二次函数的图象和性质一、选择题1、（2022年湖北荆州模拟题）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（▲）A.-3B.3C.-5D.9答案：B2.（2022年安徽模拟二）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（）．yxOyxOB．C．yxOA．yxOD．答案：D3（2022年安徽凤阳模拟题三）.已知二次函数y=3－(x－m)(x－n),并且a,b是方程3－(x－m)(x－n)=0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是：（）A、m<a<b<nBm<a<n<bnCa<m<b<nDa<m<n<b答案：D4．（2022年北京房山区一模）将二次函数化成形式，则结果为（）A.B.C.D.答案：D5．（2022年北京平谷区一模）将函数进行配方，正确的结果应为 A．B． C．D．答案：A38\n6、(2022年安徽省模拟六)将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是………………………【】A．B．C．D．答案：A7、(2022年安徽省模拟七)二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为……【】A．－3B．3C．－5D．9答案：B第2题图第3题图第5题图xyA8、(2022年安徽省模拟八)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有…………………………………【】A．3个B．2个C．1个D．0个答案：B9、(2022年湖北荆州模拟5)对于抛物线，下列说法正确的是（▲）A．开口向下，顶点坐标(5，3)B．开口向上，顶点坐标(5，3)C．开口向下，顶点坐标(-5，3)D．开口向上，顶点坐标(-5，3)答案：A10、(2022年湖北荆州模拟5)如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1<0的解集是(▲)A．x>1B．x<−1C．0<x<1D．−1<x<0答案：D11、(2022年湖北荆州模拟6)抛物线的顶点坐标为（ ▲ ）A．（3，﹣4）B．（3，4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣3，4）38\n答案：A12、（2022届宝鸡市金台区第一次检测）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）A．点C的坐标是（0，1）B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形D．当x>0时，y随x增大而增大答案：D13.（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=8时，这两个二次函数的最大值之和等于（▲）A．5B．2C．8D．6第10题图答案：B14、(2022年江苏南京一模)把函数y＝2x2－4x的图象先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数是A．y＝2(x＋3)2－4(x＋3)－2B．y＝2(x－3)2－4(x－3)－2C．y＝2(x＋3)2－4(x＋3)＋2D．y＝2(x－3)2－4(x－3)＋2答案：B15、(2022年江苏南京一模)二次函数y＝x2＋2x－5有A．最大值－5B．最小值－5C．最大值－6D．最小值－619、（2022杭州江干区模拟）已知二次函数，它的顶点坐标为38\nA．（3，）B．（，）C．（，）D．（，3）【答案】A20、（2022年广州省惠州市模拟）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（-1，0）、（3，0）．下列说法正确的个数是（ ）①ac＜0②a+b+c＞0③方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3④当x＞1时，y随着x的增大而增大．A.1B.2C.3D.4答案：C21、（2022年广东省珠海市一模）二次函数y=﹣2（x+1）2﹣3的对称轴是直线 A．x=﹣2B．x=﹣1C．x=1D．x=﹣3答案：B22、（2022年广东省珠海市一模）抛物线y=2x2﹣5x+3与坐标轴的交点共有 A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C23、（2022浙江台州二模）8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴（第1题）正半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图像上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B24、（2022宁波五校联考一模）若二次函数在的范围内至少有一个的值使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．答案：C25、（2022山东德州特长展示）二次函数的图象如图所示，在下列说法中：①0；②；③；38\nxyO3－1第1题图④当时，随着的增大而增大．正确的说法个数是（）A．1B．2C．3D．4C26、(2022年江苏无锡崇安一模）若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)、B(2，y2)、C(3＋，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是…………………………………………………………（▲）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2答案：B27．（2022年杭州拱墅区一模）二次函数（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③；④当时，．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②③④答案：C28.（2022年广西钦州市四模）如图3，从地面坚直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：（Ａ）6s（Ｂ）4s（Ｃ）3s（Ｄ）2s答案：A29．（2022年广西梧州地区一模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于A(，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式的解集为(A)(B)(C)(D)或答案：Ａ38\n解析式为Ａ．；Ｂ．；Ｃ．；Ｄ．．答案：D二、填空题1、（2022年湖北荆州模拟题）.如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为________▲________．答案：2．（2022年北京龙文教育一模）点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞1，则与的大小关系是．（用“＞”、“＜”、“=”填空）答案：.1、(2022年湖北荆州模拟5)把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为▲.答案：y=x2+8x+103、（2022年上海长宁区二模)若将抛物线沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是.答案：(0,－2)4、（2022浙江东阳吴宇模拟题）当时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（只填写序号）①；②；③；④．答案：①④5、（2022浙江省宁波模拟题）抛物线y＝3x2的图象向左平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为______________．答案：y=3(x+1)238\n6、(2022年江苏南京一模)二次函数的图象如图所示，试确定、的符号；0，0．（填不等号）答案：＜＞7、(2022年江苏南京一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论：①c＝2；②b2－4ac<0；③当x=1时，y的最小值为a+b+c中，正确的有xyO22________________答案：①、③8、(2022年江苏南京一模)将下列函数图像沿y轴向上平移a（a＞0）个单位长度后，不经过原点的有▲(填写正确的序号)．①y＝；②y＝3x－3；③y＝x2＋3x＋3；④y＝－(x－3)2＋3．答案：①③9、二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知该二次函数的图象的对称轴是直线x＝ 2．10.若抛物线与满足，则称互为“相关抛物线”.给出如下结论：①y1与y2的开口方向，开口大小不一定相同;②y1与y2的对称轴相同;③若y2的最值为m，则y1的最值为k2m;④若y2与x轴的两交点间距离为d，则y1与x轴的两交点间距离也为.其中正确的结论的序号是___①②④________（把所有正确结论的序号都填在横线上）.11、（2022杭州江干区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数38\n与一次函数的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当时，自变量的取值范围是▲．【答案】12、（2022河南南阳市模拟）已知下列函数①y=x2；②y=﹣x2；③y=（x﹣1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x﹣3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）．【答案】①③13、(2022年广东省佛山市模拟)甲、乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法。甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为-2”。乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”。你认为__________（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”）的。你还可以用________法等方法来解决．（原创）答案：乙图象（答案不唯一）14、（2022年广州省惠州市模拟）抛物线的对称轴是__________.．答案：215、(2022年广东省中山市一模)已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是__________答案：m＞516、(2022北仑区一模)16．点、是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为▲（填“＞”、“＜”、“＝”）．【答案】<17、（2022温州模拟）13．二次函数的最小值是▲．【答案】2（第3题图）18、(2022浙江永嘉一模)12.二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，由图象可知该二次函数的图象的对称轴是直线x＝ ▲．【答案】238\n19．（2022郑州外国语预测卷）二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=.答案：-120.（2022辽宁葫芦岛一模）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4答案：D21．（2022辽宁葫芦岛一模）已知点A（m，0）是抛物线与x轴的一个交点，则代数式的值是 ．答案：202222、（2022凤阳县县直义教教研中心）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＞0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确结论的是__________．②③④xyOAB第2题图O3x2y23、（2022山东德州特长展示）如图，抛物线与直线相交于O（0，0）和A（3，2）两点，则不等式的解集为 ．38\n24、(2022珠海市文园中学一模）当时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是 （只填写序号）①；②；③；④答案：①④；25．（2022年广西梧州地区一模）请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）同时满足下列条件：①开口向下；②当x＜-1时，y随x的增大而增大，当x＞-1时，y随x的增大而减小，这样的函数关系式可以是★.答案：y=-x2-2x，（答案不唯一）26．（2022年上海静安区二摸）将抛物线向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是 ▲．答案：27．（2022年上海闵行区二摸）已知抛物线经过点（3，2），那么该抛物线的对称轴是直线▲.答案：三、解答题1、（2022年湖北荆州模拟题）已知抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx－3a（b＜0），若这条抛物线经过点（0，－3），方程ax2＋bx－3a＝0的两根为x1，x2，且|x1－x2|＝4．⑴求抛物线的顶点坐标．⑵已知实数x＞0，请证明x＋≥2，并说明x为何值时才会有x＋＝2．解：（1）∵抛物线过（0，－3）点，∴－3a＝－3 ∴a＝1 ∴y＝x2＋bx－3 ∵x2＋bx－3＝0的两根为x1，x2， ∴,·=-3∵＝4∴＝4∴ ∴∵b＜0∴b＝－2 ∴y＝x2－2x－3＝（x－1）２－4 ∴抛物线的顶点坐标为（1，－4） 38\n（2）∵x＞0，∴∴显然当x＝1时，才有 2．（2022年安徽凤阳模拟题三）已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．（5分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），（6分）分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S－－（7分）=－－（8分）=5（个单位面积）（9分）（3）如：．（12分）事实上，=45a2+36a．3（）=3[5×（2a）2+12×2a－（5a2+12a）]=45a2+36a．∴．（13．（2022年北京顺义区一模）已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于的二次函数的图象与38\n轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.答案：（1）证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根.……1分②当时,===………………………………2分所以,方程有实数根综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根…………3分（2）令，则解关于的一元二次方程，得，……………………5分二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，所以只能取1，2所以抛物线的解析式为或………………7分4.（2022年北京房山区一模）已知，抛物线，当1＜x＜5时，y值为正；当x＜1或x＞5时，y值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线（k≠0）与抛物线交于点A（，m）和B（4，n），求直线的解析式.（3）设平行于y轴的直线x=t和x=t+2分别交线段AB于E、F，交二次函数于H、G.①求t的取值范围②是否存在适当的t值，使得EFGH是平行四边形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.答案：解：（1）根据题意，抛物线与x轴交点为（1,0）和（5,0）----1分38\n∴，解得.∴抛物线的解析式为.--------------------2分（2）∵的图象过A（，m）和B（4，n）两点∴m=，n=3，∴A（，）和B（4，3）------------3分∵直线（k≠0）过A（，）和B（4，3）两点∴，解得.∴直线的解析式为.-------------------4分（3）①根据题意，解得t2-------------------5分②根据题意E（t，），F（t+2，）H（t，），G（t+2，），∴EH=，FG=.若EFGH是平行四边形，则EH=FG，即=解得t=，----------------------6分∵t=满足t2.∴存在适当的t值，且t=使得EFGH是平行四边形.----------7分第3题图5．（2022年北京龙文教育一模）已知，二次函数的图象如图所示.（1）若二次函数的对称轴方程为，求二次函数的解析式；（2）已知一次函数，点是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x38\n轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数的图象于点N．若只有当1＜m＜时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；（3）若一元二次方程有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出的最大值．答案：解：（1）二次函数的对称轴方程为，由二次函数的图象可知二次函数的顶点坐标为（1,-3），二次函数与轴的交点坐标为，于是得到方程组……………………………………..2分解方程得二次函数的解析式为.……………………………………..3分（2）由（1）得二次函数解析式为．依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为和，由此可得交点坐标为和．…………………………..4分第3题图将交点坐标分别代入一次函数解析式中，得解得∴一次函数的解析式为．……………………………..6分（3）.……………………………………………..7分第4题图38\n6．（2022北京顺义区一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过两点，点是抛物线顶点，是对称轴与直线的交点，与关于点对称．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使与相似．若有，请求出所有符合条件的点的坐标；若没有，请说明理由．答案：解：（1）将点代入得第4题图……………………1分解之得，所以抛物线的解析式为………2分（2）由（1）可得抛物线顶点……3分直线的解析式为由是对称轴与直线的交点，则由与关于点对称，则………4分证法一：从点分别向对称轴作垂线，交对称轴于在和中，所以∽所以…………………………………5分证法二：直线的解析式为点关于对称轴的对称点是38\n将点代入可知点在直线所以（3）在中，三内角不等，且为钝角①若点在点下方时，在中，为钝角因为，所以和不相等所以，点在点下方时，两三角形不能相似……………………6分②若点在点上方时，由，要使与相似只需（点在之间）或（点在的延长线上）解得点的坐标为或………………………………………8分7、(2022年安徽省模拟七)如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置.（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.答案：解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO＝90°.∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°.又∵OA＝OB＝4∴OC＝OB＝×4＝2，BC＝OB·sin60°＝4×＝2.∴点B的坐标是(－2，2).（4分）（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx..38\n将A(4，0)，B(－2，2)代入，得解得∴此抛物线的解析式为y＝.（8分）（3）存在.如图，抛物线的对称轴是x＝2，直线x＝2与x轴的交点为D.设点P的坐标为(2，y)①若OB＝OP，则22+|y|2＝42，解得y＝±2.当y＝－2时，在Rt△POD中，∠POD＝90°，sin∠POD＝.∴∠POD＝60°.∴∠POB＝∠POD+∠AOB＝60°+120°＝180°，即P，O，B三点在同一条直线上，∴y＝－2不符合题意，舍去.∴点P的坐标为(2，2).②若OB＝PB，则42+|y－2|2＝42，解得y＝2.∴点P的坐标是(2，2).③若OP＝PB，则22+|y|2＝42+|y－2|2，解得y＝2.∴点P的坐标是(2，2).综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，2).（14分）8、（2022年聊城莘县模拟）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，经过两点的直线是，连结．（1）两点坐标分别为（_____，_____）、（_____，_____38\n），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．（本题共11分）答案：解：（1）（4，0），．．（2）是直角三角形．证明：令，则．．．解法一：．．是直角三角形．解法二：．．，．即．是直角三角形．38\n（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．，．．解法一：设，则，，．=．当时，最大．．，．，．解法二：设，则．38\n．当时，最大．．，，．当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，，．．解法一：设，，．=．当时，最大．，．解法二：设，，，，．．=当时，最大，38\n．．综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为.9、（2022届金台区第一次检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点在直线y=－2x上.（1）求a的值；（2）求A，B两点的坐标;（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上？请说明理由.答案：解：（1）抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，∴抛物线顶点坐标为：（1，﹣+a）∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上则将顶点坐标代入y=﹣2x得﹣+a=﹣2，∴a=﹣；（2分）（2）由（1）写出抛物线解析式为：y=x2﹣x﹣∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A、B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（5分）（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，DE=（7分）∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC∴△AOC≌△BDE38\n∴AO=BE=1，OE=OB-BE=2∴D点的坐标为：（2，），（9分）则点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），代入解析式y=x2﹣x﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上．（10分）10、（2022年上海奉贤区二模）如图，已知二次函数的图像经过点B（1,2），与轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上有点P（1，），联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。APOxBMy答案：（1）∵点B（1,2）在二次函数的图像上，∴------------------------------------------------------------------------------(3分)∴二次函数的解析式为-----------------------------------------------（1分）（2）直线CP与直线CA的位置关系是垂直--------------------------------------------(1分)38\n∵二次函数的解析式为∴点A(3,0)C(2,2)------------------------------------------------------------------(1分)∵P（1，）∴-------------------------------------------(1分)∴∴∠PCA=90°--------------------------------------(1分)即CP⊥CA(3)假设在坐标轴上存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形，∵∠PCA=90°则①当点E在轴上，PE//CA∴△CBP∽△PME，∴，∴，∴---------------(2分)②当点E在轴上，PC//AE∴△CBP∽△AOE，∴，∴，∴--------------(2分)即点Q的坐标、时，以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形。11.已知二次函数过点（1，1）和点（2，10），求二次函数的解析式，并求二次函数图象的顶点坐标。18.把（1，1）和（2，10）代入得：解得：∴二次函数的解析式为：=∴二次函数的顶点坐标为12.（本题14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB38\n返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t>0）秒．（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；②当l经过点B时，求t的值．解：（1）在矩形ABCD中，……2分（2）如图①，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3－t，由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分，…………2分.…………1分图②(3)①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，则，，∴PO=AO－AP=1．由△APE∽△OPQ，得．……2分②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°∴∠PBC＝∠PCBCP＝BP＝AP＝t38\n∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5 ∴t＝2.5．………2分（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，得,BG＝4－=由勾股定理得，即，解得．………2分13．已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解：（1）由5=0，（1分）得，．（3分）∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）．（5分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），（6分）分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S--（7分）=--（8分）=5（个单位面积）（9分）（3）如：．（12分）事实上，=45a2+36a．3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）]=45a2+36a．∴．14、（2022云南勐捧中学模拟）（本小题9分）38\n如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求该抛物线的解析式．（2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式．（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．第23题图【答案】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3），将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得：3=3a，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；（2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，∴AC×BC=6，∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，∴二次函数对称轴为x=2，∴AC=3，∴BC=4，∴B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，∴，解得：，y=x+；（3）∵当点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，∴MO⊥AB，AM=AC，PM=PC，∵AC=1+2=3，BC=4，38\n∴AB=5，AM=3，∴BM=2，∵∠MBP=∠ABC，∠BMP=∠ACB，∴△ABC∽△CBM，∴，∴，∴PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）．14、（2022温州模拟）21.(本题10分)如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍.【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为，………………1分∵抛物线过原点，∴，．………………2分∴抛物线的解析式为．………………1分（2）和所求同底不等高，，∴的高是高的3倍，即M点的纵坐标是．……………1分∴，即．………………2分解之，得 ，．………………1分∴满足条件的点有两个：，．………………2分yxOAB15、（2022重庆一中一模）25．如图,在平面直角坐标系中，点为二次函数与反比例函数在第一象限的交点，已知该抛物线交轴正负半轴分别于点、点，交轴yxy负半轴于点，且．（1）求二次函数和反比例函数的解析式；（2）已知点为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点，求四边形面积的最大值；（3）在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作轴于点，交的延长线于点,为线段上一点，且点到直线的距离等于线段38\n的长，求点的坐标．【答案】16解：（1）将A（2,3）代入中，∴..............1分解得∴...........4分∴当时，四边形DMBE的面积最大为9..................8分HEPFQO38\n...............12分17．（2022江西饶鹰中考模拟）已知：抛物线的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）.(1)当，直接写出与抛物线有关的三条正确结论；（2）若抛物线经过原点，且△ABP为直角三角形.求a，b的值；（3）若将抛物线沿轴翻折得抛物线，抛物线的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．yxOyxO备用图]答案：解：（1）①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴是.；③抛物线的顶点坐标是（2,４）（答案不唯一）（2）设直线与轴交于点E,则E（2,0）.38\n∵抛物线经过原点，∴Ａ(0,0),Ｂ(4,0).∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知,∴,∴Ｐ(2,－2)或(2,2).[来%^~&源:中#教网]当抛物线的顶点为Ｐ(2,－2)时，，把(0,0)代入，得：，此时，.当抛物线的顶点为Ｐ(2,2)时，，把(0,0)代入，得：，此时，.∴，或，.（3）依题意，Ａ、Ｂ关于点E中心对称，当Ｐ,Ｑ也关于点E对称，则当时，四边形ABDC是正方形. 令 则[来#@源*:zzste^p.com~]解得：且Ｅ（2,０） ∴∴，∴.18．（2022宁波五校联考一模）如图，将□OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析式为：y=−x+4．(1)点C的坐标是（▲，▲）；ABCDEOxyP(2)若将□OABC绕点O逆时针旋转90°得OBDE，BD交OC于点P，求△OBP的面积；(3)在(2)的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0≤x≤8），与□OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．答案：38\n解：（1）C（−4，4）3’（2）证得等腰直角△OBP，4’∵OB=4，∴S△OBP=45’yABCDEOxFGHKP（3）①当0≤x<4时，∵OF=GB=x，∴S△OFK=，S△HBG=．∵S△OPG=，∴S五边形KFBHP=−−=．7’当x=2时，Smax=f(2)=6．8’②当4≤x≤8时，ABCDEOxFGHPy∵HB=FB=x−4，∴CH=8−x，∴S△CPH=．10’当x=4时，Smax=f(4)=4．11’∴当x=2时，S取得最大值为6．12’19．（2022宁波五校联考一模）某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，……，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式D=n2+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，求常数k的取值范围.答案：解：抛物线D=n2+kn+90的对称轴为（1）当即时，有，故解得（不合题意）3分（2）当，即时，有，故解得（不合题意）6分（3）当，即时，在取值范围内，D有最低动听指数，且为故化简得解得10分38\n综上所述，的取值范围是12分20.（2022宁波五校联考二模）已知抛物线经过点（1，2）。（1）若a＝1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且⊿ABC为等边三角形，求b的值；（2）若abc＝4，且a≥b≥c，求|a|＋|b|＋|c|的最小值。解：⑴由题意，a＋b＋c＝2， ∵a＝1，∴b＋c＝1 抛物线顶点为A（－，c－）设B（x1，0），C（x2，0），∵x1＋x2＝－b，x1x2＝c，△＝b2－4c＞0∴|BC|＝|x1－x2|＝＝＝∵△ABC为等边三角形，∴－c＝ 即b2－4c＝2·，∵b2－4c＞0，∴＝2∵c＝1－b， ∴b2＋4b－16＝0， b＝－2±2所求b值为－2±2 ⑵∵a≥b≥c，若a＜0，则b＜0，c＜0，a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝2矛盾.∴a＞0．∵b＋c＝2－a，bc＝∴b、c是一元二次方程x2－(2－a)x＋＝0的两实根．∴△＝（2－a）2－4×≥0， ∴a3－4a2＋4a－16≥0,即（a2＋4）(a－4)≥0，故a≥4. ∵abc＞0，∴a、b、c为全大于０或一正二负．①若a、b、c均大于０，∵a≥4，与a＋b＋c＝2矛盾； ②若a、b、c为一正二负，则a＞0，b＜0，c＜0,则|a|＋|b|＋|c|＝a－b－c＝a－(2－a)＝2a－2，∵a≥4，故2a－2≥6当a＝4，b＝c＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a|＋|b|＋|c|的最小值为6． 21、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。 （1）求该抛物线的解析式； （2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由； （3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM＝2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。 38\n解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（－，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，∴抛物线的解析式可设为，将C（0，3）代入得，解得。∴抛物线的解析式为，即。（2）存在。如图，由得对称轴l为，由B（3，0）、C（0，3）得tan∠OBC=，∴∠OBC==300。由轴对称的性质和三角形外角性质，得∠ADP==1200。由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。∴DP=CP=1，AD=4。①在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断△Q1CD≌△ADP，此时，Q1的坐标为（0，7）。②由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足△Q2CD≌△ADP，过点Q2作Q2G⊥y轴于点G，则在Rt△CQ2G中，由Q2C=4，∠Q2CG=600可得CG=2，Q2G=2。∴OG=1。∴Q2的坐标为（－2，1）。38\n③在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则△Q3DC≌△ADP，此时，Q3的坐标为（，－2）。④由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足△Q2DC≌△ADP，过点Q4作Q4H⊥l于点H，则在Rt△DQ4H中，由Q4D=4，∠Q4DH=600可得DH=2，HQ4=2。∴Q4的坐标为（3，4）。综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（－2，1）或（，－2）或（3，4）。（3）（）。22.（2022年湖北宜昌调研）抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+b上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE.（1）求k的值；（2）求证：这条抛物线经过点A；第24题图（3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系.解：(1)k＝1………………………(1分)(2)将顶点M坐标代入y＝x＋1化简得：(4c－4)a＝b2－2b…………………(3分)∵无论a为和何值，等式都成立，所以4c－4＝0，b2－2b＝0∴c＝1，b＝238\n（也可以取两个特殊值得到点M的坐标，代入直线表达式求出b，c的值）∴抛物线经过点A………………………(5分)(3)由题意：方程mx＋1＝ax2＋2x＋1的△＝0，∴(2－m)2＝0，m＝2………………………(7分)∴点B，C，D的坐标分别是B(－，)，C(－，)，D(－，)；………(10分)用a表示出BC，CD的长度，得到BC＝CD＝||…………………(12分)（求出BC＝－或不扣分）23.（2022年吉林沈阳模拟）（14分）如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A,B.（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD,求△ACD的面积；（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.38\n答案：（1）由题意可设抛物线的表达式为.∵点C在抛物线上，∴，解得.∴抛物线的表达式为，即（2）令，即，解得，∴.设BC的解析式为将代入得，解得.∴直线BC的解析式为当时，，∴.所以－－(1)假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似，∵△BCO是等腰直角三角形，则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.由EF∥OC得∠DEF=45°，故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点25.点F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△BCO，所以DF所在的直线为由，解得38\n将代入，得，∴将代入，得，∴24.当D为直角顶点时，DF⊥ED，此时△EFD∽△BCO.∵点D在对称轴上，∴DA=DB，∵∠CBA=45°，∴∠DAB=45°,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BC,故点Ｆ在直线AD上．设直线AD的解析式为将代入得：，解得，所以直线AD的解析式为，由，解得。将代入，得，∴将代入，得，∴.综上所述，点E的坐标可以是，，25、（2022年杭州拱墅区一模）设函数，其中a可取的值是－1，0，1；b可取的值是－1，1，2：（1）当a、b分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；（2）如果a在－1，0，1三个数中随机抽取一个，b在－1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x＞0时y随x增大而减小的函数的概率.（1），最小值；，最小值；，最小值0-----------3分（2）可得到9个不同的函数解析式--------------2分∵当x＞0时y随x增大而减小的函数是，，∴概率为--------------3分38\n（注：2个函数可以不具体写出）26．（2022年上海徐汇区二摸）（本题满分12分）抛物线（）经过点，对称轴是直线，顶点是，与轴正半轴的交点为点．（1）求抛物线（）的解析式和顶点的坐标；（6分）（2）过点作轴的垂线交轴于点，点在射线上，当以为直径的⊙和以为半径的⊙相切时，求点的坐标．（6分）答案：24．解：（1）由题意，得，…………………………………………………（2分）解得……………………………………………………………（2分）∴………………………………………………………（1分）∴顶点．…………………………………………………………（1分）（2）设⊙的半径为．由题意，可得，，∴⊙的半径为；；……（2分）当⊙和⊙相切时，分下列两种情况：当⊙和⊙外切时，此时点在线段上，可得．解得，∴．……………………………………………（2分）当⊙和⊙外切时，此时点在线段的延长线上，可得．解得，∴．…………………………………………（2分）综合，当⊙和⊙相切时，或．38
