一元二次方程及其应用一、选择题1.（2022湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（）A．2B．3C．4D．8【答案】C．【解析】根据一元二次方程的根的定义，将x＝2代入原方程，得4－12＋c＝0，c＝8，所以原方程就是x2－6x＋8＝0，解之得x＝2或4，所以另一根为4．【方法指导】本题考查一元二次方程的根的定义和解法．解答本题还可设另一根为x，由一元二次方程的根与系数的关系，得x＋2＝6，所以x＝4．如果x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．2.（2022贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】：A．【解析】因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．【方法指导】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．（2022四川宜宾，5，3分）已知是一元二次方程的一个解，则m的值是 ( )A．-3 B．3 C． 0 D．0或3【答案】A．【解析】把代入原方程可得到一个关于m的一元一次方程，再求解，应选A.【方法指导】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.4.（2022四川泸州，8，2分）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A．B．且C．且D．且【答案】D【解析】根据条件得(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；解得且，所以选D．【方法指导】本题从考查一元二次方程的概念及根的判别式出发，同时也考查了列、解不等式(组)的知识，有较大的综合度．【易错警示】容易只注重根的判别式，而忽视二次项不为0这个暗含条件．5.（2022四川泸州，10，2分）设是方程的两个实数根，则的值为（ ）30\nA．5B．－5C．1D．－1【答案】B【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝＝＝－5．故选B．【方法指导】本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．6.（2022福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2＋3＝0B．x2＋2x＝0C．(x＋1)2＝0D．(x＋3)(x－1)＝0【答案】C【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．A、△＝0－4×3＝－12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△＝4－4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、x2＋2x＋1＝0，△＝4－4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D、x1＝－3，x2＝1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选C．【方法指导】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．【易错警示】运用根的判别式时，要先化为一般形式否则易出错吆！7．（2022山东滨州，10，3分）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【答案】：C．【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.【方法指导】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．（2022江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A． B． C． D．【答案】A．【解析】A．，∵b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；同理，在方程，，中，b2-4ac=-3＜0无实数根、b2-4ac=0有两个相等实数根、b2-4ac=-8＜0无实数根.【方法指导】本题考查一元二次方程根的判别式.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，需要把握根的存在三种情况：b2-4ac≥0，方程有实数根（两个或一个）；b2-4ac＜0，无实数根.30\n9．（2022广东广州，9，4分）若，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【答案】A.【解析】△=16+4k=，∵，∴△＜0，故答案选A.【方法指导】解决一元二次方程根的判别式的问题，通常都是先算判别式，然后根据已知条件作出判断。考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式：（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况求方程中待定系数的范围；（3）证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.10．（2022山东日照，8，3分）已知一元二次方程的较小根为,则下面对的估计正确的是A．B．C．D．【答案】A【解析】一元二次方程的两个根分别是。。所以选A【方法指导】本题是考查一元二次方程的根的取值范围，只要求出方程的根就可以准备找到根的取值范围。11．（2022山东日照，12，4分）如图,已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】当x＞2时，M=y1，所以①错误。当x＜0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以②正确。当x≤0时，M=y1使得M≤0；当0＜x≤2，M=y2，使得M≤4，x＞2时，M=y1使得M≤4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以③正确。当M=2时，有两种情况，即，0＜x≤2，M=y2即得2x=2,解得x=1.30\nx＞2时，M=y1即得所以④错误。【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)12．(2022四川成都，9，3分)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是()(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)只有一个实数根(D)没有实数根【答案】A．【解析】∵判别式△＝12－4×1×(－2)＝1＋8＝9，∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选A．【方法指导】(1)△＞0一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)△＝0一元二次方程有两个相等的实数根；(3)△＜0一元二次方程没有实数根．其中(1)、(2)两条可合并为：△≥0一元二次方程有两个实数根；13．（2022白银，6，3分）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定考点：根的判别式．分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．解答：解：∵a=1，b=1，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=1+8=9＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选A点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（2022白银，8，3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A．48（1﹣x）2=36B．48（1+x）2=36C．36（1﹣x）2=48D．36（1+x）2=48考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．解答：解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2=48，故选D．30\n点评：考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．15．（2022兰州，8，3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（ ） A．（x+1）2=0B．（x﹣1）2=0C．（x+1）2=2D．（x﹣1）2=2考点：解一元二次方程－配方法．分析：在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解答：解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选D．点评：考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 16．（2022兰州，10，3分）据调查，2022年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2022年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（ ）A．7600（1+x%）2=8200B．7600（1﹣x%）2=8200C．7600（1+x）2=8200D．7600（1﹣x）2=8200考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：2022年的房价8200=2022年的房价7600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解答：解：2022年同期的房价为7600×（1+x），2022年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，即所列的方程为7600（1+x）2=8200，故选C．点评：考查列一元二次方程；得到2022年房价的等量关系是解决本题的关键． 30\n17．（2022广东珠海，4，3分）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（ ） A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解 C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解考点：根的判别式．3481324分析：求出①、②的判别式，根据：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．即可得出答案．解答：解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．故选B．点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握跟的判别式与方程根的关系．18.（2022广西钦州，7，3分）关于x的一元二次方程3x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜3B．m≤3C．m＞3D．m≥3考点：根的判别式．3718684专题：计算题．分析：根据判别式的意义得到△=（﹣6）2﹣4×3×m＞0，然后解不等式即可．解答：解：根据题意得△=（﹣6）2﹣4×3×m＞0，解得m＜3．故选A．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．19．（2022贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（ ） A．1B．﹣1C．2D．﹣2考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．故选A．点评：本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义． 20．（2022·潍坊，10，3分）已知关于的方程，下列说法正确的是（）A．当时，方程无解30\nB．当时，方程有一个实数解C．当时，方程有两个相等的实数解D．当时，方程总有两个不相等的实数解答案：C考点：分类思想，一元一次方程与一元二次方程根的情况．点评：对于一元一次方程在一次项系数不为0时有唯一解，而一元二次方程根的情况由根的判别式确定．21．（2022·鞍山，6，2分）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根D．有两个实数根考点：解一元二次方程-直接开平方法．分析：根据直接开平方法可得x－1＝±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．解答：解：∵（x－1）2＝b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．点评：此题主要考查了解一元二次方程－直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．22（2022•东营，11，3分）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（）A．5个B．6个C．7个D．8个答案：C解析：设参赛球队有x个，由题意得x(x－1)=21，解得，（不合题意舍去），故共有7个参赛球队．23.（2022上海市，2，4分）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）（A）；（B）；（C）；（D）．24．（2022贵州省六盘水，9，3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k＜﹣2B．k＜2C．k＞2D．k＜2且k≠1考点：根的判别式；一元二次方程的定义．3718684专题：计算题．分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．解答：解：根据题意得：△=b2﹣4ac=4﹣4（k﹣1）=8﹣4k＞0，且k﹣1≠0，30\n解得：k＜2，且k≠1．故选D点评：此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．25．（2022贵州省黔西南州，7，4分）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ） A．50（1+x2）=196B．50+50（1+x2）=196 C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．解答：解：依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选C．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．26．（2022湖北省咸宁市，1，3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是（ ） A．2B．1C．0D．﹣1考点：根的判别式．分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．解答：解：根据题意得：△=4﹣12（a﹣1）≥0，且a﹣1≠0，解得：a≤，a≠1，则整数a的最大值为0．故选C．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键． 27．（2022河南省，3，3分）方程的解是【】30\n（A）（B）（C）（D）【解析】由题可知：或者，可以得到：【答案】D28．（2022湖北省十堰市，1，3分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（ ） A．4B．﹣4C．1D．﹣1考点：根的判别式．专题：计算题．分析：根据根的判别式的意义得到△=22﹣4•（﹣a）=0，然后解方程即可．解答：解：根据题意得△=22﹣4•（﹣a）=0，解得a=﹣1．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．29．（2022湖北省鄂州市，8，3分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为（ ） A．﹣10B．4C．﹣4D．10考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：利用根与系数的关系表示出m+n与mn，已知等式左边利用多项式乘多项式法则变形，将m+n与mn的值代入即可求出a的值．解答：解：根据题意得：m+n=3，mn=a，∵（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1=﹣6，∴a﹣3+1=﹣6，解得：a=﹣4．故选C点评：此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．二、填空题1．（2022山东滨州，16，4分）一元二次方程2x2－3x+1=0的解为______________．【答案】：．30\n【解析】利用一元二次方程的求根公式，其中a=2,b=-3,c=1代入求解即可.【方法指导】本题主要考查了一元二次方程的求解方法以及方法的适当选择，对于本题而言选择求根公式求解更适合，要注意方法的选择.2．(2022湖北荆门，16，3分)设x1，x2是方程x2－x－2022＝0的两实数根，则x13＋2022x2－2022＝______．【答案】2022．【解析】依题意可知x1＋x2＝1，x1x2＝－2022，且x12－x1－2022＝0．∴x12＝x1＋2022①．将①式两边同时乘以x1，得x13＝x12＋2022x1②．将①代入②，得x13＝2022x1＋2022．∴x13＋2022x2－2022＝2022x1＋2022＋2022x2－2022＝2022(x1＋x2)＝2022．【方法指导】关于两根的对称式，我们可以利用根与系数的关系求出它的值．此题中待求的式子不是两根的对称式，因此需转化．根据根的定义得到等式①，这个等式①是解题的关键，利用它既可以把x1的3次降为x1的1次，又可以把不对称的式子转化为对称的式子．3．（2022山东临沂，19，3分）对于实数a、b，定义运算“*”：a*b＝例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42－4×2＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1*x2＝_________________．【答案】3或－3．【解析】可以用公式法求出方程x2－5x＋6＝0的两个根是2和3，可能是x1=2，x2=3，也可能是x1=3，x2=2，根据所给定义运算可知原题有两个答案.【方法指导】用公式法或因式分解法求出方程对两个根.【易错点分析】忽视讨论思想，会少一种情况.4.（2022陕西，12，3分）一元二次方程的根是．考点：一元二次方程的解法。解析：四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。此12题的位置一般是简单的题，因此注意识别使用简单的方法进行求解。由得，，解得x1=0,x2=35.（2022四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是10。［解析］△=(-3)2-32≥0,≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。6．（2022江西，12，3分）若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长，且S△ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程．【答案】x2－5x+6=0【解析】先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程．【方法指导】本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为3（直角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况（即保证方程的根为整数），如直角边长分别为2、3的直角三角形的面积就是3，以2、3为根的一元二次方程为；也可以以1、6为直角边长，得方程为.30\n7．（2022白银，18，4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2﹣3a+b，如：3★5=32﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：新定义．分析：根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．解答：解：根据题中的新定义将x★2=6变形得：x2﹣3x+2=6，即x2﹣3x﹣4=0，因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，解得：x1=4，x2=﹣1，则实数x的值是﹣1或4．故答案为：﹣1或4点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．8．（2022兰州，17，4分）若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是．考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．解答：解：∵，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．点评：本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零． 30\n9．（2022年佛山市，12，3分）方程的解是_________________．分析：首先把常数﹣2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．解：x2﹣2x﹣2=0，移项得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=2+1，（x﹣1）2=3，两边直接开平方得：x﹣1=，则x1=+1，x2=﹣+1．点评：此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．10．（2022贵州安顺，13，4分）4xa+2b﹣5﹣2y3a﹣b﹣3=8是二元一次方程，那么a﹣b=．考点：二元一次方程的定义；解二元一次方程组．分析：根据二元一次方程的定义即可得到x、y的次数都是1，则得到关于a，b的方程组求得a，b的值，则代数式的值即可求得．解答：解：根据题意得：，解得：．则a﹣b=0．故答案是：0．点评：主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 11．（2022湖南郴州，12，3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是 2 ．考点：根的判别式．3718684专题：计算题．分析：根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．解答：解：根据题意得：△=b2﹣4（b﹣1）=（b﹣2）2=0，则b的值为2．故答案为：2点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．12.．（2022湖南张家界，14，3分）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实根，则k的非负整数值是 1 ．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．3718684专题：计算题．分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．解答：解：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，30\n解得：k≤，则k的非负整数值为1．故答案为：1点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．13.（2022江苏南京，14，2分）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：。答案：本题答案不唯一，如(x+1)2=25；解析：把缺口补回去，得到一个面积25的正方形，边长为x＋1。14．（2022·聊城，13，3分）若x1＝－1是关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根，则方程的另一个根x2＝．考点：根与系数的关系．分析：设方程的另一根为x2，由一个根为x1＝－1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于x2的方程，求出方程的解得到x2的值，即为方程的另一根．解答：解：∵关于x的方程x2＋mx－5＝0的一个根为x1＝－1，设另一个为x2，∴－x2＝－5，解得：x2＝5，则方程的另一根是x2＝5．故答案为：5．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝． 10.2022•新疆5分）2022年国家扶贫开发工作重点县农村居民人均纯收入为2027元，2022年增长到3985元．若设年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．【答案】．2027（1+x）2=3985【解析】∵2022年农村居民人均纯收入为2027元，人均纯收入的平均增长率为x，∴2022年农村居民人均纯收入为2027（1+x），∴2022年农村居民人均纯收入为2027（1+x）（1+x），∴可列方程为2027（1+x）2=3985，【方法指导】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b15.（2022•新疆5分）如果关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有实数根，那么k的取值范围是 【答案】．k≤4【解析】根据题意得：△=16﹣4k≥0，解得：k≤4【方法指导】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根16.（2022陕西，12，3分）一元二次方程的根是．考点：一元二次方程的解法。30\n解析：四种解一元二次方程的解法即：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法。此12题的位置一般是简单的题，因此注意识别使用简单的方法进行求解。由得，，解得x1=0,x2=317.（2022四川绵阳，17，4分）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是10。［解析］△=(-3)2-32≥0,≤k<5,k为整数，k=4,x2-6x+8=0,x=2或4，△ABC的边长为2、4，则只能是等腰三角形，2+2≮4，以2、2、4为边长不能构成三角形；4-4<2,4+4>2，以4、4、2为边长能构成等腰三角形，所以△ABC的周长=4+4+2=10。18．（2022贵州省黔东南州，15，4分）若两个不等实数m、n满足条件：m2﹣2m﹣1=0，n2﹣2n﹣1=0，则m2+n2的值是 6 ．考点：根与系数的关系．3718684分析：根据题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，所以利用根与系数的关系来求m2+n2的值．解答：解：由题意知，m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根，则m+n=2，mn=﹣1．所以，m2+n2=（m+n）2﹣2mn=2×2﹣2×（﹣1）=6．故答案是：6．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．19．（2022贵州省黔西南州，16，3分）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是 1 ．考点：一元二次方程的解．分析：将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．解答：解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 20．（2022黑龙江省哈尔滨市，18）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．考点：一元二次方程的应用分析：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解解答：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：，解得x1=0.1=20%，x2=﹣1.8（不合题意，舍去）．故答案为：20%．30\n三、解答题1.（2022重庆市(A)，23，10分）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程．其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需的时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月?（2）若甲队每月的施工费100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元?（甲、乙两队的施工时间按月取整数）【答案】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x个月，则乙队单独完成这项工程需要（x－5）个月，由题意得x(x－5)＝6(x＋x－5)，整理得x2－17x＋30＝0，解得x1＝2，x2＝15．x1＝2不合题意，舍去，故x＝15，x－5＝10．答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月．（2）设在完成这项工程中甲队做了m个月，则乙队做了个月，由题知：乙队每月的施工费为150万元，根据题意列不等式得：100m＋150·≤1500，解得m≤，∵m为整数，∴m的最大整数值为8．答：完成这项工程，甲队最多施工8个月．【解析】（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x-5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；（2）设甲队施工m个月，则乙队施工个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．【方法指导】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用．本题难度不大，求解关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式．2．（2022广东广州，17，9分）解方程：.【思路分析】可以运用配方法、求根公式法和因式分解法等三种方法求解．【解】方法一（配方法）：将方程变形为：配方，整理，得解得，方法二（求根公式法）：因为a=1,b=-10,c=930\n由求根公式解得，方法三（因式分解法）：将方程变形为：解得，【方法指导】解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．3．（2022山东菏泽，17，14分）（每题7分）（1）已知m方程的一个实数根，求代数式的值.【思路分析】根据方程的解为m，的值，-2=0两边同时除以m可以得出可得的值.【解】（1）解法一：∵m方程的一个实数根∴∴，……………………3分∴原式=……………………5分……………………6分……………………7分解法二：解方程得：即：……………………4分当时，把代入当时，把代入……………………6分即：代数式的值为4.……………………7分30\n【方法指导】本题考查了一元二次方程的解与求代数式的值.借助一元二次方程的解及其等式性质变形，巧妙运用整体代入发求出代数式的值.当然可以直接求出一元二次方程的解M的值，再代入计算.（2）如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B两点·①根据图像求k的值;xyOAB（第17题）-1②点P在y轴上，且满足以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，试写出点P所有可能的坐标.【思路分析】①根据A点的横坐标代入函数求出其纵坐标，然后将得出的A点坐标代入函数求出k值.（2）可以考虑AB是直角边、斜边进行分析.【解】①把代入得，故∵反比例函数图象过点A·∴………………………………………………………………………………3分②点P所有可能的坐标.、、、.……………………7分【方法指导】本题考查了一次函数与反比例函数本题考查图象与性质.一次函数与反比例函数交点坐标满足两个函数的数学表达式，可以根据一个交点的坐标求出另一交点坐标或某函数的K值.【易错提示】②问属存在型问题探究，一定要分类讨论，做到不重不漏.4．（2022山东菏泽，20，10分）已知:关于x的一元二次方程（是整数）.(1)求证:方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根分别为x1，x2(其中),设y=x2-x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数表达式；若不是，请说明理由.【思路分析】(1)判断一元二次方程根的存在情况，不解方程一般运用根的判别式的符号；（2）转化为变量与变量之间是否存在一一对应关系.【解】（1）证明：△······················2分.∵是整数∴即∴△∴方程有两个不相等的实数根.······················4分.30\n（2）解方程得：∴或·····················6分.∵是整数∴，又∵∴，·····················8分.∴∴y是k的函数.·····················10分.【方法指导】本题主要考查一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的概念，函数的概念.一元二次方程ax2+bx+c=0中，△=b2-4ac,当方程有两个不相等的实数根时，△>0；当方程有两个相等的实数根时，△=0；当方程没有实数根时，△<0.判断y是否为变量k的函数，关键看表达式自变量与因变量的唯一对应关系.【易错提示】本题的（1）问易错点是忽略即；（2）问不要认为只要得到变量关系式就是函数.初中阶段常见的有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数，可以借鉴它们关系式做判断.5．（2022山东日照，17，10分）（本题满分10分,(1)小题4分，（2）小题6分）（1）计算：.【思路分析】把各部分的值全都算出，最后再进行加减运算。【解】【方法指导】实数的运算一般按照先算乘方，再算乘除，最后算加减的顺序进行计算。（2）已知，关于x的方程的两个实数根、满足，求实数的值.【思路分析】先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相等，或是互为相反的数，从而找到关于m的方程，从而得到m的值，但前提条件是方程得有实数根。【解】原方程可变形为：.…………………5分∵、是方程的两个根，∴△≥0,即：4（m+1）2-4m2≥0,∴8m+4≥0,m≥.30\n又、满足,∴=或=-,即△=0或+=0,…………………8分由△=0,即8m+4=0,得m=.由+=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去)所以,当时，m的值为.……………10分【方法指导】本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值。首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值。6．(2022四川成都，26，8分)某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒，其运动速度v(米/秒)关于时间t(秒)的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积．由物理学知识还可知：该物体前n(3＜n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和．根据以上信息，完成下列问题：(1)当3＜t≤7时，用含t的代数式表示v；(2)分别求该物体在0≤t≤3和3＜t≤7时，运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式；并求该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间．v(米/秒)t(秒)OABMCEND10237n第26题图【思路分析】(1)利用待定系数法求一次函数的解析式；(2)根据题意即物理学知识求出分段函数s的解析式，并列一元二次方程求出题中所需时间．【解】(1)设直线BC的解析式为v＝kt＋b．∵点B，C的坐标为(3，2)，C(7，10)．∴解得．∴v＝2t－4(3＜t≤7)．(2)①依题意可知，当0≤t≤3时，s＝2t；当3＜t≤7时，s＝6＋[2＋(2t－4)](t－3)＝t2－4t＋9．综上所述，s＝②当t＝7时，s＝72－4×7＋9＝30．即总路程为30米．30\n令t2－4t＋9＝30×．整理得t2－4t－12＝0．解得t1＝－2(不合题意，舍去)，t2＝6．答：该物体从P点运动到Q点总路程的时所用的时间是6秒．【方法指导】此题涉及一次函数、分段函数、一元二次方程等知识．解决第(2)问的关键根据题意理解求路程的方法．7．（2022湖南永州，25，10分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；(2)若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(3)若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；(4)若AB=m，CD=n，BD=，请问在m、n、满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?【思路分析】每小问按两种对应关系来说明。【解】(1)设BP=x，则DP=10-x如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，方程无解；所以BP=(2)设BP=x，则DP=12-x如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，解得x=6；所以BP=6或30\n（3）设BP=x，则DP=15-x如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，解得x=3或12所以BP=，3或12.（4）设BP=x，则DP=l-x如果是△ABP∽△CDP，则，即，解得；如果是△ABP∽△PDC，则，即，得方程：，当时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；当时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；当时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点；【方法指导】三角形相似没有明确对应关系，得分情形来讨论，由于本题是两个直角三角形，所以对应关系有两种。由于数量关系的制约，本题有一种对应关系是始终存在的，另一种对应关系则需要通过一元二次方程的判别式来进行讨论。8．（2022重庆，23，10分）“4·20”雅安地震后，某商家为支援灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小车运送，计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完．（1）求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？（2）因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运200顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶．为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑次，一天刚好运送了帐篷14400顶，求的值．【思路分析】（1）解答本题需把握两个等量关系，一是“大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶”，二是“大、小货车两天恰好运完16800顶”，利用这两个等量关系可设一元（或二元）建立一元一次方程（或二元一次方程组）解答；（2）在第（1）小题所得数据的基础上，一方面需用常数或含m的式子表示大、小货车每次的运输量和实际每天的运输次数，另一方面，需抓住“2辆大货车和8辆小车火车一天共运送帐篷14400顶”这个等量关系式解答．【解】（1）设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷（x+200）顶，根据题意，得2[8x+2（x+200）]=16800，解得x=800x+200=800+200=1000答：大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶，800顶．（2）根据题意，得30\n化简为，解得，∵1000－200m不能为负数，且为整数，∴（不符合实际，舍去）故m的值为2．【方法指导】本题综合考查了一次方程、一元二次方程的应用，需要同学们从题中提取有效信息，合理设置未知数，找到恰当的数量关系建立方程．列方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题：读题，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系；（2）设元：就是设未知数，根据题意，选择适当的未知量，并用字母表示出来，设元又分直接设元和间接设元；（3）列方程：根据题目中给出的等量关系，列出符合题意的方程；（4）解方程：求出所列方程的解；（5）检验：检验未知数的值是否符合题意；（6）写出答案．特别地，在检验时，对一元二次的两个根一方面要结合生活实际检验，另一方面要结合具体的问题检验．9．（2022四川南充，20，8分）关于的一元二次方程为．（1）求出方程的根；（2）为何整数时，此方程的两个根都为正整数？【答案】：解：（1）解法一：根据题意得．．∴，．解法二：根据题意得．，∴，．（2）由（1）知，∵方程的两个根都是正整数，∴是正整数，∴或2．∴或3．【解析】（1）利用求根公式或因式分解法解方程；（2）利用（1）中x的值来确定m的值．【方法指导】本题考查了公式法或因式分解法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．10.（2022四川宜宾，17，6分） 解方程：【思路分析】本题只能用配方法或公式法来解，根据一元二次方程的求根公式x=30\n(b2-4ac≥0)可求出原方程的解.【解】∵a=1，b=-3，c=-1∴∴【方法指导】解一元二次方程首选方法为因式分解法，再选配方法或公式法，解题时注意方程的特点及题目要求，根据方程的特点选择恰当的方法.应注意弄清字母究竟是哪个字母，因为题目中的字母不一定全是x.【易错警示】应注意弄清字母究竟是哪个字母，因为题目中的字母不一定全是x.11.（2022广东省，21，8分）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动．第一天收到捐款10000元，第三天收到捐款12100元．（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【思路分析】第一天到第三天，实际上是两天的增长，求天平均增长率，可用a(1+x)2=b这个增长率的模型求解．【解】设捐款增长率为x，则解这个方程，得，（不合题意，舍去）答：捐款的增长率为10%.（2）12100×（1+10%）=13310答：按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到捐款13310元．【方法指导】解决本题这类平均增长率问题，通常都是用a(1+x)2=b这个增长率的模型求解．12.(湖南株洲,24)已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，），将抛物线C1向下平移h个单位得到抛物线C2，一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2.⑴求抛物线C1的解析式的一般形式；30\n⑵当m=2时，求h的值；⑶若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F，求证tan∠EDF-tan∠ECP=.【答案】：解：（1）依题意可设抛物线C1的解析式为，且过点（0，）.所以，因此.所以抛物线C1的解析式的一般形式为（2）由（1）知：抛物线C1的解析式.则依题意可设抛物线C2的解析式.因为直线AB与抛物线C1的相交于B、C（在对称轴右边），且直线AB与x轴的距离是m2=4.所以，解得；所以点C（5，4）又因为点A、C关于y轴对称所以点A（-5，4）又因为点A为直线AB与抛物线C2的一个交点所以解得因此，当m=2时，h的值为5.（3）证明：类似于（2）小题，可以很快求得点C（1+2m，m2）、点A（-1-2m，m2），又因为点A与点Ｄ关于直线EF对称，所以点D（3+2m，m2）.所以EC=2m，DE=2m+2，EP=m2EF=h+m2又因为点A（-1-2m，m2）为直线AB与抛物线C2的一个交点所以，整理得所以tan∠EDF-tan∠ECP==【方法指导】:本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的平移的求解方法，对称的性质应用，合理的设二次函数的解析式，用待敌系数法接触后在利用平移的规律：左加右减，上加下减求出平移后的解析式，会利用对称的性质灵活解题.13．（2022广东珠海，15，6分）某渔船出海捕鱼，2022年平均每次捕鱼量为10吨，2022年平均每次捕鱼量为8.1吨，求2022年﹣2022年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：2022年平均每次捕鱼量×（1﹣每次降价的百分率）2=2022年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可．30\n解答：解：设2022年﹣2022年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率x，根据题意列方程得，10×（1﹣x）2=8.1，解得x1=0.1，x2=﹣1.9（不合题意，舍去）．答：2022年﹣2022年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为10%．点评：本题考查的下降的百分率也就是增长率问题，两年前是10吨，下降后现在是8.1吨，求每年的下降的百分率，可列式求解．14．（2022湖北孝感，24，10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：30\n本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．15．（2022·泰安，27，?分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．解答：解：由题意得出：200×（10－6）＋（10－x－6）（200＋50x）＋[（4－6）（600－200－（200＋50x）]＝1250，即800＋（4－x）（200＋50x）－2（200－50x）＝1250，整理得：x2－2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10－1＝9，答：第二周的销售价格为9元．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键． 16．（2022•徐州，20(1)，5分）（1）解方程：x2－2x＝1；（2022•徐州，20(2)，5分）（2）解不等式组：．考点：解一元二次方程－配方法；解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：（1）方程两边都加上1，配成完全平方的形式，然后求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：（1）x2－2x＋1＝2，（x－1）2＝2，所以，x1＝1＋，x2＝1－；（2），解不等式①得，x≥－2，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是－2≤x＜．30\n点评：（1）考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．（2）主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．17.（2022·济宁，19，?分）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程－=0无解，方程x2＋kx＋6=0的一个根是m．（1）求m和k的值；（2）求方程x2＋kx＋6=0的另一个根．考点：解分式方程；根与系数的关系．专题：阅读型．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．解答：解：（1）分式方程去分母得：m－1－x=0，由题意将x=1代入得：m－1－1=0，即m=2，将m=2代入方程得：4＋2k＋6=0，即k=－5；（2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3．点评：此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18.（2022杭州8分）当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．【思路分析】通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=30\n求得方程程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．【解析】由求得，则2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合题意∴x=1+．【方法指导】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式组．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．19.（2022•衢州6分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．【思路分析】（1）边长为x的正方形面积为x2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x的值即可．【解析】（1）ab﹣4x2；（2分）（2）依题意有：ab﹣4x2=4x2，（4分）将a=6，b=4，代入上式，得x2=3，（6分）解得x1=，x2=﹣（舍去）．（7分）即正方形的边长为【方法指导】本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．20.（2022山西，20，7分）解方程：（2x-1）2=x(3x+2)-7【解析】解：原方程可化为：4x2-4x+1=3x2+2x-7∴x2-6x+8=0∴(x-3)2=1∴x-3=±1∴x1=2x2=430\n21.（2022四川巴中，27，7分）某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：本题是平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．如果设平均增长率为x，那么结合到本题中a就是400×（1+10%），即3月份的营业额，b就是633.6万元即5月份的营业额．由此可求出x的值．解答：解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意得，400×（1+10%）（1+x）2=633.6，解得，x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%．点评：本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）．22.（2022四川乐山，23，10分）已知关于x的一元二次方程。（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5。当△ABC是等腰三角形时，求k的值。23（2022四川绵阳，23，12分）30\n“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2022年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x,根据题意列方程：64（1+x）2=100,解得x=-225%（不合题意，舍去）,x=25%100×(1+25%)=125(辆)答：该商城4月份卖出125辆自行车。（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得不等式组2x≤≤2.8x，解得12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x.整理得：W=-100x+12000，∵W随着x的增大而减小,∴当x=13时，销售利润W有最大值，此时，=34，所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。30
