规律探索一．选择题1．（2022·泰安，20，3分）观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32022的末位数字是（ ）A．0B．1C．3D．7考点：尾数特征．分析：根据数字规律得出3＋32＋33＋34…＋32022的末位数字相当于：3＋7＋9＋1＋…＋3进而得出末尾数字．解答：解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2022÷4＝503…1，∴3＋32＋33＋34…＋32022的末位数字相当于：3＋7＋9＋1＋…＋3的末尾数为3，点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键． 2.（2022四川绵阳，12，3分）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现用等式AM=（i，j）表示正奇数M是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2022=（C）A．（45，77）B．（45，39）C．（32，46）D．（32，23）［解析］第1组的第一个数为1，第2组的第一个数为3，第3组的第一个数为9，第4组的第一个数为19，第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1，3，9，19，33……分别计作a1,a2,a3,a4,a5……an，an表示第n组的第一个数，a1=1a2=a1+2a3=a2+2+4×1a4=a3+2+4×223\na5=a4+2+4×3……an=an-1+2+4×(n-2)将上面各等式左右分别相加得：an=1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3(上面各等式左右分别相加时，抵消了相同部分a1+a2+a3+a4+a5+……+an-1)，当n=45时，an=3873>2022,2022不在第45组当n=32时，an=1923<2022,(2022-1923)÷2+1=46, A2022=(32,46).如果是非选择题：则2n2-4n+3≤2022，2n2-4n-2022≤0，假如2022是某组的第一个数，则2n2-4n-2022=0，解得n=1+,31<<32,32<n<33,2022在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923,(2022-1923)÷2+1=46.(注意区别an和An)3.（2022湖南益阳，13，4分）下表中的数字是按一定规律填写的，表中a的值应是．1235813a…2358132134…【答案】：21【解析】通过观察可知上一排每个数字等于其左下方的数字。【方法指导】本题可以通过观察上下排数字的联系求出a的值，也可以根据“前两个数字之和等于第三个数字”求出a=8+13=21。4.（2022重庆市(A)，10，4分）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，……，第（10）个图形的面积为（）A．196cm2B．200cm2C．216cm2D．256cm223\n【答案】B．【解析】观察图形，第（1）个图形中有1(12)个矩形，面积为2cm2，即1×2＝2cm2；第（2）个图形中有4(22)个矩形，面积为8cm2，即4×2＝22×2＝8cm2；第（3）个图形有9(32)个矩形，面积为18cm2，即9×2＝322×2＝18cm2；……，所以第（10）个图形有100(102)个矩形，面积为：100×2＝200cm2．故选B．【方法指导】本题考查数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律进行解答．5．（2022山东德州，12，3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A、（1，4）B、（5，0）C、（6，4）D、（8，3）【答案】D【解析】如下图，动点P（0，3）沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角，到①时，点P（3，0）；到②时，点P（7，4）；到③时，点P（8，3）；到④时，点P（5，0）；到⑤时，点P（1，4）；到⑥时，点P（3，0），此时回到出发点，继续.......，出现每5次一循环碰到矩形的边.因为2022=402×5+3（2022÷5=402…3）.所以点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（8，3）.故选D.【方法指导】本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角坐标系规律探索.以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律.6．（2022山东日照，11，4分）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律,图形中M与m、n的关系是23\nA．M=mnB．M=n(m+1)C．M=mn+1D．M=m(n+1)【答案】D【解析】由前面向个题的规律可得M=m(n+1)。【方法指导】本题是考查找规律的问题，这类问题要求认真分析所给的信息，从而找到一个能代表这个规律的式子来代替。7．（2022湖南永州，8，3分）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，若我们规定一个新数“”，使其满足(即方程有一个根为)，并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有，从而对任意正整数n，我们可得到同理可得那么，的值为A．0 B．1 C．-1 D．【答案】D.【解析】由于=，而，=，所以本题选D。【方法指导】对于数字规律题，有如下的步骤：1.计算前几项，一般算出四五项；2.找出几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等。3.用代数式表示出规律或是得出循环节（即几个数一个循环）；4.验证你得出的结论。8．（2022重庆，11，4分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）23\n图①图②图③···（第11题图）A．51B．70C．76D．81【答案】C【解析】第①个图形有1个棋子，第②个图形有1+5个棋子，第③个图形有1+5+10个棋子，由此可以推知：第④个图形有1+5+10+15个棋子，第⑤个图形有1+5+10+15+20个棋子，第⑥个图形有1+5+10+15+20+25个棋子．故选C．【方法指导】本题是一道规律探索题，考查观察分析图形并探索归纳规律的能力．解决此类问题应先观察图形的变化趋势，从第一个图形开始进行分析，是逐渐增加还是减少，相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系；如果所求图形的位置序号较大时，需要运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有n的代数式表示出来，最后用代入法求出特殊情况下的数值．【易错警示】用局部的一两个图形之间的规律代替一般规律，这是常见错误；忽视第一个图形的规律也是常见错误之一．二．填空题1．（2022江西，11，3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为（用含n的代数式表示）．【答案】(n+1)2【解析】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示．23\n【方法指导】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方.2．（2022兰州，19，4分）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的坐标为．考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2022除以3，根据商为671可知第2022个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．解答：解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2022÷3=671，∴△2022的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2022的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．23\n点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点． 3．（2022广东珠海，10，4分）如图，正方形ABCD的边长为1，顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1，由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…，以此类推，则第六个正方形A6B6C6D6周长是 ．考点：中点四边形．专题：规律型．分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形A6B6C6D6的周长．解答：解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形A1B1C1D1，则得正方形A1B1C1D1的面积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A1B1C1D1中点得正方形A2B2C2D2，则正方形A2B2C2D2的面积为正方形A1B1C1D1面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，则正方形A3B3C3D3的面积为正方形A2B2C2D2面积的一半，即，则周长是原来的；顺次连接正方形A3B3C3D3中点得正方形A4B4C4D4，则正方形A4B4C4D4的面积为正方形A3B3C3D3面积的一半，则周长是原来的；…以此类推：第六个正方形A6B6C6D6周长是原来的，∵正方形ABCD的边长为1，23\n∴周长为4，∴第六个正方形A6B6C6D6周长是．故答案为：．点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质．进而得到周长关系．4．（2022贵州安顺，18，4分）直线上有2022个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点．考点：规律型：图形的变化类．分析：根据题意分析，找出规律解题即可．解答：解：第一次：2022+（2022﹣1）=2×2022﹣1，第二次：2×2022﹣1+2×2022﹣2=4×2022﹣3，第三次：4×2022﹣3+4×2022﹣4=8×2022﹣7．∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2022﹣7=16097个点．故答案为：16097．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出点的变化规律是解题关键． 5．（2022湖北孝感，17，3分）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 51 ．考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，根据此规律依次进行计算即可得解．解答：解：∵5﹣1=4，12﹣5=7，22﹣12=10，23\n∴相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3，∴第4个五边形数是22+13=35，第5个五边形数是35+16=51．故答案为：51．点评：本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3是解题的关键．6．（2022湖南娄底，18，4分）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需 2n+1 根火柴棒．考点：规律型：图形的变化类．分析：按照图中火柴的个数填表即可当三角形的个数为：1、2、3、4时，火柴棒的个数分别为：3、5、7、9，由此可以看出当三角形的个数为n时，三角形个数增加n﹣1个，那么此时火柴棒的个数应该为：3+2（n﹣1）进而得出答案．解答：解：根据图形可得出：当三角形的个数为1时，火柴棒的根数为3；当三角形的个数为2时，火柴棒的根数为5；当三角形的个数为3时，火柴棒的根数为7；当三角形的个数为4时，火柴棒的根数为9；…由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2（n﹣1）=2n+1．故答案为：2n+1．点评：此题主要考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规律：三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根，然后由此规律解答．7．（2022贵州省黔东南州，16，4分）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2022的值是 1014049 ．23\n考点：规律型：数字的变化类．分析：根据已知数字变化规律，得出连续奇数之和为数字个数的平方，进而得出答案．解答：解：∵1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，∴1+3+5+…+2022=（）2=10072=1014049．故答案为：1014049．点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键． 8．（2022河北省，20，3分）如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；……如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m=_________．答案：2解析：C1：y＝－x(x－3)（0≤x≤3）C2：y＝（x－3）(x－6)（3≤x≤6）C3：y＝－（x－6）(x－9)（6≤x≤9）C4：y＝（x－9）(x－12)（9≤x≤12）┉C13：y＝－（x－36）(x－39)（36≤x≤39），当x＝37时，y＝2，所以，m＝2。9.（2022贵州安顺，18，4分）直线上有2022个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.【答案】：16097.【解析】第一次：2022+（2022﹣1）=2×2022﹣1，第二次：2×2022﹣1+2×2022﹣2=4×2022﹣3，第三次：4×2022﹣3+4×2022﹣4=8×2022﹣7．23\n∴经过3次这样的操作后，直线上共有8×2022﹣7=16097个点．【方法指导】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出点的变化规律是解题关键．10．（2022山东滨州，18，4分）观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…………请猜测，第n个算式(n为正整数)应表示为____________________________．【答案】：．【解析】根据数字变化规律得出个位是5的数字数字乘积等于十位数乘以十位数字加1再乘以100再加25，进而得出答案．【方法指导】此题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出数字之间的变与不变是解题关键．11．(2022浙江湖州,15,4分)将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行、第7列的数是__▲__．【答案】85【解析】23\n第一行的第一列与第二列差个2，第二列与第三列差个3，第三列与第四列差个4，…第六列与第七列差个7，第二行的第一列与第二列差个3，第二列与第三列差个4，第三列与第四列差个5，…第五列与第六列差个7，第三行的第一列与第二列差个4，第二列与第三列差个5，第三列与第四列差个6，第四列与第五列差个7，…第七行的第一列与第二列差个8，是30，第二列与第三列差个9，是39，第三列与第四列差个10，是49，第四列与第五列差个11，是60，第五列与第六列差个12，是72，第六列与第七列差个13，是85；故答案为：85．【方法指导】此题考查了数字的变化猜想归纳，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系．12．（2022江西南昌，14，3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有的个数为（用含n的代数式表示）．【答案】(n+1)2【解析】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示．【方法指导】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方.13、（2022深圳，16，3分）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去，则第（6）幅图中含有个正方形；①②③【答案】91【解析】第①幅图中含有1个正方形，第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有14个正方形……，；；……，则第⑥幅图中含有：23\n个正方形【方法指导】首先，分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关键。其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解。本题还可以借二次函数模型来解决。14．（2022四川宜宾，14，3分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆．【答案】46．【解析】观察上图可发现所有图形中外侧都有四个小圆，这是不变的而中间小圆的个数第一个图形可表示为12，第二个图形可表示为23，第三个图形可表示为34，第四个图形可表示为45，所有第n个图形中小圆的个数可表示为4+n(n+1)故第6个图形中小圆的个数为46.【方法指导】本题考察了根据图形寻找规律的知识，解找规律的题目时首先寻找各部分的共同点然后找各部分的不同点，若题目给出的条件没有找到规律可仿照题目条件继续往下写几个，一般3-5个式子或图形即可找到规律.15.（2022四川雅安，13，3分）已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是 ．【答案】2n【解析】先观察所给的数，得出第几个数正好是2的几次方，从而得出第n个数是2的n次方．【方法指导】此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决实际问题，解题的关键是确定第几个数就是2的几次方．16.（2022福建福州，22，14分）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，＝__________；23\n当顶点坐标为（m，m），m≠0时，与m之间的关系式是__________；（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx(k≠0)上，请用含的代数式表示b；（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x上，横坐标依次为1，2，…，n（为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过Dn，求所有满足条件的正方形边长．【思路分析】（1）利用顶点坐标公式（，）得出方程组求解即可；（2）将该抛物线的顶点坐标（，）代入直线方程y＝kx（k≠0），即可求得用含k的代数式表示b；（3）根据题意可设An（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）．由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y＝－x2＋2x．所以由正方形的性质推知点Dn的坐标是（2n，n），则把点Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得4n＝3t．然后由n、t的取值范围来求点An的坐标，即该正方形的边长．【答案】（1）－1；a＝－（或am＋1＝0）；（2）解：∵a≠0∴y＝ax2＋bx＝a(x＋)2－∴顶点坐标为（－，－）∵顶点在直线y＝kx上∴k(－)＝－∵b≠0∴b＝2k（3）解：∵顶点An在直线y＝x上∴可设An的坐标为（n，n），点Dn所在的抛物线顶点坐标为（t，t）由（1）（2）可得，点Dn所在的抛物线解析式为y＝－x2＋2x∵四边形AnBnCnDn是正方形23\n∴点Dn的坐标为（2n，n）∴－(2n)2＋2×2n＝n∴4n＝3t∵t、n是正整数，且t≤12，n≤12∴n＝3，6或9∴满足条件的正方形边长为3，6或9[中国教*育&#^@出版网]【方法指导】本题考查了二次函数的顶点坐标公式以及函数图像上点的坐标与其解析式的关系，另外还涉及到正方形的性质．求二次函数顶点坐标时，可以运用公式也可运用配方法，函数图像上点的坐标适合其函数解析式，解答第（3）题时，要注意n的取值范围吆！17．（2022广东湛江，16，4分）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用、、、、…表示，其中与x轴、底边与、与、…均相距一个单位，则顶点的坐标是，的坐标是．第16题图【答案】（0，），（－8，－8）.【解析】由于，而的坐标为（－1，－1），的坐标为（－2，－2）的坐标为（－3，－3）……23\n的坐标为（－8，－8）【方法指导】解决数字规律或图形规律突破点之一，用表格上下把数的序号及图形的序号表示出来，再在后面写出它的结果，这样容易看出其中的规律；三．解答题1.（2022江苏南京，27，10分）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似。例如，如图，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似；如图，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC与△A’B’C’互为逆相似。kABCjABCA’B’C’A’B’C’(1)根据图I、图II和图III满足的条件，可得下列三对相似三角形：△ADE与△ABC；△GHO与△KFO；△NQP与△NMQ。其中，互为顺相似的是；互为逆相似的是。(填写所有符合要求的序号)(2)如图，在锐角△ABC中，ÐA<ÐB<ÐC，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明ABCl理由。23\n解析：(1)jk；l(4分)(2)解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。第一种情况：如图j，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQ1、PQ2，分别使ÐCPQ1=ÐA，ÐBPQ2=ÐA，此时△PQ1C、△PBQ2都与△ABC互为逆相似。第二种情况：如图k，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作ÐCBM=ÐA，BM交AC于点M。当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此时△AP1Q与△ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐABC，ÐCP2Q2=ÐABC，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似。第三种情况：如图l，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作ÐBCD=ÐA，ÐACE=ÐB，CD、CE分别交AC于点D、E。当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出1条截线P1Q，使ÐAP1Q=ÐABC，此时△AQP1与△ABC互为逆相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Q1、P2Q2，分别使ÐAP2Q1=ÐACB，ÐBP2Q2=ÐBCA，此时△AQ1P2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出1条截线P3Q’，使ÐBP3Q’=ÐBCA，此时△Q’BP3与△ABC互为逆相似。(10分)ABCQ1PjQ2ABCQ1MQ2QP1P2ABCQ1Q’QP1P2D’EQ2P3kl17．（2022•东营，17，4分）如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；……按此作法继续下去，则点A202223\n的坐标为．答案：（注：以上两答案任选一个都对）解析：因为直线与x轴的正方向的夹角为30°，所以，在中，因为OA=1，所以OB=2，中，所以=4，即点的坐标为（0，4），同理=8，所在中，=16，即点的坐标为依次类推，点的坐标为或．17．（2022·聊城，17，3分）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n＋1（n为自然数）的坐标为（用n表示）考点：规律型：点的坐标．专题：规律型．分析：根据图形分别求出n＝1、2、3时对应的点A4n＋1的坐标，然后根据变化规律写出即可．解答：解：由图可知，n＝1时，4×1＋1＝5，点A5（2，1），n＝2时，4×2＋1＝9，点A9（4，1），23\nn＝3时，4×3＋1＝13，点A13（6，1），所以，点A4n＋1（2n，1）．故答案为：（2n，1）．点评：本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出n＝1、2、3时对应的点A4n＋1的对应的坐标是解题的关键． 17．（2022·潍坊，17，3分）当白色小正方形个数等于1，2，3…时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．（用表示，是正整数）答案：n2＋4n考点：本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的能力．点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后含有的代数式进行表示．1.（2022•衢州4分）如图，在菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°．顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…．则四边形A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形A2022B2022C2022D2022的周长是 ．【思路分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可23\n【解析】∵菱形ABCD中，边长为10，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，∴△AA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形，∴A1D1=5，C1D1=AC=5，A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5，∴四边形A2B2C2D2的周长是：5×4=20，同理可得出：A3D3=5×，C3D3=AC=×5，A5D5=5×（）2，C5D5=AC=（）2×5，…∴四边形A2022B2022C2022D2022的周长是：=．故答案为：20，．【方法指导】此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键．1.（2022山西，15，3分）一组按规律排列的式子：ａ２，，,,….则第n个式子是________【答案】（n为正整数）【解析】已知式子可写成：，，,，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a的指数为偶数2n。2.（2022四川巴中，20，3分）观察下面的单项式：a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ﹣128a8 ．考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n﹣1），a的指数为n．23\n解答：解：第八项为﹣27a8=﹣128a8．点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．3.（2022四川内江，24，6分）如图，已知直线l：y=x，过点M（2，0）作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为 （884736，0） ．考点：一次函数综合题．分析：本题需先求出OA1和OA2的长，再根据题意得出OAn=4n，求出OA4的长等于44，即可求出A4的坐标．解答：解：∵直线l的解析式是y=x，∴∠NOM=60°．∵点M的坐标是（2，0），NM∥x轴，点N在直线y=x上，∴NM=2，∴ON=2OM=4．又∵NM1⊥l，即∠ONM1=90°∴OM1=2ON=41OM=8．同理，OM2=4OM1=42OM，OM3=4OM2=4×42OM=43OM，…OM10=410OM=884736．∴点M10的坐标是（884736，0）．故答案是：（884736，0）．23\n点评：本题主要考查了如何根据一次函数的解析式和点的坐标求线段的长度，以及如何根据线段的长度求出点的坐标，解题时要注意相关知识的综合应用． 4.（2022四川遂宁，15，4分）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为 6n+2 ．考点：规律型：图形的变化类．专题：规律型．分析：观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可．解答：解：第1个图形有8根火柴棒，第2个图形有14根火柴棒，第3个图形有20根火柴棒，…，第n个图形有6n+2根火柴棒．故答案为：6n+2．点评：本题是对图形变化规律的考查，查出前三个图形的火柴棒的根数，并观察出后一个图形比前一个图形多6根火柴棒是解题的关键．三、解答题：1（2022•绍兴8分）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B123\n的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn﹣1沿An﹣1Bn﹣1的方向平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn（n＞2）．（1）求AB1和AB2的长．（2）若ABn的长为56，求n．【思路分析】（1）根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，进而求出AB1和AB2的长；（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1求出n即可．【解析】1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，∴AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，∴AB2的长为：5+5+6=16；（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，∴ABn=（n+1）×5+1=56，解得：n=10．【方法指导】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5是解题关键．23
