圆的有关计算与证明圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，利用圆的性质求角度或者计算阴影部分面积． (2022·昆明西山区二模)如图，CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，∠A＝2∠DCE，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD，若BE＝OE＝2.(1)求证：AD为⊙O的切线；(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)．【思路点拨】 (1)要证AD为⊙O的切线，由点D在⊙O上可知，只需连接OD，证明OD⊥AD.由OC＝OD得∠DOB＝2∠DCE＝∠A.由AC为⊙O的切线知∠A＋∠B＝90°，从而∠DOB＋∠B＝90°，OD⊥AD即可得证；(2)S阴＝S△ODB－S扇形ODE.代入相关数据即可求出．【解答】 (1)证明：连接OD，如图．∵OC＝OD，∴∠DOB＝2∠DCE.又∵∠A＝2∠DCE，∴∠DOB＝∠A.∵AC为⊙O的切线，∴AC⊥OC，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠DOB＋∠B＝90°.∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB.∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．(2)在Rt△ODB中，∵OD＝OE，OE＝BE.∴sinB＝＝，∴∠B＝30°，∠DOB＝60°.∵BD＝OB·sin60°＝4×＝2，∴S△ODB＝×OD×BD＝×2×2＝2.S扇形ODE＝＝.∴S阴＝S△ODB－S扇形ODE＝2－.证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：(1)当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；(2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．14\n类型1 与切线有关的计算与证明1．(2022·昆明西山区一模)已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，求证：(1)CD是⊙O的切线；(2)延长AB、DC交于点F，∠BFC＝30°，⊙O半径为3cm，求AD的长．2．(2022·昆明二模)已知：如图所示，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于F，DE与边AB相交于E，∠EDF＝∠A，且AE＝3EB.(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若BC＝8，CD＝4，求ABCD的高DF的长度．3．(2022·昆明盘龙区一模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE＝∠A.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；14\n(2)若⊙O的半径R＝5，cosA＝，求线段CD的长．4．(2022·衡阳)如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：CE为⊙O的切线；(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．5．(2022·昆明官渡区二模)如图，已知AB为⊙O的直径，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.(1)求证：ED是⊙O的切线；(2)若OA＝3cm，AE＝4cm，求BC的长度．(2022·曲靖)如图，⊙O的直径AB＝10，C，D是圆上的两点，且＝＝.设过点D的切线ED交AC的延长线于点F，连接OC交AD于点G.14\n(1)求证：DF⊥AF；(2)求OG的长．7．(2022·黔西南)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．8．(2022·北京)如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA＝DC，连接AC，延长AD交BM于点E.(1)求证：△ACD是等边三角形；(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．9．(2022·常德)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.(1)求证：EF是⊙O的切线；14\n(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．10．(2022·东营)已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.(1)求证：AC·AD＝AB·AE；(2)如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．11．(2022·临沂)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．14\n类型2 与圆的性质有关的计算与证明1．(2022·无锡)已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.(1)求BD的长；(2)求图中阴影部分的面积．2．(2022·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．3．(2022·滨州)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.求弧BC的长；14\n(2)求弦BD的长．4．(2022·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；(2)求证：∠1＝∠2.参考答案1.(1)证明：连接OC.∵AC平分∠BAD，∴∠CAO＝∠CAD.∵AD⊥CD，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠CAO＋∠ACD＝90°.又∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA.∴∠OCA＋∠ACD＝90°，即∠OCD＝90°，OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线． (2)在Rt△OCF中，OC＝3cm，∠BFC＝30°，∴OF＝2OC＝6cm.∴AF＝OF＋OA＝6＋3＝9(cm)．在Rt△AFD中，∵∠F＝30°，∴AD＝AF＝×9＝4.5(cm)． 2.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，14\n∴∠A＝∠C.∵∠EDF＝∠A，∴∠EDF＝∠C.∵CD为⊙O的直径，∴∠DFC＝90°，∴∠FDC＋∠C＝90°.∴∠EDF＋∠FDC＝90°，即∠EDC＝90°，∴DE⊥OD.∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． (2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∵DF⊥BC，∴DF⊥AD.∴∠ADE＋∠EDF＝90°.∴∠ADE＝∠FDC.∵∠A＝∠C，∴△ADE∽△CDF.∴＝.∵AB＝CD＝4，AE＝3EB，∴AE＝AB＝×4＝3.∴＝.∴CF＝.在Rt△CDF中，由勾股定理得DF＝＝＝. 3.(1)直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB.∵∠BDE＝∠A，∴∠BDE＋∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°.∴OD⊥DE.又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切． (2)在Rt△ABC中，cosA＝＝＝，∴AC＝.在Rt△ABD中，cosA＝＝＝，∴AD＝8.∴CD＝AC－AD＝－8＝ 14\n4.(1)证明：连接OD.∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝∠COD＝∠BOD.又∠BAD＝∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC⊥EC.∴CE为⊙O的切线． (2)四边形AOCD是菱形．理由如下：∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠AOD＝∠COD＝60°.又∵OA＝OD＝OC，∴△AOD和△COD都是等边三角形．∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD.∴四边形AOCD是菱形． 5.(1)证明：连接OD.∵ED＝EA，∴∠EDA＝∠EAD.∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD.∵AC⊥AB，∴∠OAD＋∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA＋∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥ED.又∵OD为⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线． (2)∵EA、ED均为⊙O的切线，∴EO⊥AD.∴∠BAD＋∠AOE＝90°.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°.∴∠AOE＝∠ABD.∴OE∥BC.又∵O为AB的中点，∴OE为△BAC的中位线．14\n∴BC＝2OE＝2×＝10(cm)． 6.(1)证明：连接OD，BD.∵＝＝，∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∠ABD＝60°.又OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝30°.∴∠ODA＝∠FAD.∴OD∥AF.又DE是⊙O的切线，∴OD⊥DF.∴DF⊥AF. (2)∵AB＝10，∴AO＝5.∵＝，∴OG⊥AD.在Rt△AOG中，∠GAO＝30°，∴OG＝AO＝. 7.(1)证明：过点O作OD⊥PB，连接OC.∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.又∵OP平分∠APB，∴OD＝OC.∴PB是⊙O的切线．（2）过C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝＝5.∵S△OCP＝OC·CP＝OP·CF，∴CF＝.在Rt△COF中，OF＝＝.∴FE＝3＋＝.在Rt△CFE中，CE＝＝. 14\n8.(1)证明：∵BM是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴AB⊥BM.∵BM∥CD，∴AB⊥CD.∴AD＝AC.∵DA＝DC，∴AD＝CD＝AC.∴△ACD为等边三角形． (2)∵△ACD为等边三角形，AB⊥CD.∴∠DAB＝30°.连接BD，∴BD⊥AD，∠EBD＝∠DAB＝30°.∵DE＝2，∴BE＝4，BD＝2，AB＝4，OB＝2.在Rt△OBE中，OE＝＝＝2.9.(1)证明：连接FO.∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE.∵点F为BC的中点，∴FC＝FE.∵OE＝OC，OF＝OF，∴△EFO≌△CFO(SSS)．∴∠OEF＝∠OCF.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠FEO＝90°，即OE⊥EF.又点E在圆上，∴FE为⊙O的切线．(2)∵⊙O的半径为3，∴AO＝CO＝EO＝3，AC＝6.又∵∠EAC＝60°，∴∠EOA＝60°.∴∠COD＝∠EOA＝60°.∴在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3.∴CD＝OC＝3.∴在Rt△ACD中，AD＝＝＝3.14\n10.(1)证明：连接DE.∵AE是直径，∴∠ADE＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠ADE＝∠ABC.又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.∴＝，即AC·AD＝AB·AE. (2)连接OD.∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.∵点E是OB的中点，∴在Rt△OBD中，OE＝BE＝OD，即OB＝2OD，∴∠OBD＝30°.同理∠BAC＝30°.在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4.11.(1)证明：连接OD.∵BC是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠ADO＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠OAD，∴∠CAD＝∠OAD，即AD平分∠BAC. (2)连接OE，ED.∵∠BAC＝60°，OE＝OA，∴△OAE为等边三角形．∴∠AOE＝60°.∴∠ADE＝30°.又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴∠ADE＝∠OAD，∴ED∥AO，∴S△AED＝S△OED.∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π.类型2 与圆的性质有关的计算与证明14\n1．(1)连接OD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵BC＝6cm，AC＝8cm，∴AB＝10cm.∴OB＝5cm.∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABD＝45°.∴∠BOD＝90°.∴BD＝＝5cm. (2)S阴影＝S扇形－S△OBD＝π·52－×5×5＝(cm2)． 2.(1)连接OQ，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，∵tanB＝，∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，∵OP＝，OQ＝3，∴PQ＝＝. (2)连接OQ，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，∴PQ长的最大值为＝. 3.(1)连接OC.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝60°.∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.∴弧BC的长为＝π. (2)连接OD.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD.∴∠AOD＝∠BOD.∴AD＝BD.∴∠BAD＝∠ABD＝45°.14\n在Rt△ABD中，BD＝AB＝×10＝5. 4.(1)∵BC＝DC，∴＝.∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.∵∠CBD＝39°，∴∠BAC＝∠CAD＝39°.∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°. (2)证明：∵EC＝BC，∴∠CBE＝∠CEB.∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，∴∠1＝∠2.14
