专题1 探索规律问题常考类型分析专题类型突破类型1数式规律一、数与数阵规律【例1】观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为( )A．23B．75C．77D．139【解析】∵上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11，左边的数为21,22,23，…，∴b＝26＝64.∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a＝11＋64＝75.满分技法►通过所给的特例所列举的数字或数字本身的变化，或者在数表、数轴、坐标、图形中的变化，找出共性或者与自然序数的关系确定变化后的结果，列出通式，再代入求值．二、算式变化规律【例2】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是( )7\nA．13＝3＋10B．25＝9＋16C．36＝15＋21D．49＝18＋31【解析】按照以下环节进行思考：(1)从“形”的角度来看，“正方形数”依次为：1＝12,4＝22,9＝32,16＝42,25＝52，…，即从1开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数”，依次为：1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10,1＋2＋3＋4＋5＝15，…，即从1开始的连续正整数相加的和；(2)从“数”的角度来看，等式规律用字母表示出来：如果用n2表示“正方形数”，则等式表示为(3)对以上结论进行证明：(4)对照图示规律或者等式特征，可知选C.满分技法►探索算式或等式的规律，一般要将每个式子中相同位置上的数字进行比较，发现其变化特征，用表示算式序号的字母表示出来，通常以选择题或填空题的形式出现．满分变式必练►1.按照一定规律排列的n个数：－2,4，－8,16，－32,64，…，若最后三个数的和为768，则n为( )A．9B．10C．11D．12解析：B ，由题意，得第n个数为(－2)n，那么(－2)n－2＋(－2)n－1＋(－2)n＝768.当n为偶数时，整理，得3×2n－2＝768.解得n＝10；当n为奇数时，整理，得－3×2n－2＝768，无解．∴n＝10.2.如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为( )A．32B．36C．38D．40解析：D ，∵a1＝a2＋a3＝a4＋a5＋a5＋a6＝a7＋a8＋a8＋a9＋a8＋a9＋a9＋a10＝a7＋3(a8＋a9)＋a10，∴要使a1取得最小值，则a8＋a9应尽可能的小，取a8＝2，a9＝4.∵a5＝a8＋a9＝6，则a7，a10中不能有6.若a10＝8，则a6＝a9＋a10＝12.∴a7＝14，则a4＝14＋2＝16，a2＝16＋6＝22，a3＝6＋12＝18，a1＝18＋22＝40.综上，a1的最小值为40.3.如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“7\n移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号是 .解析：3。 若小宇从编号为2的顶点开始，第1次“移位”他应走2个边长，到达编号为4的顶点；第2次“移位”应走4个边长，到达编号为3的顶点；第3次“移位”应走3个边长，到达编号为1的顶点；第4次“移位”应走1个边长，到达编号为2的顶点，依此类推，4次“移位”为一个循环组，返回编号为2的顶点.10÷4＝2……2.所以第10次“移位”为第3个循环组的第2次“移位”到达编号为3的顶点．4.已知则a8＝.解析：由题意给出的5个数可知，5.观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；……可猜想第2022个式子为 (32022－2)×32022＋1＝(32022－1)2 .解析：。观察发现，第n个等式可以表示为(3n－2)×3n＋1＝(3n－1)2，当n＝2022时，(32022－2)×32022＋1＝(32022－1)2.6.将从1开始的连续自然数按以下规律排列：……则2022在第 行．解析：45。 由观察可知第n行最大一个数为n2.∵442＝1936,452＝2025，∴2022在第45行．7.观察下列各个等式的规律：第一个等式：第二个等式：第三个等式：7\n请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的．类型2图形变化规律【例3】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为( )A．73B．81C．91D．109【解析】第①个图形中共有3个菱形，3＝12＋2；第②个图形中共有7个菱形，7＝22＋3；第③个图形中共有13个菱形，13＝32＋4；…；第n个图形中菱形的个数为n2＋n＋1.∴第⑨个图形中菱形的个数为92＋9＋1＝91.满分技法►解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，列出通式，最后确定相应图形的元素特征．满分变式必练►1.用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第n个图形用的棋子个数为( )A．3nB．6nC．3n＋6D．3n＋3解析：D ∵第一个图需棋子3＋3＝6；第二个图需棋子3×2＋3＝9；第三个图需棋子3×7\n3＋3＝12；….∴第n个图需棋子(3n＋3)个．2.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…，将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( )A．121B．362C．364D．729解析：C。 图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…，则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形．3.将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )A．6B．5C．3D．2解析：B 。由观察可知，从开始每3次变换完成后，正方体骰子就恢复到初始位置．因此，连续完成9次变换后，正方体骰子恢复到初始位置．∵10÷3＝3……1，∴第10次的情况如题中图所示，可见骰子朝上一面的点数是5.4.将一些相同的“○”按如图所示摆放，观察每个图形中的“○”的个数，若第n个图形中“○”的个数是78，则n的值是( )A．11B．12C．13D．14解析：B。 第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；…；第n个图形有1＋2＋3＋…＋n＝个小圆．∵第n个图形中“○”的个数是78，∴78＝解得n1＝12，n2＝－13(不合题意，舍去)．类型3图象变化规律7\n【例4】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…；如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝.【解析】C1：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)；C2：y＝(x－3)(x－6)(3≤x≤6)；C3：y＝－(x－6)(x－9)(6≤x≤9)；C4：y＝(x－9)(x－12)(9≤x≤12)；…；C13：y＝－(x－36)(x－39)(36≤x≤39)，当x＝37时，y＝2，则m＝2.满分技法►从图象的变化或者变换方式与次数中，寻找规律，一般要利用数形结合的思想进行研究，通常以选择题或填空题的形式出现．满分变式必练►1.如图，过点A0(2,0)作直线l：y＝的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2022A2022的长为( )2.如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，△P2022A2022A2022是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…都在函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…，A2022A2022都在x轴上，则A2022的坐标为.7\n3.二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A100在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B100在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A99B100A100都为等边三角形，则△A99B100A100的边长为 .7
