操作探究一．选择题1.2022•绍兴4分）小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（）2A．2B．2C．BD=ODD．2BD=ODBD=ODBD=OD【答案】C．【解析】如图2，连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，∵OA的垂直平分线交OA于点M，∴OM=AM=OA=，∴BM==，∴DM=，∴OD=DM﹣OM=﹣=，、（2022深圳，9，3分）如图1，有一张一个角为30，最小边长为2的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是A．8或23B．10或423C．10或23D．8或423【答案】D【解析】如图，有三种拼接方式，前一种拼接方式的周长为423，后两种拼接方式的周长为均8，故选D【方法指导】本题考查了直角三角形的边角关系及特殊四边形的相关性质。拼接时注意分类，做到不重不漏，细心计算。图12.(2022山东烟台，8,3分)将正方形图1作如下操作：第1次：分别连结各边中点如图2，1\n得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3．得到9个正方形……，依此类推，根据以上操作．若要得到2022个正方形，则需要操作的次数是（）A．502B.503C.504D.505【答案】B【解析】从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过观察、分析、比较、提炼、验证，从而发现规律，推出结论.第一次操作后正方形的个数：4×1+1=5；第二次操作后正方形的个数：4×2+1=9；第三次操作后正方形的个数：4×3+1=13……第n次操作后正方形的个数：4×n+1=4n+1（n为正整数）∴4n+1=2022∴n=503.【方法指导】本题考查了图形的规律探索.探索规律型问题一般包括数字规律问题、等式规律问题、图形排列规律问题、图形变换规律问题、数形结合规律问题和计算类问题等等.解决这类问题往往需要我们借助于一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，并对结论进行验证.通常以填空或选择的形式出现.222∴BD=OD+OB===OD．【方法指导】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分母有理化的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用二．填空题1.（2022四川绵阳，16，4分）对正方形ABCD进行分割，如图1，其中E、F分别是BC、CD的中点，M、N、G分别是OB、OD、EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图2就是用其中6块拼出的“飞机”。若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为14。2\n［解析］连接AC，四边形ABCD是正方形，AC⊥BD，E、F分别BC、CD的中点，EF//BD，AC⊥EF，CF=CE，△EFC是等腰直角三角形，直线AC是△EFC底边上的高所在直线，根据等腰三角形“三线合一”，AC必过EF的中点G，点A、O、G和C在同一条直线上，1OC=OB=OD，OC⊥OB，FG是△DCO的中位线，OG=CG=OC,M、N分别是OB、OD的中点，OM=BM=21111OB，ON=DN=OD，OG=OM=BM=ON=DN=BD，等腰直角三角形GOM的面积为1，OM•22421222OG=OM=1，OM=2,BD=4OM=42,2AD=BD=32,AD=4,图2中飞机面积图1中多边形ABEFD2的面积，飞机面积=正方形ABCD面积-三角形CEF面积=16-2=14。[来^#．2（2022江西南昌，16，3分）平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是．【答案】2，3，4【解析】由∠AOB=120°，AO=BO=2画出一个顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，由60与120互补，60是120的一半，点C是动点想到构造圆来解决此题．【方法指导】本题主要考查学生阅读理解能力、作图能力、联想力与思维的严谨性、周密性，所涉及知识点有等腰三角形、圆的有关知识，分类讨论思想，不等式组的整数解，在运动变化中抓住不变量的探究能力．3．（2022湖南永州，16，3分）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则:一个方块下面最多埋一个雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围方块(最多八个)中雷的个数(0常省略不标)，如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且只有3个埋有雷，图乙是张三玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是雷(方块上标有旗子)，则图乙第一行从左数起的七个方块中(方块上标有字母)，能够确定一定是雷的有．(请填入方块上的字母)图甲图乙【答案】D、F、G..【解析】根据B下方2下方的1，判断A下方的方块一定是雷，再根据B、C、D、E、F下方的数字判断A、B、C中只有1个雷，B、C、D中有2个雷，C、D、E中只有1个雷，D、E、F中有2个雷，E、F、G中有2个雷.(1)如果A是雷，则B、C都不是雷，而B、C、D中有2个雷，相矛盾，则A不可能是雷.(2)如果B是雷，则A、C都不是雷，则D是雷，E不是雷，F、G是雷，即B是雷时，B、D、F、G一定是雷；(3)如果C是雷，则A、B都不是雷，则D是雷，E不是雷，F、G是雷，即C是雷时，C、D、F、G一定是雷；所以图乙第一行从左数起的七个方块中，能够确定一定是雷的有D、F、G.【方法指导】我们在确定了A，B，C下有一只雷时，需要分情形来讨论，于是我们分A是雷，3\nB是雷，C是雷三种情形来讨论。4.（2022广东省，15，4分）如题15图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，0在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180，点E到了点E'位置，则四边形ACE'E的形状是．【答案】平行四边形.【解析】因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥AC，且AC=2DE=2DE'，所以，旋转之后，EE'∥AC，且EE'=AC，所以四边形ACE'E的形状是平行四边形．又因为AC不一定恰好等于AE，所以四边形ACE'E的形状不一定是菱形．故答案填平行四边形．【方法指导】操作类的题目在近几年的中考试卷中比较常见，解决这类问题最好的办法就是实际操作，当然，也可以根据图形的性质通过计算确定答案．25.(2022湖南邵阳,11,3分)在计算器上，依次按键2,x，得到的结果是______.【答案】：4．【解析】：224【方法指导】：本题考查了计算器﹣有理数，关键是考查学生的理解能力，题型较好，但是一道比较容易出错的题目.三．解答题1．（2022河南省，22，10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90,BE30.（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空：1线段DE与AC的位置关系是；2设BDC的面积为S，AEC的面积为S。12则S与S的数量关系是。124\n【解析】①由旋转可知：AC=DC，∵C90,BE30，∴AD60∴△ADC是等边三角形，∴ACD60,又∵CDE60∴DE∥AC②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F。由①可知：△ADC是等边三角形,DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM∴CF=EM∵C90,B30，∴AB2AC,又∵ADAC∴BDAC11∵SCFBDSACEM∴S=S121222（2）猜想论证当DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S与S的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC12中BC,CE边上的高，请你证明小明的猜想。【证明】∵DCEACB90,DCMACE180又∵ACNACE180,ACNDCM又∵CNACMD90,ACCD5\n∴△ANC≌△DMC∴AN=DM又∵CE=CB,∴SS12（3）拓展探究已知ABC60，点D是其角平分线上一点，BDCD4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使SS,请直接写出相应的BF的长DCFBDC．．．．【解析】如图所示，作DF∥BC交BA于点F,作DFBD交BA于点F。1122按照（1）（2）求解的方法可以计算出4383BFBF12332.（2022陕西，25，12分）（本题满分12分）问题探究（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且ba，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.ADMDPA图①BCBC图②图③（第25题图）6\n考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。此题考查对图形的面积等分问题。解析：此题主要考查学生的阅读问题的能力，综合问题的能力，动手操作能力，问题的转化能力，分析图形能力和知识的迁徙能力，从特殊图形到一般的过渡，从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程。（1）问较易解决，圆内两条互相垂直的直径即达到目的。（2）问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题。平行四边形过对角线的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分。而在正方形中就更特殊，常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查，此题有这些知识的积累足够解决。（3）问中可以考虑构造（1）（2）中出现的特殊四边形来解决。也可以用中点的性质来解决。在中学数学中中点就有两个方面的应用，一是中线（倍长中线构造全等三角形或者是平行四边形）二是中位线的应用。解：（1）如图①所示．（2）如图②，连接AC、BD相交于点O，作直线OM分别交AD、BC于P、Q两点，过点O作用OM的垂线分别交AB、CD于E、F两点，则直线OM、EF将正方形ABCD的面积四等分.理由如下：PADMFEOBCQ答图①答图②（第25题答案图）∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的对称中心∴AP=CQ，EB=DF，D在△AOP和△EOB中，∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE∴∠AOP=∠BOE∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°∴△AOP≌△EOB∴AP=BE=DF=CQ∴AE=BQ=CF=PD设点O到正方形ABCD一边的距离为d.1111∴(APAE)d(BEBQ)d(CQCF)d(PDDF)d2222∴SSSS四边形APOE四边形BEOQ四边形CQOF四边形POFD∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分另解：∵点O是正方形ABCD对角线的交点，∴点O是正方形ABCD的中心∴OA=OB=OC=OD∠OAP=∠OBE=∠OCQ=∠ODF=45°∵PQ⊥EF，∴∠POD+∠DOF=90°，∠POD+∠POA=90°∴∠POA=∠DOF同理：∠POA=∠DOF=∠BOE=∠COQ∴△AOP≌△BOE≌△COQ≌△DOF7\n1∴SSSSS四边形APOE四边形BEOQ四边形CQOF四边形POFD正方形ABCD4∴直线EF、PQ将正方形ABCD面积四等分（3）存在.当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.EF理由如下：如图③，延长BA至点E，使AE=b，延长CD至点F，使DF=a，连接EF.D∴BE∥CF，BE=CF∴四边形BCFE为平行四边形，P∵BC=BE=a+b，∴平行四边形DBFE为菱形MA连接BF交AD于点M，则△MAB≌△MDF∴AM=DM.即点P、M重合.BC∴点P是菱形EBCF对角线的交点，答图③Q在BC上截取BQ=CD=b，则CQ=AB=a.（第25题答案图）设点P到菱形EBCF一边的距离为d11∴SS(ABBQ)d(CQCD)dSSABPQBPCQPCDP22所以当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.另解：存在.当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分.理由如下：如图④，连接BP并延长BP交CD延长线于点F，连接CP∵点P是AD的中点，∴PA=PD∵AB∥CD，∴∠ABP=∠DFP，∵∠APB=∠DPF∴△APB≌△DPF∴AB=DF，PB=PF，所以CP是△CBF的中线，∴SCPBSCPFF∵AB+CD=BC，DF+CD=BC，即：CB=CF，∴∠CBF=∠CFB∵∠ABP=∠DFP∴∠ABP=∠CBP即PB是角平分线.D∴点P到AB与CB的距离相等，P∵BQ=b，所以CQ=AB=aA∴SABPSCQPB答图④QC∴S四边形ABQPS四边形QCDP（第25题答案图）所以当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分.3.（2022山西，26，14分）综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线8\n于点Q（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当y=0时，，解得，∵点B在点A的右侧，∴点A,B的坐标分别为：（-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4∴点C的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.设直线BD的解析式为y＝kx＋b，则.解得，k=，b=4.∴直线BD的解析式为.∵l⊥x轴，∴点M，Q的坐标分别是（m，），（m，）如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形.∴（）-()=4-(-4)化简得：.解得，m1=0，（舍去）m2=4.∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.此时，四边形CQBM是平行四边形.解法一：∵m=4，∴点P是OB中点.∵l⊥x轴，∴l∥y轴.∴△BPM∽△BOD.∴.∴BM=DM.∵四边形CQMD是平行四边形，∴DMCQ∴BMCQ.∴四边形CQBM为平行四边形.解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则.解得，k1=，b1=-4∴直线BC的解析式为y=x-49\n又∵l⊥x轴交BC于点N.∴x=4时，y=-2.∴点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.∴MN=QN.又∵四边形CQMD是平行四边形.∴DB∥CQ，∴∠3=∠4，又∠1=∠2，∴△BMN≌△CQN.∴BN=CN.∴四边形CQBM为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.4.（2022四川绵阳，25，14分）（本题满分14分）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶S四边形BCGH点重合）（如图3），S四边形BCHG．S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究S△AGH的最大值。解：（1）证明：如图1，连结CO并延长交AB于点P，连结PD。∵点O是△ABC的重心，∴P是AB的中点，D是BC的中点，PD是△ABC的中位线，AC=2PD，AC//PD，∠DPO=∠ACO，∠PDO=∠CAO，ODPD1ADOD+OA1+23△OPD∽△CA，==,===,∴AOAC2AOOA22AO2=；AD3（2）点O是是△ABC的重心。证明：如图2，作△ABC的中线CP，与AB边交于点P，与△ABC的另一条中线AD交于点Q，则点Q是△ABC的重心，根据（1）中的证AQ2明可知=，AD310\nAO2而=，点Q与点O重合（是同一个点），所以点O是△ABC的重心；AD3（3）如图3，连结CO交AB于F，连结BO交AC于E，过点O分别作AB、AC的平行线OM、ON，分别与AC、AB交于点M、N，∵点O是△ABC的重心，OE1OF1∴=，=,BE3CF3OMOE1∵在△ABE中，OM//AB，==，OMABBE31=AB，3ONOF1在△ACF中，ON//AC，==，ON=ACCF31AC，3OMOH在△AGH中，OM//AH，=，AGGHONOG在△ACH中，ON//AH，=，AHGH11ABACOMONOHOGABAC∴+=+=1，3+3=1,+=3,AGAHGHGHAGAHAGAHABAC令=m,=n,m=3-n,AGAHS四边形BCGHS△ABC-S△AGH∵=,S△AGHS△AGHS四边形BCGH=S△AGH11AB•AC•sin∠BAC-AG•AH•sin∠BAC22=1AG•AH•sin∠BAC2AB•AC-AG•AHAG•AHAB•AC232=-1=mn-1=(3-n)n-1=-n+3n-1=-(n-)AG•AH25+,4AC3S四边形BCGH5∴当=n=，GH//BC时，有最大值。AH2S△AGH4BGCHABAC附：+=1或+=3的另外两种证明方法的作图。AGAHAGAH11\n方法一：分别过点B、C作AD的平行线BE、CF，分别交直线GH于点E、F。方法二：分别过点B、C、A、D作直线GH的垂线，垂足分别为E、F、N、M。下面的图解也能说明问题：5．(2022浙江湖州,23,8分)一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P、D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E．求证：△BPO≌△PDE．（1）理清思路，完成解答．本题证明的思路可以用下面的框图表示：PB＝PD（已知）要证∠BOP＝∠PEDBO⊥AC，DE⊥AC（已知）△BPO≌△PDE∠3＝∠4∠3＝∠PBD－∠1∠1＝∠C＝45°已知∠4＝∠2－∠C∠PBD＝∠2条件根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．（2）特殊位置，证明结论．若BP平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD．12\n（3）知识迁移，探索新知．／若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P时，满足题中条件的点D也随之在直线BC／／／上运动到点D，请直接写出CD与AP的数量关系（不必写解答过程）．【思路分析】（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根据AAS证△BPO≌△PDE即可；（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；（3）设OP=CP=x，求出AP=3x，CD=2x，即可得出答案．【解】（1）证明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠2．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°．∵BO⊥AC于点O，∴∠1＝45°．∴∠1＝∠C＝45°．∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C，∴∠3＝∠4．又∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP＝∠PED＝90°．∵PB＝PD，∴△BPO≌△PDE．（2）由（1）可得∠3＝∠4．∵BP平分∠ABO，∴∠ABP＝∠3．∴∠ABP＝∠4．又∵∠A＝∠C，PB＝PD，∴△APB≌△CPD．∴AP＝CD．／／／2／（3）CD与AP的数量关系是：CD＝AP．3【方法指导】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考查学生的推理和计算能力．226．(2022湖北荆门，24，10分)已知关于x的二次函数y＝x－2mx＋m＋m的图象与关于x的函数y＝kx＋1的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)．(1)当k＝1，m＝0，1时，求AB的长；(2)当k＝1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．(3)当m＝0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状，证明你的猜想．22(平面内两点间的距离公式AB＝(xx)(yy))2121【思路分析】(1)、(2)当k＝1时，直线y＝x＋1与坐标轴围成一个等腰直角三角形，于是可知AB的长是一个等腰直角三角形的斜边．求AB的长转化为求A，B两点横坐标之差的绝对值；(3)猜想△AOB是直角三角形，这一猜想可利用两点间的距离公式等知识进行证明．2yx,22【解】解：(1)当k＝1，m＝0时，y＝x，如图5，联立得x－x－1＝0．yx1.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－1．2∴AB＝2AC＝2|x1－x2|＝2(x1x2)4x1x2＝10．13\n同理，当k＝1，m＝1时，AB＝10．yB1AC－1x1Ox2x图5(2)猜想：当k＝1，m为任何值时，AB的长不变，即AB＝10．22yx2mxmm,下面证明：联立yx1.22消y整理得：x－(2m＋1)x＋m＋m－1＝0．2∴x1＋x2＝2m＋1，x1x2＝m＋m－1．2∴AB＝2AC＝2|x1－x2|＝2(x1x2)4x1x2＝10．(3)当m＝0，k为任意常数时，△AOB为直角三角形．2yx,①当k＝0时，则函数y＝kx＋1的图象为直线y＝1．则由y1,得A(－1，1)，B(1，1)．显然△AOB为直角三角形．②当k＝1时，则一次函数y＝kx＋1为直线y＝x＋1．2yx,2则由得x－x－1＝0．yx1,∴x1＋x2＝1，x1x2＝－1．2∴AB＝2AC＝2|x1－x2|＝2(x1x2)4x1x2＝10．2∴AB＝10．222222∵A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴OA＋OB＝x1＋y1＋x2＋y2＝10．222∴AB＝OA＋OB．∴△AOB为直角三角形．③当k为任意常数时，△AOB仍为直角三角形．如图6，2yx,2联立得x－kx－1＝0．ykx1,∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1．22242∴AB＝(x2－x1)＋(y2－y1)＝k＋5k＋4．22222242∴OA＋OB＝x1＋y1＋x2＋y2＝k＋5k＋4．222∴AB＝OA＋OB．∴△AOB为直角三角形．14\nyBAx1Ox2x图6以上试题和解答来自2022-6-23《荆门晚报》．录入者对压轴题的第(3)问给出如下解法：当k为任意常数时，△AOB为直角三角形．如图6，证明如下：2yx,2联立得x－kx－1＝0．ykx1.∴x1＋x2＝k，x1x2＝－1．2222∴x1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝k＋2，222(x1－x2)＝(x1＋x2)－4x1x2＝k＋4．∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y＝kx＋1上，∴y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1．∴y2－y1＝k(x2－x1)．22222222∴AB＝(x2－x1)＋(y2－y1)＝(x2－x1)＋k(x2－x1)＝(1＋k)(x2－x1)22＝(1＋k)(4＋k)42＝k＋5k＋4．2222222222∵OA＋OB＝x1＋y1＋x2＋y2＝x1＋(kx1＋1)＋x2＋(kx2＋1)222＝(1＋k)(x1＋x2)＋2k(x1＋x2)＋2222＝(1＋k)(k＋2)＋2k＋242＝k＋5k＋4．222∴AB＝OA＋OB．∴△AOB为直角三角形．【方法指导】求函数图象的交点坐标即是求由它们的解析式所组成的方程组的解．直线与抛物线若有交点，则它们交点的横坐标是消去y后所得一元二次方程的解．平面直角坐标系内，求两点之间的距离的方法如下：(1)若两点的连线平行于横轴(纵轴)，则它们之间的距离等于横坐标(纵坐标)之差的绝对值；(2)若两点的连线与坐标轴不平行，则它们之间的距离可用勾股定理求出．7．（2022江西南昌，24，12分）某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）1①AF=AG=AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB．2●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外．侧．作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；15\n●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．【思路分析】（1）由图形的对称性易知①、②、③都正确，④∠DAB=∠DMB=45°也正确；（2）直觉告诉我们MD和ME是垂直且相等的关系，一般由全等证线段相等，受图1△DFM≌△MGE的启发，应想到取中点构造全等来证MD=ME，证MD⊥ME就是要证∠DME=90°，由△DFM≌△MGE得∠EMG=∠MDF,△DFM中四个角相加为180°，∠FMG可看成三个角的和，通过变形计算可得∠DME=90°．（3）只要结论，不要过程，在（2）的基础易知为等腰直角三解形.[解]●操作发现：①②③④答：MD=ME，MD⊥ME，先证MD=ME；如图2，分别取AB，AC的中点F，G，连接DF，MF，MG，EG，∵M是BC的中点，1∴MF∥AC，MF=AC，2又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，1∴EG⊥AC且EG=AC，2∴MF=EG，同理可证DF=MG，∵MF∥AC，∠MFA=∠BAC=180°同事可得∠MGA+∠BAC=180°，∴∠MFA=∠MGA，又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°，同理可得∠DFA=90°，∴∠MFA+∠DFA=∠MGA=∠EGA，即∠DFM=∠MEG，又MF=EG，DF=MG，∴△DFM≌△MGE（SAS），∴MD=ME，再证MD⊥ME；证法一：∵MG∥AB，∴∠MFA+∠FMG=180°，又∵△DFM≌△MGE，∴∠MEG=∠MDF，16\n∴∠MFA+∠FMD+∠DME+∠MDF=180°，其中∠MFA+∠FMD+∠MDF=90°，∴∠DME=90°，即MD⊥ME；证法二：如图2，MD与AB交于点H，∵AB∥MG，∴∠DHA=∠DMG，又∵∠DHA=∠FDM+∠DFH即∠DHA=∠FDM+90°∵∠DMG=∠DME+∠GME，∴∠DME=90°即MD⊥ME；●类比探究答：等腰直角三解形【方法指导】本题考查了轴对称、三角形中位线、平行四边形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等、角的转化等知识，能力要求很高．8．（2022广东湛江，24，10分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：1322sin30，cos30，则sin30cos30＝；①222222sin45，cos45，则sin45cos45＝；②221322sin60，cos60，则sin60cos60＝；③22…22观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sinAcosA=．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；3（2）已知：∠A为锐角（cosA0）且sinA，求cosA.5【思路分析】先具体计算，从计算中归纳出规律，再进行证明，最后再加以运用。【解】①②③④都填1222（1）如下图，过点B作BH⊥BC于点H，BHAHAB17\nBHAH则sinA，cosAABAB222222BHAHBHAH所以sinAcosB1222ABABAB223(2)∵sinAcosB1，sinA，523216∴cosA1()5254∵cosA0，∴cosA=5【方法指导】解决探究类题的步骤：1.计算一些特殊的数值或特殊的位置关系；2.猜想规律，数据或图形的位置变化了，如果某种数量关系或位置关系不变，就猜想一般情形下也成立；3.利用所学的相关知识对猜想出的结论进行讲明；4.用猜想，证明出的结论解决实际问题。9．(2022山东烟台，25,10分)已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过点A,B向直线CP作垂线，垂足分别为E,F，Q为斜边AB的中点.（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是_____________,QE与QF的数量关系是_____________.（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明.（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.18\n【思路分析】（1）∵BF与AE都垂直于CF，∴BF与AE平行，然后证明△BFQ（P）≌△AEQ（P）,即可证明QE=QF（2）对第一问进行分析、类比、归纳、联想，可以发现延长FP交AE于点D，然后证明△BFQ≌△ADQ，即可得出FQ=DQ，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证出.（3）在解答前两问已经有的经验基础上，认真审题，先根据题意画图，然后结合图形，仔细观察，透过现象抓住本质，分离出基本图形.延长EQ，与FB的延长线交于点D.通过证明△BDQ≌△AEQ,得出点Q为DE的中点，然后依然运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证出（2）中结论依然成立.【解】（1）AE∥BF,QE=QF.（2）QE=QF.证明:延长FQ交AE于点D.∵AE∥BF，∴∠1=∠2.∵∠3=∠4，AQ=BQ,∴⊿AQD≌⊿BQF.∴QD=QF.∵AE⊥CP,∴QE为斜边FD中线.(3)(2)中结论仍然成立.理由：延长EQ,FB交于点D．∵AE∥BF，∴∠1=∠D.∵∠2=∠3，AQ=BQ,∴⊿AQE≌⊿BQD.∴QE=QD∵BF⊥CP,∴FQ为斜边DE中线.∴QE=QF.【方法指导】这是一道结论探索型问题，考查了平行线的性质和判定、三角形全等以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.结论探索型题是指在一定的条件下无结论或结论不明确，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论.19\n解结论探索型题的方法是由因导果；结论探索型问题根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案.有些题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论.010.（2022广东省，25，9分）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90，AB=AC=6，0在三角板DEF中，∠FDE=90，DF=4，DE=43，将这副直角三角板按如题25图（1）所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如题25图（2），当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=度；（2）如题25图（3），在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．【思路分析】（1）利用三角形的外角性质或者三角形的内角和即可求得答案；（2）解直角三角形AFC即可；（3）本题需要分类讨论，当0＜x＜6-23时，重叠部分是五边形，可以转化为大三角形面积减去小三角形面积，当x=6-23时，由第（2）问的结论直接计算出面积，当6-23＜x＜6时，重叠部分为三角形，直接由三角形面积公式可求出函数解析式。0【解】（1）15计算过程如下：0三角板ABC中，∠BAC=90，AB=AC，0∴∠ABC=∠ACB=45，0三角板DEF中，∠FDE=90，DF=4，DE=43，DF43∵tanE=DE4330∴∠E=30，20\n0000∴∠EMC=45-30=15，故答案填15.0（2）由平移可知，∠ACF=∠E=30AC在Rt△ACF中，cos∠ACF=CF0∵AC=6,∠ACF=306∴FC==4332（3）如图，分三种情况讨论：设过点M作MN⊥AB于点N,则MN∥DE,∠NMB=∠B=45°,∴NB=NM,NF=NB-FB=MN-x∵MN∥DEMNFNMNMNx33∴△FMN∽FED,∴,即，∴MNxDEFD4342①当0x2时，如答案图(1)，设DE与BC相交于点G,则DG=DB=4+x1112133∴ySSDBDGBFMN(4x)xxBGDBMF22222132即yx4x8;4②当2x623时，如答案图(2)1211133ySSACBFMN36xxBCABMF22222332即yx18;4③当623x4时，如答案图(3)设AC与EF交于点H，21\n∵AF=6－x，∠AHF=∠E=30°∴AH=3AF3(6x)132yS(6x)3(6x)(6x)FHA22132综上所述，当0x2时，yx4x84332当2x623，yx18432当623x4时，y(6x)2【方法指导】本题属于“操作类”问题，解题的重要方法是“实际操作”，考试完之后，我调查了部分学生，他们告诉我，在解题的时候，他们都用自己带了三角板进行了实际操作，所以，很快就求得第（1）问的结论，对于第（3）的结论，他们也是通过“操作”确定只需分三种情况讨论即可.22
