二次函数的应用一、选择题1、(2022年河北三摸)某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为h＝30t－5t2，那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是A.6sB.4sC.3sD.2s答案：A二、解答题1、(2022年深圳育才二中一摸)如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点是线段下方的抛物线上一点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：则∴抛物线的解析式为：…………………………2分（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4∴又OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB…………………………3分∴∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°…………………………4分∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径………………………5分所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为……………………6分（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：设直线，则该直线的解析式可表示为：，14\n当直线与抛物线只有一个交点时，可列方程：，且△=0则∴直线：．………………8分由于，长度是定值，则当最大（即点M到直线BC的距离最远）时，的面积最大所以点M即直线和抛物线的唯一交点，则………………9分解得：即M（2，﹣4）．………………10分2、(2022年广西南丹中学一摸)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是，b＝，c＝；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．第26题图【解答】（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．3分（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．由题意，得△BHP∽△BOC，14\n∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．∴OH＝OB－HB＝4－4t．由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．∴OQ＝4t．4分①当H在Q、B之间时，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．5分②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．6分综合①，②得QH＝｜4－8t｜；6分（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．7分①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝．8分若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2＋2t－1＝0．∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．9分②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝．10分若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2－2t＋1＝0．∴t1＝t2＝1（舍去）．11分综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．12分3、(2022年河北二摸)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点，14\nA点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝x－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是，b＝，c＝；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．…………………………………………3分（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．…4分∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．由题意，得△BHP∽△BOC，∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．………………………………………………5分∴OH＝OB－HB＝4－4t．由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．∴OQ＝4t．……………………………………………………………………6分①当H在Q、B之间时，QH＝OH－OQ＝（4－4t）－4t＝4－8t．……………………………………7分②当H在O、Q之间时，QH＝OQ－OH＝4t－（4－4t）＝8t－4．……………………………………8分综合①，②得QH＝｜4－8t｜；（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝．……………………………………………………………………9分若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2＋2t－1＝0．∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．………………………………………10分②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．14\n若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，∴t＝．…………………………………………………………………………11分若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，即t2－2t＋1＝0．∴t1＝t2＝1（舍去）．………………………………………………………………12分综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．4、(2022年河北三摸)已知：如图1，抛物线的顶点为Q，与轴交于A（-1，0）、B(5，0)（图1）xCyOAB两点，与轴交于C点.（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；（2）在该抛物线的对称轴上求一点,使得△的周长最小.请在图中画出点的位置，并求点的坐标；（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥轴，垂足为E．①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”。这个同学的说法正确吗？请说明理由.（图2）EDBAOCxyQ（备用图）xCyOAB②若与直线交于点.试探究：四边形能否为平行四边形？若能,请直接写出点的坐标；若不能,请简要说明理由；14\n答案：解：(1)将A（-1，0）、B(5，0)分别代入中，得，得∴.………………2分图1EDBAOCyQP∵，∴Q（2，9）.……3分（2）如图1，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.……4分∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小.∵点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.x∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小.………………5分设直线BC的解析式为y=k+5,将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，∴=-+5，∴当=2时，y=3，∴点P的坐标为（2，3）.….6分(3)这个同学的说法不正确.……………7分∵设，设折线D-E-O的长度为L，则，图2DCyFEOABx∵，∴当时，.而当点D与Q重合时，，∴该该同学的说法不正确.…9分（4）①四边形不能为平行四边形.……………10分如图2，若四边形为平行四边形,则EF=DF,CF=BF.∵DE∥轴，∴,即OE=BE=2.5.当=2.5时,,即；当=2.5时,,即.图3DCyFEOAB∴＞2.5.即＞,这与EF=DF相矛盾，∴四边形不能为平行四边形.……………12分14\n4、(2022年河北四摸)(本题9分)我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？解：⑴当x=60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以y=P＋Q=+==，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．⑶有极大的实施价值．5、(2022年河北四摸)(本题12分)已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.14\n(1)求、两点坐标,并证明点在直线上;(2)求二次函数解析式;(3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.图11备用图解:(1)依题意,得解得,∵点在点右侧∴点坐标为,点坐标为∵直线:当时,∴点在直线上(2)∵点、关于过点的直线:对称∴过顶点作交于点则,∴顶点代入二次函数解析式,解得∴二次函数解析式为(3)直线的解析式为直线的解析式为由解得即,则14\n∵点、关于直线对称∴的最小值是,过点作直线的对称点,连接,交直线于则,,∴的最小值是,即的长是的最小值∵∥∴由勾股定理得∴的最小值为6、(2022年河南西华县王营中学一摸)（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，），点B在x轴的负半轴上，且∠AB0=30°，抛物线经过A，O，B三点．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2:3?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如图，过点A作AF⊥x轴于点F，在Rt△ABF中，．．．∠AB0=300，A的坐标为（1，），∴OF=1,AF=，BF=3．∴BO=BF－OF=2．B(－2,O).设抛物线的解析式为y=ax(x+2)．将点A(l，)代入，得∴抛物线的解析式为，对称轴为直线x=－1(2)存在点C设抛物线的对称轴x=－1交x轴于点E．∵点B（一2，O）和点O(0,O)关于抛物线的对称轴对称，∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小．14\n7、（2022年温州一摸）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y1=mx2-（2m+3）x+m+3与x轴交于点A、点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C（其中m>0）。（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；（2）若OB=4·AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，△CEB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；解：（1）A(1,0)、（2）m=1(或解析式)当0<t<2时，S=8-4t当2<t<4时，S=4t-88、（2022年温州一摸）如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为s，解答下列问题：（1）当0＜＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2．（2）①若是S1与S2的和，求与之间的函数关系式．（图②为备用图）②求的最大值．答案：28.（1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同，故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形边长为，∴AC=16．∵AE=，过B作BO⊥AC于O，则BO=8．∴S2=4（2分）∵HE=，EF=16﹣2，∴S1=（16﹣2）．（3分）当S1=S2时，（16﹣2）=4．解得=0（舍去），x2=6．9、(2022年上海市)ACBDEGNM（第21题图）14\n某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米，上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）当MN与AB之间的距离为0.5米时，求△EMN的面积；（2）设MN与AB之间的距离为x米，△EMN的面积为y（平方米），求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）请你探究△EMN的面积y（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．解：（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN位于DC下方，且△EMN中MN边上的高为0.5米．∴△EMN的面积（平方米）．……………………………（2分）ACBDEGNM（第21题图1）ACBDEGNM（第21题图2）HF（2）（I）如图1，当MN在矩形区域滑动时：．…（2分）（II）如图2，当MN在三角形区域滑动：联结EG，交CD于点F，交MN于点H，则F为CD中点，GF⊥CD，且，∴．∵MN∥CD，∴，∴．…………………（1分）∴．………（2分）（3）（I）当MN在矩形区域滑动时：∵，∴y的最大值是1．（1分）（II）当MN在三角形区域滑动时：∵，∴当时，y的最大值是．………………………………（1分）∵，∴△EMN的面积有最大值（平方米）．………（1分）10、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；14\n(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．图1图2解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分∴．即．∴y=(0＜x＜4)．且当x=2时，y有最大值．…………………………………………………4分(2)由已知，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则∴………6分y=．…………………………………………………7分(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，∴该直线为y=x＋1.由得∴Q(5，6)．故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………10分11、（2022·温州市中考模拟）如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角边于G，连接HG，EB．设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2（这里规定：线段的面积为0）．E到达C，F到达A停止．若E的运动时间为s，解答下列问题：（1）当0＜＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2．（2）①若是S1与S2的和，求与之间的函数关系式．（图②为备用图）②求的最大值．14\n答案：（1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同，故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．∵正方形边长为，∴AC=16．∵AE=，过B作BO⊥AC于O，则BO=8．∴S2=4（2分）∵HE=，EF=16﹣2，∴S1=（16﹣2）．（3分）当S1=S2时，（16﹣2）=4．解得=0（舍去），x2=6．12、（2022·湖州市中考模拟试卷8）我市某服装厂主要做外贸服装，由于技术改良，2022年全年每月的产量y（单位：万件）与月份x之间可以用一次函数表示，但由于“欧债危机”的影响，销售受困，为了不使货积压，老板只能是降低利润销售，原来每件可赚10元，从1月开始每月每件降低0.5元。试求：（1）几月份的单月利润是108万元？（2）单月最大利润是多少？是哪个月份？答案：每小题4分共8分(1)解：由题意得：（10－0.5x）(x+10)=108答：2月份和8月份单月利润都是108万元。（2）设利润为w，则答：5月份的单月利润最大，最大利润为112.5万元.13、（2022·湖州市中考模拟试卷10）某饮料经营部每天的固定成本为200元，其销售的饮料每瓶进价为5元.销售单价与日平均销售的关系如下：销售单价（元）66.577.588.59日平均销售量（瓶）480460440420400380360（1）若记销售单价比每瓶进价多元，则销售量为(用含的代数式表示)；求日均毛利润（毛利润=售价－进价－固定成本）与之间的函数关系式.（2）若要使日均毛利润达到1400元，则销售单价应定为多少元？（3）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？答案：解:（1）2分日均毛利润（）（2）时，即14\n得满足0﹤x﹤132分此时销售单价为10元或13元，日均毛利润达到1400元.2分（3）2分∵,∴当时,即销售单价定为11.5元,日均毛利润达到最大值1490元.2分14、（2022吉林镇赉县一模）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作EF⊥AD交折线DCB于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1，设运动时间是秒（＞0）.（1）当点E和点C重合时，求运动时间的值；（2）当为何值时，△BCD1是等腰三角形；（3）在整个运动过程中，设△FED1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与的函数关系式.14
