，所以由此，得a∶b∶c＝5∶7∶8.不妨设a＝5，b＝7，c＝8，由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为0<B<π，所以B＝.(2)m·n＝4ksinA＋cos2A＝－2sin2A＋4ksinA＋1，由(1)得B＝，所以A＋C＝π，故得A∈.设sinA＝t∈(0,1]，则m·n＝－2t2＋4kt＋1，t∈(0,1]．令f(t)＝－2t2＋4kt＋1，则可知当t∈(0,1]，且k>1时，f(t8\n)在(0,1]上为增函数，所以，当t＝1时，m·n取得最大值5.于是有：－2＋4k＋1＝5，解得k＝，符合题意，所以，k＝.8
