解直角三角形的应用一、选择题1、（2022浙江省宁波模拟题）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l为()h(第9题图)laA．B．C．D．h·sinα答案：A2、(2022年江苏南京一模)由直角三角形中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形，已知一个直角三角形中：①两条边的长度，②两个锐角的度数，③一个锐角的度数和一条边的长度．利用上述条件中的一个，能解这个直角三角形的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③答案：B3、（2022年安徽凤阳模拟题三）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反ABPD（第6题图）CC射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD，CD⊥BD,且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米,那么该古城墙的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米答案：B4、(2022年湖北荆州模拟5)如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（▲）A．5mB．6mC．7mD．8m答案：A5、（2022浙江台州二模）8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴（第1题）正半轴的夹角为15°，点B在抛物线的图像上，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B26\n二、填空题1、（2022年上海长宁区二模)如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是5米，设自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ=.答案：2、2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为米．ABC答案：43、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧上一点(不与A，B重合)，则cosC的值为________．4、(2022年广东省中山市一模)如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度=米26\n答案：4.7xyOAB第1题图O3x2y5、（2022山东德州特长展示）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=30°，点A坐标为（2，0）．过A作AA1⊥OB，垂足为点A1；过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2；再过点A2作A2A3⊥OB，垂足为点A3；再过点A3作A3A4⊥x轴，垂足为点A4；……；这样一直作下去，则A2022的纵坐标为．三、解答题1、（2022届金台区第一次检测）随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭。某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28º≈0.47，cos28º≈0.88，tan28º≈0.53）．答案：解：∵AC∥ME∴∠CAB=∠AEM（1分）在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77m（3分）∴BD=BC-CD=4.77-0.5=4.27m（4分）26\n在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°∴∠BDF=∠CAB=28°(6分)∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8m（7分）答：坡道口的限高DF的长是3.8m。（8分）2.（2022盐城市景山中学模拟题）(本题满分10分)为保卫祖国的南疆,我人民解放军海军在中业岛（P地）处设立观测站，按国际惯例,中业岛12海里范围内均为我国领海,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海.某日，观测员发现某国船只行驶至P地南偏西30°的A处，欲向正东方向航行至P地南偏东60°的B处，已知A、B两地相距10海里问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告,命令其不得进入我国领海?答案：作PH⊥AB于H，求出PH=15（－1）＜15×0.8=123、（2022沈阳一模）（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）答案：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.26\n在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°=30×=15.在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°=40×=20.∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm.答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.4、(2022年江苏南京一模)（8分）如图，小敏、小亮从A，B两地观测空中C处一个气球，分别测得仰角为30°和60°，A，B两地相距100m.当气球沿与BA平行地飘移10秒后到达C′处时，在A处测得气球的仰角为45°.（1）求气球的高度（结果精确到0.1ｍ）；第1题图（2）求气球飘移的平均速度（结果保留3个有效数字）.答案：解：(1)作CD⊥AB,C/E⊥AB,垂足分别为D，E.（1分）∵CD＝BD•tan60°,……………………………（2分）CD＝（100＋BD）•tan30°,………………（3分）∴（100＋BD）•tan30°＝BD•tan60°,…………（4分）∴BD＝50,CD＝50≈86.6m，∴气球的高度约为86.6m.（5分）(2)∵BD＝50,AB＝100,∴AD＝150,又∵AE＝C/E＝50,∴DE＝150－50≈63.40，……（7分）∴气球飘移的平均速度约为6.34米/秒.……………………（8分）5、(2022年江苏南京一模)（7分）如图，斜坡AC的坡度为，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端点B与点A有一条彩带AB相连，测得∠BAD＝56°，试求旗杆BC的高度．（精确到1米，≈1.7，sin56°≈0.8，cos56°≈0.6，tan56°≈1.5）答案：（本题7分）解：延长BC交AD于点E，则∠AEB＝90°．26\n在Rt△ACE中，tan∠CAE＝＝，∴∠CAE＝30°．∴CE＝5，AE＝5.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝.∴BE＝AE·tan∠BAE＝5×1.5≈13．∴BC＝BE–CE＝8．答：旗杆BC的高约为8米．6、(2022年江苏南京一模)（10分）小明设计了一个“简易量角器”：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，CA＝30cm，在AB边上有一系列点P1，P2，P3…P8，使得∠P1CA＝10°，∠P2CA＝20°，∠P3CA＝30°，…∠P8CA＝80°．（1）求P3A的长（结果保留根号）；（2）求P5A的长（结果精确到1cm，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，≈1.7）；（3）小明发现P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不相同，于是计划用含45°的直角三角形重新制作“简易量角器”，结果会怎样呢？请你帮他继续探究．ACBP1P2P3P4P5P6P7P8（第3题）答案：（本题10分）解：（1）连接P3C．∵∠P3CA＝∠A，∴P3C＝P3A．又∵∠P3CB＝∠BCA－∠P3CA＝60°，且∠B＝∠BCA－∠A＝60°，ACBP1P2P3P4P5P6P7P8D∴∠P3CB＝∠B，∴P3C＝P3B，∴P3A＝P3B＝AB．在Rt△ABC中，cos∠A＝，∴AB＝＝20cm．∴P3A＝AB＝10cm．……………………………………………3分（2）连接P5C，作P5D⊥CA，垂足为D．由题意得，∠P5CA＝50°，设CD＝xcm．26\n在Rt△P5DC中，tan∠P5CD＝，∴P5D＝CD·tan∠P5CD＝1.2x．在Rt△P5DA中，tan∠A＝，∴DA＝＝1.2x．∵CA＝30cm，∴CD＋DA＝30cm．∴x＋1.2x＝30．∴x＝．在Rt△P5DA中，sin∠A＝，∴P5A＝＝2.4x．∴P5A＝2.4×≈24cm．………………………………………7分（3）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°．ABP8P7P2P1CP6P5P4P3当P1，P2，P3…P8在斜边上时．∵∠B＝90°－∠A＝45°，∴∠B＝∠A，∴AC＝BC．在△P1CA和△P8CB中，∵∠P1CA＝∠P8CB，AC＝BC，∠A＝∠B，∴△P1CA≌△P8CB．∴P1A＝P8B．同理可得P2A＝P7B，P3A＝P6B，P4A＝P5B．则P1P2＝P8P7，P2P3＝P7P6，P3P4＝P6P5．在P1，P2，P3…P8这些点中，有三对相邻点距离相等．（回答“当P1，P2，P3…P8在直角边上时，P1，P2，P3…P8这些点中，相邻两点距离都不同相”，得1分，根据等腰三角形轴对称性直接得出结论，得2分）………………………………………………………10分7、如图，A、B、C是三座城市，A市在B市的正西方向，C市在A市北偏东60º的方向，在B市北偏东30º的方向．这三座城市之间有高速公路l1、l2、l3相互贯通．小丁驾车从A市出发，以平均每小时80公里的速度沿高速公路l2向C市驶去，3小时后小丁到达了C市．（1）求C市到高速公路l1的最短距离；北东ABl1l360º30ºl2C（2）如果小丁以相同的速度从C市沿C→B→A的路线从高速公路返回A市，那么经过多长时间后，他能回到A市？（结果精确到0.1小时）（）26\n北东ABl1l360º30ºl2CD（1）解：过点C作CD⊥l1于点D，……1分则由已知得AC=3×80=240（km），∠CAD=30º∴CD=AC=×240=120（km）∴C市到高速公路l1的最短距离是120km.…4分（2）解：由已知得∠CBD=60º在Rt△CBD中，∵sin∠CBD=∴BC=.…………………6分∵∠ACB=∠CBD–∠CAB=60º–30º=30º∴∠ACB=∠CAB=30º∴AB=BC=.…………………8分∴t=答：经过约3.5小时后，小丁能回到A市.8、．（2022河南南阳市模拟）(10分)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．第21题图【答案】解：（1）由題意得，26\n在Rt△ADC中，AD==36.33，…2分在Rt△BDC中，BD==12.11，…4分则AB=AD﹣BD=36.33﹣12.11=24.22≈24.2（米）…6分（2）∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1×3600=43560，∴该车速度为43.56千米/小时，…9分∵大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．…10分9、（2022云南勐捧中学二模）（本小题7分）如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？19题(1)过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形.∴EF=AC=30，AF=CE=h,∠BEF=α，∴BF=3×10-h=30-h.又在Rt△BEF中，tan∠BEF=，∴tanα=，即30-h=30tanα.∴h=30-30tanα.(2)当α＝30°时，h=30-30tan30°=30-30×≈12.7，∵12.7÷3≈4.2，∴B点的影子落在乙楼的第五层.当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，∴=1(小时).故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．10、（2022云南勐捧中学三模）(本小题7分)如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m26\n至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°。求该古塔BD的高度（，结果保留一位小数）。【答案】解：根据题意可知：∠BAD=45°，∠BCD=30°，AC=20m在Rt△ABD中，由∠BAD=∠BDA=45°，得AB=BD在Rt△BDC中，由tan∠BCD=，得又∵BC-AB=AC，∴，∴答：略。11、（2022年安徽模拟二）如图，从热气球上测得两建筑物、底部的俯角分别为30°和．如果这时气球的高度为90米．且点、、在同一直线上，求建筑物、间的距离．ABCDEFEE第1题图解：在中∵，∴．在中∵，∴．∴．即A、B建筑物之间的距离为．12.（2022年安徽凤阳模拟题二）.一种拉杆式旅行箱的示意图如图所示，箱体长AB=50cm，拉杆最大伸长距离BC=30cm，点A到地面的距离AD=8cm，旅行箱与水平面AE成60°角，求拉杆把手处C到地面的距离（精确到1cm）．（参考数据：）26\n°.解：过点C作CM⊥DF于点M，交AE于点N易证CN⊥AE，∴四边形ADMN是矩形，MN=AD=8cm在Rt△CAN中，∠CAN=60°∴sin60°=(50+30)×=∴cm答：拉杆把手处C到地面的距离约77cm13.（2022年北京房山区一模）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．第1题图答案：解：过点B作BM⊥FD于点M．----------------------------------------1分在△ACB中，∠ACB=90°,∠A=60°,AC=10,∴∠ABC=30°,BC=ACtan60°=10,-------------------------------------2分∵AB∥CF，∴∠BCM=30°．∴---------------------------------------3分-------4分在△EFD中，∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴．第2题图∴．-----------------5分14．（2022年北京顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，，，，，求AC和BD的长.答案:∵26\n∴∵，，∴∴，…………………………………………1分∴………………………………………………………2分∴………………………………………………3分过点作,垂足为∵∴………………………………………………4分∵∴∴…………………………5分15、(2022年安徽省模拟六)金陵中学的同学们到灵谷寺开展社会实践活动，他们通过测量计算出灵谷塔的高度.他们在C点测得塔顶A的仰角是点的仰角是450，向着塔的方向走了28m到达D点后，测得A点的仰角是600.请你帮他们求出灵谷塔的高度.（，结果保留整数）答案：解：设AB=xm.在⊿ABC中，∠ABC=900，，∴m.（3分）在⊿ABD中，∠ABD=900，，第1题图∴m.（6分）26\n∵CD+BD=BC，∴，解之，得（m）.（9分）答：灵谷塔的高度约是66m.（10分）16、(2022年安徽省模拟七)周末，身高都为1.6米的蚌蚌、艳艳来到张公山公园，准备用他们所学的知识测算望淮塔的高度．如图，蚌蚌站在A处测得他看塔顶的仰角为45°，艳艳站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角为30°．他们又测出A、B两点的距离为30米．假设他们的眼睛离头顶都为10cm，求望淮塔的高度（结果精确到0.01，参考数据：，）第2题图答案：20．解：设塔高为米，则得：，（6分）解得：（9分）答：望淮塔的高度约为42.48米（10分）BMA北东17.(2022年安徽省模拟八)如图，我边防哨所A测得一走私船在A的西北方向B处由南向北正以每小时10海里的速度逃跑，我缉私艇迅速朝A的西偏北600的方向出水拦截，2小时后终于在B地正北方向M处拦截住，试求缉私船的速度．（参考数据：）答案：26\n第3题图18、(2022年湖北荆州模拟6)（本题满分9分）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺和测角仪等工具去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先在沙坑坑沿上取点D、E，测得∠D=32°，AE=5.5米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米，根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）（参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62，π取3.14，结果精确到0.1米）.答案：过A作直径AF，连结FE，则∠F=∠D=32°，且∠FEA=90°在△FEA中，sin∠F=∴AF=∴OA=5.2连结OS、AS∵BC∥OS∴△OSA∽△BCA∴即OS=6.9（米）19、（2022年广州省惠州市模拟）某兴趣小组用仪器测测量湛江海湾大桥主塔的高度．如图，在距主塔从AE60米的D处．用仪器测得主塔顶部A的仰角为68°，已知测量仪器的高CD=1.3米，求主塔AE的高度（结果精确到0.1米）（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）26\n解：根据题意得：在Rt△ABC中，AB=BC•tan68°≈60×2.48=148.8（米）（3分）∵CD=1.3米，∴BE=1.3米，∴AE=AB+BE=148.8+1.3=150.1（米）．（6分）∴主塔AE的高度为150.1米．（7分）20、(2022年惠州市惠城区模拟)泗州塔，又名西山塔，位于惠州西湖的西上之巅，是惠州著名的旅游景点之一．小明运用所学的数学知识对塔进行测量，测量方法如图所示：在塔的前方点处，用长为1.5米（即CE=1.5米）的测角仪测得塔顶的仰角为，往前走26米到达点，在点处测得塔顶的仰角为，请你用上述数据，帮助小明求出塔的高度.（结果保留1位小数参考数据：）解：设AH为x米，得：26\n…………………………………（4分）答：塔高AB为37.4米．……………………………………………（8分）21、(2022北仑区一模)CNMBDA 第24题图24.(本题12分)如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得高压电线杆端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求高压电线杆CD的高度（结果保留三个有效数字，1.732）．【答案】解：设大堤的高度h，以及点A到点B的水平距离a，∵i=33，∴坡AB与水平的角度为30°，------------------------------2分∴hAB=sin30°，即得h=AB2=10m，------------------4分aAB=cos30°，即得a=32AB=103m，---------------6分∴MN=BC+a=（30+103）m，-----------------------------------------8分∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，∴DNMN=tan30°，------------------------------------------------------9分解得：DN=103+10≈27.32（m），-------------------------------------10分∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．-------------------11分答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．-----------------------------------12分22、（2022浙江台州二模）20．在数学活动课上，九年级（11）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点，测得由点A看大树顶端的仰角为35°；（2）在点和大树之间选择一点（、、在同一直线上），测得由点看大树顶端的仰角恰好为45°；（3）量出、两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树的高度.（可能用到的参考（第2题）数据sin35°≈0.57cos35°≈0.82tan35°≈0.70）26\n【答案】解：在中，……2分在中，……2分而即……1分解得：……2分答：大树的高为CD为10.5米……1分23．（2022郑州外国语预测卷）如图是某品牌太阳能热火器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管与支架所在直线相交于水箱横断面的圆心，支架与水平面垂直，厘米，，另一根辅助支架厘米，．（1）求垂直支架的长度；（结果保留根号）（2）求水箱半径的长度．（结果保留三个有效数字，参考数据：）ODBACAEA答案：解：（1）在中，，（2）设在中，即解得水箱半径的长度为18.5cm．24.（2022江西饶鹰中考模拟）如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且AB=6m。（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）若跷动AB，使端点A碰到地面，求点A运动路线的长。（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）26\n答案：解：（1）过点A作，交ＢＣ的延长线于Ｄ，则ＡＤ＝ＡＢ所以Ａ到地面的距离约为1.6ｍ（2）由题可知，Ａ碰到地面时，ＡＯ转过的角度为所以点Ａ运动的路线长为：25.（2022辽宁葫芦岛一模）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）．观测得到点B在点A的南偏东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间距离为400米.问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据：）解：延长AB至D点，作CD⊥AD于D．根据题意得∠BAC=30°，∠BCA=15°，∴∠DBC=∠DCB=45°．…………2分在Rt△ADC中，∵AC=400米，∠BAC=30°，∴CD=BD=200米．…………4分∴BC=200米，AD=200米．∴AB=AD－BD=（200－200）米．…………7分∴三角形ABC的周长为400＋200＋200－200≈829（米）．∴小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了829米．………9分26\n26、（2022山东德州特长展示）（本题满分10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC＝CF，∠CBF＝∠CFB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；BAODECF（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长．（1）证明：∵∠CBF＝∠CFB∴CB＝CF．又∵AC＝CF，∴CB＝AF．∴△ABF是直角三角形．∴∠ABF＝90°．……………………………………………………………………3分∴直线BF是⊙O的切线．……………………………………………………………4分（2）解：连接DO，EO．……………………………………………………………5分∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，∴∠AOD＝60°．又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∠OAD＝60°，OA＝AD＝5．………………………7分又∵∠ABF＝90°，AB=2OA=10，∴BF＝10．……………………………………………………………………10分26\n27、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．26\n∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分∴d=（）—（）=—=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分②当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．………………………………………（12分）26\n28、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=,坡长AB=,为加强水坝强度,将坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据:,).(3题图)解：（1）∵sin60°=，∴BE=AB×sin60°=20×=30（m），AE=AB×cos60°=(m).∵∠F=45°,∴EF=BE=30m,∴AF=EF-AE=BE-AE=30-10(m).29、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(10分)如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．ABCEF(1)格点E、F在BC边上，的值是_________；(2)按要求画图：找出格点D，连接CD，使∠ACD＝90°；(3)在(2)的条件下，连接AD，求tan∠BAD的值．解：(1)………3分(2)标出点D，………5分连接CD．………7分(3)解：连接BD，………8分∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝．……9分由(1)可知BF＝AF＝2，且∠BFA＝90°，∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2．……10分∴∠ABD＝∠ABF＋∠FBD＝45°＋45°＝90°．……11分∴tan∠BAD＝＝＝．……12分26\nABCDEOxyF第4题图30、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，半径为2的⊙E交x轴于A、B，交y轴于点C、D，直线CF交x轴负半轴于点F，连接EB、EC．已知点E的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°．(1)求证：直线CF是⊙E的切线；(2)求证：AB＝CD；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)过点E作EG⊥y轴于点G，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝1．在Rt△CEG中，sin∠ECG＝＝，∴∠ECG＝30°．………………1分∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°，∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°．………………2分∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°．即CF⊥CE．∴直线CF是⊙E的切线．………………3分(2)过点E作EH⊥x轴于点H，∵点E的坐标为(1，1)，∴EG＝EH＝1．………………4分在Rt△CEG与Rt△BEH中，∵，∴Rt△CEG≌Rt△BEH．∴CG＝BH．………………6分∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG．∴AB＝CD．………………7分(3)连接OE，在Rt△CEG中，CG＝＝，∴OC＝＋1．………………8分同理：OB＝＋1．………………9分26\n∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°．又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°．同理：∠OEB＝105°．………………10分∴∠OEB＋∠OEC＝210°．ABCDExyFOGH∴S阴影＝－×(＋1)×1×2＝－－1．………………12分31、（2022年吉林沈阳模拟）（8分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）答案：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.在Rt△BCF中，∠CBF=30°，∴CF=BC·sin30°=30×=15.在Rt△ABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB·sin60°=40×=20.∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6（cm）cm.答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.26\n32．(2022年江苏无锡崇安一模）（本题满分8分）公园中有一棵树和一座塔恰好座落在一条笔直的道路上.在途中A处，小杰测得树顶和塔尖的仰角分别为45º和30º，继续前进8米至B处，又测得树顶和塔尖的仰角分别为16º和45º，试问这棵树和这座塔的高度分别为多少米？（结果精确到0.1米.参考数据：≈1.414，≈1.732，tan16º≈0.287，sin16º≈0.276，cos16º≈0.961）ABD45º30º16º45ºC答案：（共8分）设塔高DF＝a米，树高CE＝b米.在Rt△DBF中，DF＝a，∠DBF＝45°，∴BF＝DF＝a……………………(1分)在Rt△DAF中，DF＝a，∠DAF＝30°，∴AF＝DF＝a………………(2分)∴AB＝AF－BF＝(－1)a＝8………………………………………………(3分)∴a＝4(＋1)≈4(1.732＋1)＝10.928≈10.9（米）…………………………(4分)同理，AE＝CE＝b，BE＝，……………………………………………(5分)∴AB＝BE－AE＝－b＝8………………………………………………(6分)∴b＝≈＝3.220≈3.2（米）………………………………(7分)答：塔高10.9米，树高3.2米.………………………………………………(8分)33、(2022珠海市文园中学一模）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水26\n平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）答案：解：距离为43.9米34．（2022年广西梧州地区一模）图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图.已知，斜屋面的倾斜角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求：⑴真空管上端B到AD的距离（结果精确到0.01米）；⑵铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）.(参考数据:sin40°≈0.6428,cos54°≈0.7660,tan25°≈0.4663)解：⑴过B作BF⊥AD于F.在Rt△ABF中，………………1分∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2.1sin40°≈1.35∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米.………………3分⑵在Rt△ABF中，∵AF2=AB2-BF2=4.41-1.8225=2.5875∴AF≈1.609∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形.∴BF＝CD，BC＝FD.在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴ED＝ADtan∠EAD＝1.809tan25°≈0.844.………………7分∴CE＝CD－ED＝1.35－0.844＝0.506≈0.51∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米.………………8分26
