专题4 函数方案与决策常考类型分析专题类型突破类型1利用一次函数进行方案设计与决策【例1】某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车的速度均为200米/分．探究 设行驶时间为t分．(1)当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；(2)t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现 如图2，游客甲在BC上一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A，设CK＝x米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策 已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；11\n(2)设PA＝s(0＜s＜800)米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？【思路分析】探究：(1)由“路程＝速度×时间”可以得出y1，y2(米)与t(分)的函数关系式，再利用关系式列方程就可以求出两车相距的路程是400米时t的值；(2)求出1号车第3次经过景点C的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数；发现：计算出情况一的用时和情况二的用时，再进行大小比较就可以得出结论；决策：(1)根据题意可以得出游客乙在AD上等待乘1号车到A出口的路程小于2个边长，而乘2号车到A出口的路程大于3个边长，进而得出结论；(2)分类讨论，若步行比乘1号车的用时少，就有就可以分情况得出结论．解：探究：(1)由题意，得y1＝200t，y2＝－200t＋1600.相遇前相距400米时，y2－y1＝400，即－200t＋1600－200t＝400.解得t＝3.相遇后相距400米时，y1－y2＝400，即200t－(－200t＋1600)＝400.解得t＝5.综上所述，当两车相距的路程是400米时，t的值为3或5.(2)当1号车第三次恰好经过景点C时，由题意，得200t＝800×2＋800×4×2.解得t＝40.这一段时间内它与2号车相遇过5次．决策：(1)由题意知，此时1号车正行驶在CD边上，乘1号车到A出口的路程小于2个边长，而乘2号车到A出口的路程大于3个边长，所以乘1号车用时比2号车少(两车速相同)．(2)若步行比乘1号车用时少，则解得s＜320.∴当0＜s＜320时，选择步行．同理可得，当320＜s＜800时，选择乘1号车．当s＝320时，选择步行或乘1号车．满分技法►一次函数决策型应用题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息，然后利用待定系数法求出一次函数解式．通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值．11\n满分变式必练►1.某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队．若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成．(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少？(2)甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数m(天)的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值．2.我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg－5000kg(含2000kg和5000kg)的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．(1)请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y(元)与购买量x(kg)之间的函数表达式；(2)求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；11\n(3)某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．解：(1)方案A：函数表达式为y＝5.8x；方案B：函数表达式为y＝5x＋2000.(2)由题意，得5.8x＜5x＋2000.解得x＜2500.则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少．(3)他应选择方案B，理由如下：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448(kg)；方案B：苹果数量为(20000－2000)÷5＝3600(kg)，∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．3.“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y(米)与时间x(分钟)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：(1)a＝ ，b＝ ，m＝ ；(2)若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？(4)若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地)，请直接写出v的取值范围．11\n类型2反比例函数的应用【例2】某公司从2022年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；(2)按照这种变化规律，若2022年已投入资金5万元．①预计生产成本每件比2022年降低多少万元？②若打算在2022年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？(结果精确到0.01万元)【思路分析】(1)根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；(2)直接把x＝5万元代入函数解析式求解；②直接把y＝3.2万元代入函数解析式求解．11\n满分技法►函数应用的解题关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，要注意用排除法确定函数的类型．再根据自变量的值求出对应的函数值．同时结合图象确定增减性，确定自变量或函数的值或取值范围．满分变式必练►1.丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时)．根据经验，v，t的一组对应值如下表：(1)根据表中的数据，求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式；(2)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由；(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．2.嘉淇同学家的饮水机中原有水的温度为20℃，其工作过程如图所示，在一个由20℃加热到100℃再降温到20℃的过程中，水温记作y(℃)，从开始加热起时间变化了x(分钟)，加热过程中，y与x满足一次函数关系，水温下降过程中，y与x成反比例，当x＝20时，y＝40.(1)写出饮水机水温的下降过程中y与x的函数关系式，并求出x为何值时，y＝100；(2)求加热过程中y与x之间的函数关系式；(3)求当x为何值时，y＝80.问题解决若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步，预计九点前回到家中，若嘉淇想喝到不低于50℃的水，直接写出外出时间m(分钟)的取值范围．11\n问题解决：外出时间m(分钟)的取值范围为3≤m≤16或43≤m≤56.3.月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元)．(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本)(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式；(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x＞8)，当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图，求销售价格x(元/件)的取值范围．11\n类型3利用二次函数进行方案设计与决策【例3】某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内(元)．(利润＝销售额－成本－广告费)若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件(a为常数，10≤a≤40)，当月销量为x(件)时，每月还需缴纳元的附加费，设月利润为w外(元)．(利润＝销售额－成本－附加费)11\n(1)当x＝1000时，y＝ 元/件，w内＝ 元；(2)分别求出w内，w外与x间的函数关系式；(不必写x的取值范围)(3)当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？【思路分析】解题时可充分利用已经提供的函数关系式、国内销售和国外销售的利润计算公式以及抛物线的顶点公式，理清数量关系，降低解题难度．(4)当x＝5000时，w内＝337500,w外＝－5000a＋500000.若w内＜w外，则a＜32.5；若w内＝w外，则a＝32.5；若w内＞w外，则a＞32.5.所以，当10≤a＜32.5时，选择在国外销售；当a＝32.5时，在国外和国内销售都一样；当32.5＜a≤40时，选择在国内销售．易错提示►解题时需注意不要忽视成本a(元/件)的取值范围10≤a≤40，否则会影响对第(3)小题的结果进行合理取舍，以及第(4)小题不同情况下成本范围的确定．满分技法►应用二次函数解决决策性问题时，首先建立二次函数的关系模型，结合实际具体情况得到方程或不等式的自变量的取值范围，利用二次函数的图象特征或二次函数增减性，从而确定在自变量取值范围内的函数最大值(最小值)，进而确定最佳方案(或进行合理性决策)．11\n满分变式必练►1.随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(单位：千米)，乘坐地铁的时间y1(单位：分钟)是关于x的一次函数，其关系如下表：(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受x的影响，其关系可以用来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．2.为衡量某种车辆的性能，研究制定了行驶指数P，P＝K＋1000，而K的大小与平均速度v(km/h)和行驶路程s(km)有关(不考虑其他因素)，K由两部分的和组成，一部分与v2成正比，另一部分与sv成正比．在实验中得到了表中的数据：(1)用含v和s的式子表示P；(2)当P＝500，而v＝50时，求s的值；(3)当s＝180时，若P值最大，求v的值．11\n3.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：(1)工人甲第几天生产的产品数量为70件？(2)设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？11
