专题3 实践操作与探究常考类型分析专题类型突破类型1关于直线型物体的操作探究问题【例1】一透明的敞口正方体容器ABCD－A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图1所示)．探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：(1)CQ与BE的位置关系是 ，BQ的长是 dm;(2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB)(3)求α的度数．拓展 在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC＝x，BQ＝y.分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．图3图412\n延伸 在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图5，隔板高NM＝1dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3.【思路分析】“探究”(1)常用三角函数或者勾股定理求直角三角形的边长．根据三视图和正方体特征可知：在Rt△BCQ中，BC＝AB＝4dm，CQ＝5dm，利用勾股定理即可求得BQ的长；(2)题目中给出了直棱柱体积公式，直接利用所给公式求液体的体积；(3)利用△BCQ中的∠BCQ的三角函数值，求α的度数．“拓展”根据液体体积不变列方程，变形求得关系式．“延伸”正面示意图中的液面被MN分割成两部分，这两部分分别是直角三角形和直角梯形，据此求得剩余液体的体积，进一步推断溢出液体的体积，作出判断．解：探究 (1)CQ∥BE.由左视图知，正方体容器ABCD－A′B′C′D′的棱长为4dm，由主视图知，CQ＝5dm，【解】证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°.∵MN⊥AF，∴∠AHM＝90°.∴∠BAF＋∠MAH＝∠MAH＋∠AMH＝90°.∴∠BAF＝∠AMH.在△AMN和△BAF中，12\n图1图2满分技法►直线型物体的综合实践探究与操作题的解决策略：理解物体的操作规则，抽象概括出几何模型，画出不同情形下的图形，并推导计算，得出几何量的通式或函数关系．满分变式必练►1.实验探究：12\n(1)如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．(2)将图1中的三角形纸片BMN剪下，如图2，折叠该纸片，探究MN与BM的数量关系，写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．解：(1)猜想：∠MBN＝30°.证明：如图1，连接AN.∵直线EF是AB的垂直平分线，∴NA＝NB.由折叠的性质，可知BN＝AB.∴AB＝BN＝AN.∴△ABN是等边三角形．∴∠ABN＝60°.折纸方案：如图2中，折叠△BMN，使得点N落在BM上O处，折痕为MP，连接OP.证明：由折叠的性质，可知△MOP≌△MNP.2.如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能合成一个无缝隙，无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段 ， ；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝ .(2)▱ABCD纸片还可以按图3方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长；(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．12\n12\n3.问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常用到比较两个数或代数式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只要作出它们的差M－N，若M－N＞0，则M＞N；若M－N＝0，则M＝N；若M－N＜0，则M＜N.问题解决如图1，把边长为a＋b(a≠b)的大正方形分割成两个边长分别是a，b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．图1解：由图可知，M＝a2＋b2，N＝2ab.∴M－N＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b，∴(a－b)2>0.∴M－N＞0.∴M＞N.类比应用(1)已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为(a，b是正数，且a≠b)，试比较小丽和小颖购买商品的平均价格的高低；(2)试比较图2、图3两个矩形的周长M1，N1的大小(b＞c)．联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图4所示(b＞a＞c＞0)，售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．12\n类型2关于圆形物体的操作探究问题【例2】观察思考某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH＝4分米，PQ＝3分米，OP＝2分米．12\n解决问题(1)点Q与点O间的最小距离是 分米；点Q与点O间的最大距离是 分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是 分米．(2)如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？(3)①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米；②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．解：(1)4 5 6(2)不对．理由如下：∵OP＝2，PQ＝3，OQ＝4，且42≠32＋22，即OQ2≠PQ2＋OP2，∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．(3)①3②由①知，在⊙O上存在点P，P′到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是扇形P′OP.连接P′P，交OH于点D.∵PQ，P′Q′均与l垂直，且PQ＝P′Q′＝3，∴四边形PQQ′P′是矩形．∴OH⊥PP′，PD＝P′D.由OP＝2，OD＝OH－HD＝1，得∠DOP＝60°.∴∠POP′＝120°.∴扇形面积最大时圆心角的度数为120°.满分技法►题目的图形往往取材于一种机械装置，但不是从物理的角度，而是从数学的角度进行研究．启迪考生在生产生活实践中发现一件发明、一种创造设计往往是数学知识与其他学科知识相融合的结晶．解题时要注意数学直观与生活经验的结合，避免单纯考虑数学图形而容易产生的一些错误，比如误以为当OP与PQ夹角为平角(在一条直线上)时，机械运动到达极端情况，点P到l距离最大，实际上此时并非点P到l距离最大的情况，在点Q向点H运动过程中，点P的位置可以更靠下，直至PQ⊥l时，点P到l距离最大．满分变式必练►1.阅读理解问题：如图1，一圆柱的底面半径为5dm，BC是底面直径，圆柱高AB为5dm，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．12\n小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC，如图2所示．设路线1的长度为L1，则路线2：高线AB＋底面直径BC，如图1所示．设路线2的长度为L2，则所以选择路线2较短．解决问题小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB为5dm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：拓展联想请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短．2.某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB＝6cm，杯底直径CD＝4cm，杯壁母线AC＝BD＝6cm.请你和他们一起解决下列问题：(1)小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图(如图2，忽略拼接部分)，得到的图形是圆环的一部分．12\n①图2中的长为 cm，的长为 cm，ME＝NF＝ cm；②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定所在圆的圆心O，如图3所示．小顾同学发现若将，近似地看做线段，类比相似三角形的性质可得请你帮她证明这一结论；③根据②中的结论，求所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n.(2)小顾同学计划利用矩形、正方形纸各一张，分别按如图4和图5所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求矩形纸片的长和宽以及正方形纸片的边长．12\n3.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.(1)如图1，AC＝BC,点E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，则DE与DF的数量关系为________；(2)如图2，AC＝BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE＝DF，DE⊥DF；(3)如图3，∠B＝30°，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，直接写出线段DE与DF的位置关系和数量关系．解：(1)∵AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，AD＝DC＝DB.∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.在△ADE和△CDF中，12\n∴△ADE≌△CDF(ASA)．∴DE＝DF.故答案为：DE＝DF.(2)证明：∵CF＝EG，CF∥EG，∴四边形CEGF是平行四边形．∴CE∥FG.∴∠CAB＝∠FGA＝45°.∵∠ECF＝∠ACB＝90°，∴四边形CEGF是矩形．∴∠GEA＝∠FGE＝90°.∴∠AGF＝∠GAE＝45°.∴GE＝AE＝CF.∵CD＝DA＝DB，∠DCB＝∠GAE＝45°，∴∠FCD＝∠DAE＝135°.在△DCF和△DAE中，∴△DCF≌△DAE(SAS)．∴DE＝DF，∠EDA＝∠FDC.∴∠EDF＝∠ADC＝90°.∴DE⊥DF.12
