梯形一．选择题1．（2022兰州，6，3分）下列命题中是假命题的是（ ） A．平行四边形的对边相等B．菱形的四条边相等 C．矩形的对边平行且相等D．等腰梯形的对边相等考点：命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质．分析：根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的判定与性质分别判断得出答案即可．解答：解：A．根据平行四边形的性质得出平行四边形的对边相等，此命题是真命题，不符合题意；B．根据菱形的性质得出菱形的四条边相等，此命题是真命题，不符合题意；C．根据矩形的性质得出矩形的对边平行且相等，此命题是真命题，不符合题意；D．根据等腰梯形的上下底边不相等，此命题是假命题，符合题意．故选：D．点评：此题主要考查了平行四边形、矩形、菱形、以及等腰梯形的判定与性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键． 2．（2022湖南张家界，6，3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ） A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考点：中点四边形．分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选C．13\n点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．3.（2022•宁波3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（ ） A．B．C．D．2【答案】B．【解析】延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．【方法指导】本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．4．（2022上海市，6，4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）（A）∠BDC=∠BCD；（B）∠ABC=∠DAB；（C）∠ADB=∠DAC；（D）∠AOB=∠BOC．13\n5.（2022四川巴中，6，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（ ） A．9B．10.5C．12D．15考点：梯形中位线定理．分析：根据梯形的中位线等于两底和的一半解答．解答：解：∵E和F分别是AB和CD的中点，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC），∵EF=6，∴AD+BC=6×2=12．故选C．点评：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底边并且等于两底边和的一半是解题的关键．6．（2022湖北省十堰市，1，3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（ ） A．8B．9C．10D．11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．解答：解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，∴cos60°===，解得：BF=1.5，故EC=1.5，∴BC=1.5+1.5+5=8．故选：A．13\n点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC的长是解题关键．7．（2022广东广州，10，4分）如图5，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（）A.B.C.D.【答案】B.【解析】如答案图，∵CA是∠BCD的平分线∴∠1=∠2∵AD∥BC∴∠1=∠3从而∠3=∠2∵AD=6∴CD=AD=6作DE⊥AC于E可知AE=CE∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC∴△ABC∽△EDC∴∵AE=CE，CD=6∴BC=12在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=8所以，tanB=2，答案选B。13\n【方法指导】1.一道几何题中，同时有角平分线和平行线，要注意角间的转化；2.对于等腰三角形，要注意运用“三线合一”的性质将问题转化．8．（2022山东德州，7，3分）下列命题中，真命题是A、对角线相等的四边形是等腰梯形B、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、四个角相等的边形是矩形【答案】D【解析】A、对角线相等的四边形是等腰梯形，是假命题，如：对角线相等的四边形可以是矩形等；B、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，如：满足条件的四边形可以是菱形，但菱形不是正方形哦；D、四个角相等的边形是矩形是假命题，如：满足条件的四边形可以是正方形，但要注意矩形与正方形是一般与特殊关系.【方法指导】本题考查了命题真、假的判断.实际可以记住我们已经学过的相关定义、定理、数学基本事实等，它们都是真命题.9.（2022四川宜宾，12，3分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，E为AB边上的一点，∠BCE=15°，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH．下列结论：①△ACD≌△ACE；②△CDE等边三角形；③；④．其中结论正确的是( )A．只有①② B．只有①②④ C．只有③④ D．①②③④【答案】A【解析】根据AB=BC,∠ABC=90°可得△ABC为等腰直角三角形所以∠BAC=∠ACB=45º，由AD∥BC可得∠DAC=∠BCA=45º根据“边角边”可得△ACD≌△ACE，所以①正确；由△ACD≌△ACE可得EC=DC，∠ECH=∠DCH.因为∠ACB=45º,∠BCE=15°，所以∠ECH=∠DCH=30º所以∠ECD=60º,所以△CDE等边三角形；故②正确.根据∠ECH=30º，而∠BCE=15°，所以延长EB至F，使EB=BF，连接CF，如图，则△BEC≌△13\nBFC，所以∠ECM=30º,然后过点E作EM⊥FC,垂足为M，根据AAS易证△EMC≌△EHC，可得EH=EM。因为EM<EF,而EF=2EB,所故③不正确．由△ACD≌△ACE可得∠ECH=∠DCH，根据三线合一定理，CH⊥DE，E边上的中线，所以所以因为△AEH为等腰直角三角形，所以AH=EH．在Rt△CEH中，CH=所以故④不正确．【方法指导】本题考查了三角形全等、平行线的性质、等腰三角形三线合一定理、直角三角形、等边三角形、三角形的面积，综合性较强，.要熟记全等三角形的判定定理，并能灵活运用．在复杂的几何图形中能通过作辅助线（如借助垂直、中点或角的平分线、已知条件等或通过对称进行转换，把角转换成特殊角），构造全等条件来证明线段、角相等；另外遇到等腰三角形一定要想到“三线合一”定理，解题时要注意一些思想方法的运用．求面积时，要选择合适的底和高．二．填空题1.（2022湖南长沙，18，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AE∥CD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则CD的长是.答案：3【详解】因为AE∥CD、AD∥BC，所以∠AEB=∠C=80°、CD=AE、AD=EC；在△ABE中，根据三角形内角和可知∠BAE=180°－80°－50°=50°，即AE=BE=BC－EC=5－2=3，所以CD=3.2.（2022江苏南京，15，2分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC与BD相交xyABCDPO于点P。已知A(2,3)，B(1,1)，D(4,3)，则点P的坐标为（，）。答案：3；解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以，PE＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。＋1＝故P的坐标为（3，）。13\n3．（2022贵州省六盘水，15，4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于 19 ．考点：梯形；线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DE=CE，然后求出四边形ABED的周长=AD+AB+BC，然后代入数据进行计算即可得解．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC，∵AD=4，AB=5，BC=10，∴四边形ABED的周长=4+5+10=19．故答案为：19．点评：本题考查了梯形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 4.（2022山东临沂，18，3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，BD⊥DC，垂足分别为E，D，DE＝3，BD＝5．则腰长AB＝_________________．ABCDE【答案】：．【解析】因为DE＝3，BD＝5．所以BE=4，DE2=BE×EC,EC=,在三角形DEC中，根据勾股定理得AB＝。【方法指导】利用勾股定理和相似三角形的性质。5.（2022江苏扬州，14，3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，BC=12，∠ABC=60°，则梯形ABCD的周长为．【答案】30．【解析】过点D作DE∥AB，交BC于点E．∵AD∥BC，∴AD=BE．13\n设AB=AD=CD=x，则BE=x．∵∠ABC=60°，∴△DCE是等边三角形．∴CE=x．∵BC=12，∴2x=12．解得x=6．所以梯形ABCD的周长=5×6=30．所以应填30．【方法指导】考查梯形中常作辅助线的方法以及梯形的性质．利用梯形中常作的辅助线的方法，求出梯形的上底和两腰，再求得周长．【易错警示】不掌握等腰梯形的性质，等腰三角形（等边三角形）的性质，平行四边形的判定和性质等知识，不能综合运用知识而出错．6.(2022山东烟台，15,3分)如图，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=60°若其四边满足长度的众数为5．平均数为，上、下底之比为l：2则BD=__________.【答案】【解析】如图：根据等腰梯形的性质以及众数的定义，可以确定出AB=CD=5，设AD=x，则BC=10，∴∴x=5在等腰△ABD中，过点A作AE⊥BD，垂足为E.∵∠ABC=60º，∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30º，在△ABE中，AB=5，∠ABD=30º，∴BE=∴BD=【方法指导】本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、众数、平均数、三角函数.梯形是三角形与平行四边形以及三角函数知识的结合点，所以有关梯形的试题形式灵活，考查面广，本题巧妙的把众数、平均数和梯形巧妙的结合在一起，解题时要透过现象抓住本质，分离出基本图形等腰△ABD，然后再利用三角函数求解.三．解答题1．（2022广西钦州，20，6分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．13\n考点：等腰梯形的判定．专题：证明题．分析：由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．解答：证明：∵AB∥DE，∴∠DEC=∠B，∵∠DEC=∠C，∴∠B=∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形．点评：此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用．2.2022杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．【思路分析】由在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DE=CF，利用SAS，易证得△ADE≌△BCF，即可得∠DAE=∠CBF，则可得∠GAB=∠GBA，然后由等角对等边，证得：△GAB是等腰三角形【解析】证明：∵在等腰梯形中ABCD中，AD=BC，∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴∠DAE=∠CBF，∴∠GAB=∠GBA，∴GA=GB，即△GAB为等腰三角形．【方法指导】此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用3．（2022山东滨州，24，10分）13\n某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示．其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm，为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF一年高位多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)【答案】：解：过点C作CM∥AB，交EF、AD于N、M，作CP⊥AD，交EF、AD于Q、P．由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN=AM=BC=20(cm)．∴MD=AD－AM=50－20=30(cm)．由题意知CP=40cm，PQ=8cm，∴CQ=32cm．∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD．∴=，即=．解得NF=24(cm)．∴EF=EN+NF=20+24=44(cm)．答：横梁EF应为44cm．【解析】根据平行四边形的性质，可得EN=AM=BC，先求出MD,CQ的长度，再由△CNF∽△CMD，可得出NF，继而得出EF的长度．【方法指导】本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容．4、（2022深圳，20，8分）如图4，在等腰梯形中，已知∥，，与交于点，延长至，使得，连接。（1）求证：（2）若⊥，，，试求的长。13\n图4【答案】（1）证明：∵梯形为等腰梯形，∴又∥∴四边形为平行四边形∴∴（2）过点作⊥于点∵梯形为等腰梯形∴又四边形为平行四边形∴，因此，，故又⊥，∥，则，由（1）知，故而为等腰直角三角形∴，从而，则∴从而【解析】（1）由等腰梯形的性质有，又易证四边形为平行四边形，知，故（2）过点作⊥于点，由等腰梯形和平行四边形的性质有，故由（1）知，由（2）的条件知⊥，因而13\n为等腰直角三角形，因而易求，进而可求及从而求出的长【方法指导】本题考查了等腰等梯的性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及转化思想的运用等知识点，其中，将梯形的面积转化为等腰三角形的面积是切题的关键。5.（2022福建福州，21，12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为，设AB＝x，AD＝y（1）求y与x的函数关系式；（2）若∠APD＝45°，当y＝1时，求PB•PC的值；+（3）若∠APD＝90°，求y的最小值．ABCDPABCD【思路分析】（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在Rt△ABE中，由∠B＝45°，AB＝x，利用锐角三角函数定义表示出AE，△PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；（2）由图知∠APC＝∠APD＋∠CPD，再利用外角性质得到关系式，等量代换得到∠BAP＝∠CPD，再由四边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及AB＝CD，可得出△ABP与△PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PB•PC的值；（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PF＝PH时，PF最小，此时F与H重合，由△APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值．解：（1）如图1，过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，∠B＝45°，AB＝x∴AE＝AB·sinB＝x∵S△APD＝AD·AE＝，∴·y·x＝∴y＝（2）∵∠APC＝∠APD＋∠CPD＝∠B＋∠BAP，又∠APD＝∠B＝45°∴∠BAP＝∠CPD13\n∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，AB＝DC∴△ABP∽△PCD∴＝∴PB·PC＝AB·DC∴PB·PC＝AB2当y＝1时，x＝．即AB＝．∴PB·PC＝()2＝2．（3）如图2，取AD的中点F，连接PF．过点P作PH⊥AD于点H∴PF≥PH．当PF＝PH时，PF有最小值．又∵∠APD＝90°，∴PF＝AD＝y∴PH＝y∵S△APD＝·AD·PH＝，∴·y·y＝．y2＝2．∵y＞0，∴y＝即y的最小值为【方法指导】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判13
