类型一展示问题解决，逐步推进，探究解题过程专题七实践、操作与探究目录类型二展示操作过程，在操作中探究解题过程,展示问题解决，逐步推进，探究解题过程一探索研究性问题往往需要仔细理解题意,问题安排由易到难,解题方法承上启下,逐步引导学生思考新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特殊到一般去探究,以特殊去探究一般,从而获得结论,有时还要用已学的知识加以论证、探究所得结论.操作性问题是让学生按题目要求进行操作,考查学生的动手能力、想象能力和概括能力.题型讲解,方法点拨解决这类问题,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,灵活地解决问题.在平时的学习中,要注重操作类习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力.此类问题解决一般有这样的几个步骤:第一步:审清题意,找准解题的切入点.第二步:建立数学模型,运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.第三步:按照所建立的数学模型,综合运用相关知识和数学思想方法解决实践操作性问题.解题技巧,(2020·西安模拟)问题提出:如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为边BC上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为.例题1问题探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;问题应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.,分析：(1)易证△BAD≌△CAE,得BD=CE;(2)连接EC,先证△BAD≌△CAE,得∠ACE=∠ABC=45°,再根据勾股定理,在Rt△ECD中ED2=CE2+DC2得解;(3)作AE⊥AD,交DC的延长线于点E,连接BE,证明DE=AD,BE=CD,BE⊥CD,在Rt△BED中,利用勾股定理求解即可.解析：问题提出:DC+EC=BC.问题探索:线段AD,BD,CD之间满足的等量关系是BD2+CD2=2AD2,证明:如图④,连接EC,∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.∵∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°,∴∠BAD=∠CAE.在△BAD和△CAE中,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°,∴CE⊥DC.∵∠DAE=90°,AD=AE,∴DE=AD,在Rt△ECD中,ED2=CE2+DC2,∴BD2+CD2=2AD2.,问题应用:如图⑤,作AE⊥AD,交DC的延长线于点E,连接BE,∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°,∠EAD=90°,∴∠BAC=90°,AB=AC,AE=AD,∴DE=AD,同理可证:BE=CD,BE⊥CD,在Rt△BED中,BD2=BE2+DE2,∴2AD2=BD2-CD2.∵BD=9,CD=3,∴2AD2=92-32=72,∴AD=6.【高分点拨】仔细阅读题目条件,简单了解问题并思考问题的解决方案,然后利用转化思想将复杂问题简单化,进而解决问题.,当堂检测1问题提出(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为;(1)解:设点O是△ABC外接圆的圆心,如图①.∴OA=OB=OC.∵AB=AC,∴AO垂直平分BC.∵∠A=120°,∴∠BAO=∠CAO=60°,∴△ABO是等边三角形.∴AB=OA=OB=5.图①,问题探究(2)如图②,☉O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是☉O上一动点,求PM的最大值;(2)当PM⊥AB时,此时PM最大,连接OA,如图②,由垂径定理可知AM=AB=12.∵OA=13,∴在Rt△AOM中,由勾股定理可知OM=5,∴PM=OM+OP=18.图②,问题解决（3）如图③所示,AB,AC,是某新区的三条规划路,其中AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,所对的圆心角为60°.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB,AC路边分别建物资分站点E,F,也就是,分别在,线段AB和AC上选取点P,E,F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE,EF和FP.为了快捷、环保和节约成本.要使得线段PE,EF,FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).图③,设所在圆的圆心为O,连接AP,OP,分别以AB,AC所在的直线为对称轴,作出点P关于AB的对称点M,点P关于AC的对称点N,连接MN,交AB于点E,交AC于点F,连接PE,PF,如图③,图③∴AM=AP=AN,∠MAB=∠PAB,∠NAC=∠PAC,∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°.∴∠MAN=120°.设AP=r,解三角形易得MN=r.∵PE=ME,PF=FN,∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r.∴当AP最小时,PE+EF+PF可取得最小值.,∵AP+OP≥OA,∴AP≥OA-OP,即点P在OA上时,如图④,AP可取得最小值.设AB的中点为Q,连接CQ,CB,如图⑤,图④图⑤∴AQ=BQ=3km=AC.∵∠BAC=60°,∴△AQC是等边三角形.∴AQ=QC=AC=BQ=3km,∠AQC=∠ACQ=60°.∴∠ABC=∠QCB=30°.∴∠ACB=∠ACQ+∠QCB=90°.在Rt△ABC中,由勾股定理可知BC=3km.,由题意可知∠BOC=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∴∠OBC=60°,OB=OC=BC=3km.∴∠ABO=∠ABC+∠CBO=90°在Rt△ABO中,由勾股定理可知OA=3km.此时,如图④,OP=OB=3km,AP=OA-OP=(3-3)km.PE+EF+PF=MN=r=(3-9)km,即PE+EF+PF的最小值为(3-9)km.图④,展示操作过程，在操作中探究解题过程二实践操作类题目为考生创设了动手实验、操作探究的空间,有效地考查了实践、创新能力,为考生提供了展示个性思维及发散创新的平台,是中考命题改革的一道亮丽风景线.实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图(不包括统计图表的制作)、称重、测量、空间想象等,这类试题题目灵活、新颖.题型讲解,方法点拨解答操作性试题,关键是审清题意,学会运用图形的平移变换、翻折变换、旋转变换和位似变换,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法.在平时的学习中,要注重操作性习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力,要学会运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并将其转化为我们所熟悉的数学问题.解题技巧,折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.例题2,实践操作如图①,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B'落在矩形ABCD所在平面内,B'C和AD相交于点E,连接B'D.解决问题(1)在图①中,①B'D和AC的位置关系为; ②将△AEC剪下后展开,得到的图形是;(2)若图①中的矩形变为平行四边形(AB≠BC),如图②,(1)中的结论①和结论②是否成立?若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由;(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为.拓展应用(4)在图②中,若∠B=30°,AB=4,当△AB'D恰好为直角三角形时,BC的长度为.,分析：(1)①由矩形及轴对称的性质可得△ACE是等腰三角形,进而得出△B'ED也是等腰三角形,再根据两等腰三角形的顶角相等得出底角也相等,从而由∠ADB'=∠DAC得到B'D∥AC;②由四边形ABCD是矩形可得CF∥AE,得∠DAC=∠ACF,由折叠可得∠ACE=∠ACF,则∠DAC=∠ACE,可得AE=CE,则CE=AF=AE=CF,得四边形AECF是菱形.,(2)思路与(1)类似.(3)根据折叠的方式进行分类讨论,当第一次折叠时△ACB'与△ACD可能重合也可能不重合,画图,由轴对称的性质解决问题.(4)当△AB'D为直角三角形时,所以根据哪个角为直角分类讨论,画出图形利用30°角分别计算.解析：(1)①B'D∥AC,理由:∵矩形ABCD,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠EAC=∠ACB,由翻折可得BC=B'C,∠BCA=∠ECA,∴∠EAC=∠ECA=(180°-∠AEC),AD=B'C,∴AE=CE,∴B'E=DE.∴∠CB'D=∠ADB'=(180°-∠B'ED),又由∠AEC=∠B'ED,∴∠ADB'=∠DAC,即B'D∥AC.,②菱形.理由:如图③,设展开后点E的对应点为F,∵四边形ABCD是矩形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF,由折叠可得∠ACE=∠ACF,∴∠DAC=∠ACE,∴AE=CE,又∵AF=AE,CE=CF,∴CE=AF=AE=CF,∴四边形AECF是菱形.,(2)结论仍成立.若选择①证明:∵B'C=AD,AE=CE,∴B'E=DE.∴∠CB'D=∠ADB'.∵∠AEC=∠B'ED,∠ACB'=∠CAD,∴∠ADB'=∠DAC.∴B'D∥AC.若选择②证明:如图④,设展开后点E的对应点为F,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CF∥AE,∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得∠ACE=∠ACF,CE=CF,∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE,∴AE=CF,∴四边形AECF是菱形.,(3)如图⑤,沿对角线AC折叠时,当AB在射线AD上时,可得∠BAC=∠DAC=45°,AB=AD,四边形ABCD是正方形,矩形长、宽之比为1∶1.如图⑥,沿对角线AC折叠时,当AB在射线AD上时,依题意得∠DAC=∠FAE=30°,设EF=ED=a,则AF=AB=a,AE=2a,所以AD=AE+ED=3a,矩形长、宽之比为∶1.∴小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为1∶1或∶1.,(4)如图⑦,∠AB'D=90°时,∠B'AD=30°,B'A=4,则BC=AD=AB'=8.如图⑧,∠B'AD=90°时,∠B'DA=30°,BC=AD=AB'=12.如图⑨,∠B'AD=90°时,∠AB'D=30°,BC=AD=AB'=4.如图⑩,∠ADB'=90°时,∠B'AD=30°,BC=AD=AB'=6.∴BC的长度为4或6或8或12.【高分点拨】本题考查四边形的折叠、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是正确理解和灵活运用图形折叠的性质,属于中考常考题型.,当堂检测2问题背景数学活动课上,老师将一副三角尺按图①所示位置摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON,然后提出如下问题:求出∠MON的度数.特例研究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图②、图③所示的方式摆放,OM和ON仍然是∠AOC和∠BOD的平分线.其中,按图②方式摆放时,可以看成是ON,OD,OB在同一直线上.按图③方式摆放时,∠AOC和∠BOD相等.图①,(1)请你帮助“兴趣小组”进行计算:图②中∠MON的度数为°.图③中∠MON的度数为°.发现感悟解决完图②、图③所示问题后,“兴趣小组”又对图①所示问题进行了讨论.小明:由于图①中∠AOC和∠BOD的和为90°,所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和,这样就能求出∠MON的度数.小华:设∠BOD为x°,我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数,这样也能求出∠MON的度数.(2)请你根据他们的谈话内容,求出图①中∠MON的度数.图②图③,2.解:(1)图②中∠MON=×90°+90°=135°,图③中∠MON=∠AOC+∠BOD+∠COD=(∠AOC+∠BOD)+90°=×90°+90°=135°.故答案为135,135.(2)∵∠COD=90°,∴∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°.∵OM和ON分别是∠AOC和∠BOD的平分线,∴∠MOC+∠NOD=∠AOC+∠BOD=(∠AOC+∠BOD)=45°.∴∠MON=(∠MOC+∠NOD)+∠COD=45°+90°=135°.,类比拓展受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图④所示方式摆放,分别作出∠AOC,∠BOD的平分线OM,ON,他们认为也能求出∠MON的度数.(3)你同意“智慧小组”的看法吗?若同意,求出∠MON的度数;若不同意,请说明理由.图④,(3)同意.设∠BOC=x°,则∠AOC=180°-x°,∠BOD=90°-x°.∵OM和ON是∠AOC和∠BOD的平分线,∴∠MOC=∠AOC=(180°-x°)=90°-x°.∠BON=∠BOD=(90°-x°)=45°-x°,∴∠MON=∠MOC+∠BOC+∠BON=+x°+=135°.,专题七高效测评1.(2021·郑州模拟)【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D.,【简单应用】(2)如图2,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数.[可直接使用问题(1)中的结论]【问题探究】(3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为.,【拓展延伸】(4)在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C,∠B之间的数量关系为(用x,y表示∠P).(5)在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B,∠D的关系,直接写出结论:.,1.解:(1)证明:在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°,在△COD中,∠C+∠D+∠COD=180°,∵∠AOB=∠COD,∴∠A+∠B=∠C+∠D.(2)如图2,∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,∴∠1=∠2,∠3=∠4,由(1)的结论得①+②,得2∠P+∠2+∠3=∠1+∠4+∠B+∠D,∴∠P=(∠B+∠D)=23°.,(3)如图∵AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠PAD=180°-∠2,∠PCD=180°-∠3.∵∠P+(180°-∠1)=∠D+(180°-∠3),∠P+∠1=∠B+∠4,∴2∠P=∠B+∠D,∴∠P=(∠B+∠D)=×(36°+16°)=26°.(4)同法可得∠P=x+y.(5)同法可得∠P=,2.(2020·咸宁二模)我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连接B'C'.当α+β=180°时,我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.,特例感知:(1)在图2,图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.①如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;②如图3,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为.猜想论证:(2)在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.,2.解:(1)①如图1,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC.理由:∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=AB'=AC'.∵DB'=DC',∴AD⊥B'C'.∵∠BAC=60°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=120°,∴∠B'=∠C'=30°,∴AD=AB'=BC.故答案为.,②如图2,当∠BAC=90°,BC=8时,则AD长为4.理由:∵∠BAC=90°,∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠B'AC'=∠BAC=90°.又∵AB=AB',AC=AC',∴△BAC≌△B'AC'(SAS),∴BC=B'C'.∵B'D=DC',∴AD=B'C'=BC=4.故答案为4.,(2)猜想AD=BC.证明:如图3,延长AD至点Q,使QD=AD,则△DQB'≌△DAC',∴QB'=AC',QB'∥AC',∴∠QB'A+∠B'AC'=180°.∵∠BAC+∠B'AC'=180°,∴∠QB'A=∠BAC,又由题意得到QB'=AC'=AC,AB'=AB,∴△AQB'≌△BCA(SAS),∴AQ=BC=2AD,即AD=BC.,3.(2020·烟台模拟)【问题探究】(1)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一直线上,连接AD,BD.①请探究AD与BD之间的位置关系:;②若AC=BC=,DC=CE=,则线段AD的长为;,【拓展延伸】(2)如图2,△ABC和△DEC均为直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,AC=,BC=,CD=,CE=1.将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角∠BCD为α(0°≤α<360°),作直线BD,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长.,3.解:(1)∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∴AC=BC,CE=CD,∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE.∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE,且AC=BC,CE=CD,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴∠ADC=∠BEC=45°,∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,∴AD⊥BD.故答案为AD⊥BD.②如图1,过点C作CF⊥AD于点F,∵∠ADC=45°,CF⊥AD,CD=,∴DF=CF=1,∴AF==3,∴AD=AF+DF=4,故答案为4.,(2)若点D在BC右侧,如图2,过点C作CF⊥AD于点F,∵∠ACB=∠DCE=90°,AC=,BC=,CD=,CE=1,∴∠ACD=∠BCE,==,∴△ACD∽△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵CD=,CE=1,∴DE==2.∵∠ADC=∠BEC,∠DCE=∠CFD=90°,∴△DCE∽△CFD,∴==,即==,∴CF=,DF=,∴AF==,∴AD=DF+AF=3.,若点D在BC左侧,如图3,过点C作CF⊥AD的延长线于F,∵∠ACB=∠DCE=90°,AC=,BC=,CD=,CE=1,∴∠ACD=∠BCE,==,∴△ACD∽△BCE,∴∠ADC=∠BEC,∴∠CED=∠CDF.∵CD=,CE=1,∴DE==2.∵∠CED=∠CDF,∠DCE=∠CFD=90°,∴△DCE∽△CFD,∴==,即==,∴CF=,DF=,∴AF==,∴AD=AF-DF=2.,4.(2020·苏州模拟)如图①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中点.小明对图①进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°,点B的对应点是点E,连接BE,得到△BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.,请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图②所示.①∠BEP=°;②连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是;(2)请在图③中画出△BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由;(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.,解:(1)①如图1中,∵∠BPE=80°,PB=PE,∴∠BEP=∠PBE=50°.②结论:AB∥EC.理由:∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∴∠BDE=90°,∴∠EBD=90°-50°=40°.∵AE垂直平分线段BC,∴EB=EC,∴∠ECB=∠EBC=40°.∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠ABC=∠ACB=40°,∴∠ABC=∠ECB,∴AB∥EC.故答案为①50,②AB∥EC.,(2)如图2中,以P为圆心,PB为半径作☉P,连接PC.∵AD垂直平分线段BC,∴PB=PC,∴∠BCE=∠BPE=40°.又∵∠ABC=40°,∴AB∥EC.(3)如图3中,作AH⊥CE于H,∵点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,∴当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值为AB=3.,5.(2021·青岛二模)问题背景:在△ABC中,边AB上的动点D由A向B运动(与A,B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.(1)初步尝试:如图1,若△ABC是等边三角形,DH⊥AC,且点D,E的运动速度相等,求证:HF=AH+CF.小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:思路一:过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;思路二:过点E作EM⊥AC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分).,(2)类比探究:如图2,若在△ABC中,∠ABC=90°,∠ADH=∠BAC=30°,且点D,E的运动速度之比是∶1,求的值.(3)延伸拓展:如图3,若在△ABC中,AB=AC,∠ADH=∠BAC=36°,记=m,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表示(直接写出结果,不必写解答过程).,解:(1)证明(选择思路一):过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图1,则∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠ACB=60°,∴∠ADG=∠AGD=∠A,∴△ADG是等边三角形,∴GD=AD=CE.∵DH⊥AC,∴GH=AH.∵DG∥BC,∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF.在△GDF和△CEF中,∵∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GF=CF,∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF.,(2)过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图2,则∠ADG=∠B=90°,∵∠BAC=∠ADH=30°,∴∠HGD=∠HDG=60°,∴AH=GH=GD,AD=GD,根据题意得AD=CE,∴GD=CE.∵DG∥BC,∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF.在△GDF和△CEF中,∵∴△GDF≌△CEF(ASA),∴GF=CF,∴GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,∴=2.,(3)=,理由如下:过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图3,则∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,∵AB=AC,∠BAC=36°,∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°.∵∠ADH=∠BAC=36°,∴AH=DH,∠DHG=72°=∠AGD,∴DG=DH=AH,△ADG∽△ABC,△ADG∽△DGH,∴==m,===m,∴△DGH∽△ABC,∴==m,∴=m.∵DG∥BC,∴△DFG∽△EFC,∴==m,∴=m,即=m,∴=,∴==+1=.,6.(2021·南京模拟)(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示).(2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值.,(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.,解:(1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.故答案为:CB的延长线上,a+b.(2)①CD=BE,理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB.,在△CAD与△EAB中,∵∴△CAD≌△EAB(SAS),∴CD=BE.②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,∴线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=5.,(3)如图1,∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM.∵A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),∴OA=2,OB=6,∴AB=4,∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,∴当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值=AB+AN.∵AN=AP=2,∴最大值为2+4.,如图2,过P作PE⊥x轴于E,∵△APN是等腰直角三角形,∴PE=AE=,∴OE=BO-AB-AE=6-4-=2-,∴P(2-,).如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限,P(2-,-)时,也满足条件.综上所述,满足条件的点P坐标(2-,)或(2-,-),AM的最大值为2+4.,7.问题:已知α,β均为锐角,tanα=,tanβ=,求α+β的度数.探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出α+β的度数;延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求的弧长.,解:(1)如图,连接AM,MH,由网格图可知:△AMH是等腰直角三角形,即AM=MH,∠MHP=α,∴∠MHA=α+β,在Rt△AMH中,tan∠MHA=tan(α+β)==1,∴α+β=45°.,(2)如图,连接MR,过点R作RT⊥MH于点T,由图可得∠MPH=90°,∴MH是经过M,P,H三点的圆弧所在圆的直径,∴∠MRH=90°.又∵α+β=45°,即∠MHA=45°,RT⊥MH,∴△MRH,△MTR,△HTR都是等腰直角三角形,∴MT=HT=TR=MH,∠MTR=90°,在Rt△MPH中,MP=1,PH=2,∴由勾股定理,得MH=,∴MT=,==π.答:的弧长为π.
