探索规律型问题一、选择题1．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m,n），规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（）．A．（3，2）B．（3，－2）C．（－3，2）D．（－3，－2）答案：A2、图1图2图3（2022浙江省宁波模拟题）图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+4，则图3中线段的长为.答案：+1第18题3.（2022浙江省宁波模拟题）如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=AnAn+1=1，分别过点A1，A2，A3，…，An+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点B1，B2，B3，…，Bn+1，连结A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1依次产生交点P1，P2，P3，…，Pn，则Pn的横坐标是．答案：或4.（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n14\n个边长为1的小三角形，若，则△ABC的周长是▲.(第16题)图)图)答案：155、(2022年江苏南京一模)小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…成为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（▲）……369…4812…图1图2A.2022B.2022C.2022D.2022答案：D6、（2022杭州江干区模拟）已知两直线、为正整数），设这两条直线与轴所围成的三角形的面积为，则的值是A．B．C．D．【答案】D7、(2022年广东省佛山市模拟)如图，在Rt⊿ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，过B作BA1⊥AC，过A1作A1B1⊥BC，得阴影Rt⊿A1B1B；再过B1作B1A2⊥AC，过A2作A2B2⊥BC，得阴影Rt⊿A2B2B1；……如此下去，请猜测这样得到的所有阴影三角形的面积之和为()（模拟改编）14\nA.B.C.D.答案：D8、（2022年广东省珠海市一模）如图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于 A.20B．21C．22D．23答案：C9、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心O经过的路线长是（）cm．A．8B．8C．3πD．4πD10、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有★().A．63个B．57个C．68个D．60个D11、（2022宁波五校联考一模）观察图(1)，容易发现图(2)中的∠1=∠2+∠3．把图(2)推广到图(3)，其中有8个角：∠1，∠2，…，∠8．可以验证∠1=∠2+∠5+∠8成立．除此之外，恰好还有一组正整数x，y，z，满足2≤x≤y≤z≤8，使得∠1=∠x+∠y+∠z，那么这组正整数(x，y，z)=()14\nA．（3，4，7）B.（3，5，7）C.（3，3，7）D.（4，6，7）答案：C12.（2022宁波五校联考二模）黑板上写有共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数，然后删去，并在黑板上写上数，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（）．（A）2022（B）101（C）100（D）99答案：C13、（2022年广西梧州地区一模）已知：(x≠0且x≠－1)，，，…，，则等于(A)x(B)x＋1(C)(D)答案：Ｂ14、（2022年湖北武汉模拟）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6－1．在图6－2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6－1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是________图6－1图6－2向右翻滚90°逆时针旋转90°答案：5二、填空题14\n1．（2022年北京顺义区一模）如图，边长为1的菱形中，，则菱形的面积是，连结对角线，以为边作第二个菱形，使；连结，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的面积为___________．答案：，第1题图2、(2022年安徽省模拟八)如图，△ABC中，AB=BC=CA=8．一电子跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=3．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2022与点P2022之间的距离为．答案：5第2题图3、(2022年湖北荆州模拟6)如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2022=▲.答案：4、(2022年湖北荆州模拟6)已知a≠0，，，，…，，则 ▲(用含a的代数式表示)．答案：5、（2022年上海长宁区二模)已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积S1=，第2次分割后的阴影部分面积S2=，第3次分割后的阴影部分面积S3=，…….按照这样的规律分割，则第n(n为正整数)次分割后的阴影部分面积可用n表示为Sn=.14\n答案：1－6、(2022年江苏南京一模)如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，第n(n为正整数)个黑色梯形的面积．答案：8n－47、(2022年江苏南京一模)若有一列数依次为：，，，，……，则第n个数可以表示为▲．答案：8、（2022云南勐捧中学一模）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形需要棋子 枚．（用含n的代数式表示）【答案】3n+1YOxy(2,0)(4,0)(6,0)(8,0)(10,0)(12,0)(1,1)(5,1)(9,1)(3,2)(7,2)(11,2)9、（2022云南勐捧中学二模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，……，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是_ ．【答案】(2022，0)第14题图10、（2022云南勐捧中学三模）下列图案由边长相等的黑白两色正方形按一定规律拼接而成，依此规律，第n个图案中白色的正方形个数为．14\n第一个第二个第三个…【答案】5n11、（2022年广州省惠州市模拟）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是__________.答案：4n﹣2xyOAB第1题图O3x2y12、（2022山东德州特长展示）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0）．过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4；……；这样一直作下去，则A2022的纵坐标为．13．（2022郑州外国语预测卷）用形状相同的两种菱形拼成如上图所示的图案，用an表示第n个图案中菱形的个数，则an=___________（用含n的式子表示）．……答案：6n-214.（2022辽宁葫芦岛一模）如图，在第1个△ABA1中，∠B=20°,AB=A1B,在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得14\nA2A3=A2D；……，按此做法进行下去，第n个三角形的以An为顶点的内角的度数为．答案：15.（2022年唐山市二模）根据以下等式：，…．17题对于正整数n(n≥4)，猜想：l+2+…+(n一1)+n+(n一l)+…+2+1=.答案：4．16.（2022年广西钦州市四模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，……，第个三角形数记为，计算……，由此推算，____________，__________.答案：100（1分）5050（2分）17．（2022年杭州拱墅区一模）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2022个正方形的面积为.答案：18、（2022年江苏东台第二学期阶段检测）如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点,，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在14\n边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，……则第个等边三角形的边长等于.答案：三、解答题1．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）给出下列命题：命题1：点（1，1）是直线与双曲线的一个交点；命题2：点（2，4）是直线与双曲线的一个交点；命题3：点（3，9）是直线与双曲线的一个交点；……（1）请观察上面命题，猜想出命题（是正整数）；（2）证明你猜想的命题是正确的．答案：命题：点（,）是直线与双曲线的一个交点．证明：当时，，即点（,）在直线上，同理点（,）也在双曲线上，故点（,）是直线与双曲线的一个交点．2、(2022年安徽省模拟六)下图中，图（1）是一个⊿AOB，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，过OA的中点A1作A1B1∥AB，交OB于点B1，再作∠AOB的平分线OC，交A1B1于点C1，得到三角形的总数为6个，分别为：⊿AOB、⊿AOC、⊿COB、⊿A1OB1，⊿A1OC1，⊿C1OB1；第二次划分：如图（3）所示，在⊿扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到三角形的总数为11个；第三次划分：如图（4）所示；…14\n依次划分下去．（1）根据题意，完成下表：（2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到三角形的总数为2022个？为什么？第1题图答案：解：（1）从上至下依次填16，21，5n+1；（6分）（2）不能够得到2022个扇形，因为满足5n+1=2022的正整数n不存在．（8分）3、(2022年安徽省模拟七)我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等.第2题图（1）根据上面的规律，写出的展开式.（2）利用上面的规律计算：.答案：解：⑴（3分）⑵原式==14\n=1（8分）注：第（2）问不用以上规律计算不给分4、．(2022年安徽省模拟八)观察下列等式：第1个等式：a1==×（1﹣）；第2个等式：a2==×（﹣）；第3个等式：a3==×（﹣）；第4个等式：a4==×（﹣）；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a5==；（2）用含有n的代数式表示第n个等式：an==（n为正整数）；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．答案：解：根据观察知答案分别为：（1）；；（2）；；（3）a1+a2+a3+a4+…+a100的=×（1﹣）+×（﹣）+×（﹣）+×（﹣）+…+×=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=（1﹣=×=．5、如图，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形．（1）一个3×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是__________________；一个5×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数可以是__________________；（2）一个n×2的矩形用不同的方式分割后,小正方形的个数最少是___________________。（以上均直接填写结果）．实践探究14\n图(1)EDCFBA图(4)图(2)图(3)ABCD（1）在图(2)中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为；（2）在图(3)中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为；（3）在图(4)中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则之间满足的关系式为；解决问题：图(5)（4）在图(5)中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=？(1)（2分）（2）（2分）(3)（2分）（4）由上得，，∴S1+x+S2+S3+y+S4．S1+m+S4+S2+n+S3，∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）．∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．（4分）7、（2022凤阳县县直义教教研中心）对于正数，规定，例如：，，求解：当x=1时，f（1）=；当x=2时，f（2）=，当x=时，f（）=，f（2）＋f（）=1；……………（2分）14\n当x=3时，f（3）=，当x=时，f（）=，f（3）＋f（）=1；······……………（4分）当x=n时，f（3）=，当x=时，f（）=，f（）＋f（）=1。……………（6分）∴。∴当x=2022时,……………（8分）8、（2022宁波五校联考二模）已知质数p、q使得代数式和都是自然数，试求p2q的值.答案：先设，则有。于是，只能，即，此时，要使是自然数，只能有，从而；再设p＜q,这时，可分为以下两种情况：（1），q=2p+1，此时，，得p=1（不合题意）（2），即2p+1=2q，左边为奇数，而右边为偶数，矛盾。故满足条件的、，于是。9、(2022珠海市文园中学一模）（1）观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么，；（2）如果欲求的值，可令……………………………………………………①将①式两边同乘以3，得…………………………②由②减去①式，得．（3）用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则（用含的代数式表示），如果这个常数，那么（用含的代数式表示）．答案：（1）2（1分） 218（1分） 2n(1分)（2）3S＝3＋32＋33＋34＋…＋321（1分） S＝（1分）14\n（3）a1qn-1(2分) (2分)14
