专题5 图形中的函数关系常考类型分析专题类型突破类型1动点产生的函数关系【例1】如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝ ，AC＝ ，△ABC的面积S△ABC＝ ；拓展 如图2，点D在AC上(可与点A，C重合)，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足为E，F.设BD＝x，AE＝m，CF＝n.(当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0)(1)用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；(2)求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；(3)对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A，B，C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程)，并写出这个最小值．14\n满分技法►函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容．动点问题反映的是一种函数思想，是一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，根据点的运动变化过程，对其不同情况进行分类求解．满分变式必练►1.如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为( )14\n2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5.点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随着P，Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BC－CP于点E.点P，Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．(1)当t＝2时，AP＝ ，点Q到AC的距离是 ；(2)在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；(4)当DE经过点C时，请直接写出t的值．14\n14\n3.如图，已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与y轴交于点A(0,6)，与x轴交于点B(6,0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；(2)当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB＝75°，求出此时点P的坐标；(3)当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个动点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？14\n类型2动线产生的函数关系【例2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6.BC的平行线从点A开始向下平移，分别与AB，AC相交于D，E两点，直至与BC重合．随着直线DE的平移，点D在AB边上以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为x秒，AE的长为y.(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？【思路分析】(1)运动时间为x秒，需把它转化为线段长度，则有AD＝2x.由DE∥BC，形成“A”型基本图形，得到两个三角形相似，推出包含x，y的比例式，变形为用含有x的代数式表示y的形式，即得到y关于x的函数关系式；(2)△BDE的面积把BD和AE都用含有x的代数式表示出来，得到S与x的函数关系式，利用函数性质求S的最大值以及相应的x的值．14\n满分技法►在直线平移、旋转过程中，导致相应的线段、角度、面积等几何元素的位置和大小随之改变，在运动变化过程中形成的图形的形状不断改变，根据不同范围内形状的改变确定每一段函数的关系式，根据函数性质求出最值或三角形的形状的存在性．满分变式必练►1.如图所示，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴首次重合时，点B运动的路径的长度为.2.如图1，△ABC中，∠C＝90°，线段DE在射线BC上，且DE＝AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF＝DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G.设BD＝x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示(其中0＜x≤1,1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同)．(1)填空：BC的长是 ；(2)求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．14\n解：(1)3(2)①如图1，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于点M.∵BC＝3，AC＝2，∠C＝90°，14\n3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的边AD在x轴上，点C在y轴的负半轴上，直线BC∥AD，且BC＝3，OD＝2.将经过A，B两点的直线l：y＝－2x－10向右平移，平移后的直线与x轴交于点E，与直线BC交于点F，设AE的长为t(t≥0)．(1)四边形ABCD的面积为 ；(2)设四边形ABCD被直线l扫过的面积(阴影部分)为S，请直接写出S关于t的函数解析式．(2)①当0≤t<3时，∵BC∥AD，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形．∴S＝AE·OC＝4t.②当3≤t<7时，如图，∵C(0，－4)，D(2,0)，∴直线CD的解析式为y＝2x－4.∵E′F′∥AB，BF′∥AE′，∴BF′＝AE′＝t.∴F′(t－3，－4)．直线E′F′的解析式为y＝－2x＋2t－10.14\n类型3动图产生的函数关系【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，BC＝8，AB＝点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．(1)设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式；(不必写t的取值范围)(2)当BP＝1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．【思路分析】(1)根据路程公式直接写出PQ的长度y与t之间的函数关系式；(2)当BP＝1时，有两种情况：①点P从点M向点B运动，通过计算可知，MP＝MQ＝3，即PQ＝6，连接EM，根据等边三角形的性质可求得EM＝此时EM＝AB，重叠部分面积为△PEQ的面积；②点P从点B向点M运动，此时t＝5，MP＝3，MQ＝5，△PEQ的边长为8，过点P作PH⊥AD于点H，在Rt△PHF中，已知PH＝∠HPF＝30°，可求FH，PF，进而求得FE，FG，证明等边△EFG中，点G与点D重合，此时重叠部分面积为梯形FPCG的面积；根据梯形面积公式求解即可；(3)由图可知，当t＝4时，P、B重合，Q、C重合，线段AD被覆盖长度达到最大值，由(2)可知，当t＝5时，线段EQ经过D点，长度也是最大值，故t的范围在4与5之间．14\n提示：当点P到达点B时，即t＝4时，点Q同时到达点C，等边△EPQ的边长为8，此时线段AD被覆盖的长度最大．仿照(2)中第二种情况，可以求得线段AD被覆盖的长度的最大值为2，右侧未被覆盖的长度为1，所以当点P到达点B后返回直至BP＝1的过程中，仍有线段AD被覆盖的长度的最大值为2(由(2)中第二种情况的计算结果也可以看到这一点)，因此，该最大值在4≤t≤5时持续一个时段．满分技法►在三角形、四边形、曲线(双曲线、抛物线)在平移、旋转、折叠过程中，把动态当作静态来对待，把图形间重叠部分的面积或相似表示的数量关系用函数关系表达出来，再利用函数的性质解决．满分变式必练►1.如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )2.如图，在△ABC中，BC＝12，AB＝10，动点D从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AB向点B运动，DE∥BC，交AC于点E，以DE为边，作正方形DEFG.设运动时间为t.(1)t为何值时，正方形DEFG的边GF在BC上；14\n(2)当GF运动到△ABC外时，EF，DG分别与BC交于点P，Q，是否存在时刻t，使得△CEP与△BDQ的面积之和等于△ABC面积的(3)设△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，试求S的最大值．14\n3.如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，▱ABCD中，D(6,0)，函数的图象过点E(4,0)，与y轴交于点G，动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发，同时，以P为圆心的圆，半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小，设运动时间为t.(1)若⊙P与直线EG相切，求⊙P的面积；(2)以CD为边作等边△CDQ，若⊙P内存在Q点，求t的取值范围．14\n14
