知识点37解直角三角形及其应用一、选择题1.（2022四川绵阳，10，3分）一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：，）A.4.64海里B.5.49海里C.6.12海里D.6.21海里【答案】B.【解析】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49.故选B.29\n【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用2.（2022·重庆B卷，9，4）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【答案】A．【解析】过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝20米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝102，解得x＝8，从而CN＝8米，DN＝6米．∵DE＝40米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝66米，AM＝(AB＋8)米．在Rt△AME中，tanE＝，即，从而0.45＝，解得AB＝21.7，故选A．【知识点】解直角三角形坡度1.（2022·重庆A卷，10，4）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底面E处测得旗杆顶端的仰角∠AED＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE＝7米，升旗台坡面CD的坡度i＝1﹕0.75，坡长CD＝2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC＝1米，则旗杆AB的高度为（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）（）A．12.6米B．13.1米C．14.7米D．16.3米29\n【答案】B．【解析】过点C作CN⊥DE于点N，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝1米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝22，解得x＝1.6，从而DN＝1.2米．∵DE＝7米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝9.2米，AM＝(AF＋1.6)米．在Rt△AME中，tan∠AEM＝，即，从而1.6＝，解得AB＝13.12≈13.1（米），故选B．【知识点】解直角三角形坡度二、填空题1.（2022山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达.（结果保留根号）【答案】【思路分析】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M.设PQ=MN=x，解Rt△APQ和Rt△BPQ29\n求得x的值，再解Rt△BMN求出BM的长度，利用路程÷速度=时间解答即可.【解题过程】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M.AB=60×1.5=90海里设PQ=MN=x，由点P在点A的东北方向可知，∠PAQ=45°，∴AQ=PQ=x，BQ=x－90在Rt△PBQ中，∠PBQ=90°－30°=60°解得：.在Rt△BMN中，∠MBN=90°－60°=30°∴BM=2MN=2x=∴航行时间为:小时.【知识点】解直角三角形的应用2.（2022山东省济宁市，14，3）如图，在一笔直的海岸线L上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上.从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线L的距离是_______km.29\n【答案】【解析】首先由题意可得：△ACB是等腰三角形，可求得BC的长为2km，然后由点C作CD⊥AB于点D，构造直角三角形CBD，应用边角之间的三角函数关系确定CD=BC•sin60°，求得结果．过点C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=2km，在Rt△CBD中，CD=BC•sin60°=2×=（km），因此，答案为：．【知识点】方位角、等腰三角形、解直角三角形3.（2022宁波市，16题，10分）如图某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米(结果保留根号)．（第16题图）【答案】12022-1200【解析】解：∵CD∥HB∴∠CAH=45°；∠HBC=30°在Rt△CHA中，∴AH=CH=120029\n在Rt△CHB中，∴HB=3CH=12022∴AB=HB-AH=12022-1200【知识点】解直角三角形1.（2022湖北荆州，T14，F3值）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进米后到达处，在处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么的值约为_________米（，结果精确到0．1）．【答案】33(【解析】如图所示，由题意可知，CD=40-7=33，在RtDBCD中，∵∠CBD=450，∴CD=BD=33,∴AD=AB+BD=a+33,在RtDACD中tan∠CAD·AD=CD,即，解得，a=33(【知识点】锐角三角函数、特殊的直角三角形.三、解答题1.（2022湖北鄂州，21，8分）如图，我国一艘海监执法船进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向距离为40海里的B处有一艘刻意船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C处成功拦截可疑船只．（1）求∠ABC的度数；29\n（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程（AC的长）？（结果精确到0．1海里，，）【思路分析】（1）过点B作BD⊥AD于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠ABC的度数；（2）过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，构造直角三角形，先求出AD和AE的长，设BE＝x，则AC＝，再证明△BEC∽△CFA，得到，求出CE的长，从而得出AC的长度．【解析】解：（1）如下图（1），过点B作BD⊥AD于D，则∠ADB＝90°，由题意得∠DAB＝30°，∴∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝90°＋30°＝120°；（2）如下图（1），过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，则在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，AB＝40，∴AD＝AB·cos30°＝40×＝20，∵∠ADB＝∠DAF＝∠CFA＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∴CF＝AD＝20，DC∥AF，∴∠BCE＝∠CAF，∵∠DAB＝30°，∠DAF＝75°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB＝75°－30°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB·cos45°＝40×＝20，设BE＝x，则AC＝，∴AF＝，∵∠BCE＝∠CAF，∠BEC＝∠CFA＝90°，∴△BEC∽△CFA，∴，即，，，，解得，29\n∴，，∴AC＝＝≈133．42或35．86，∵AC＞AB＝40，∴AC≈133．42海里，即我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程约为133．42海里．【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定和性质2.（2022湖北黄冈，21题，7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度.第21题图【思路分析】（1）在Rt△ABC中，已知∠ACB和AB，利用三角函数可求得AC；（2）设CD=x，在Rt△BDF和△DCE中，利用三角函数表示出BF、DF和DE、CE，【解析】（1）在Rt△ABC中，AB=60米，∠ACB=60°，所以米，答：求坡底C点到大楼距离AC长米；（2）过点D作DF⊥AB于点F，则四边形FAED为矩形，所以AF=DE，DF=AE，设CD=x米，在Rt△EDC中，因为∠DCE=30°，则，在Rt△BDF中，∠BDF=45°，所以29\n，因为DF=AE=AC+CE，所以，解得，答：斜坡CD长【知识点】三角函数的应用3.（2022湖南郴州，21，8）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B、C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：，）【思路分析】过点A作AD⊥BC于点D，构造Rt△ACD和Rt△ABD，然后利用特殊角的锐角三角函数列方程，解方程可得无人机飞行高度．【解析】解：由题意，易得：AE∥CD，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=，在Rt△ACD中，，CD=；在Rt△ABD中，，BD=；∵CD-BD=BC，BC=30米，∴，（米）.答：无人机飞行高度AD约为25.98米.【知识点】解直角三角形的应用4.（2022内蒙古呼和浩特，21，8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1:3(沿29\n斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比)，已知在地面B处得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测定山顶A的仰角为45°，求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可）【思路分析】过点D作DF⊥BC于点F,构建直角三角形，利用斜坡的坡度i=1:3，先求出∠BD，利用sin∠DBF，cos∠DBF中比值关系。求出DF,BF的值；设AE=DE=CF=x，，则BBC=BF+CF=180+x，AC=AE+CE=AE+DF=x+60，再根据在Rt△ABC中，AC=BCtan33゜,，列出方程求出x的值，即可求出AC的高度．【解析】解：过点D作DF⊥BC于点F，∴BF:DF=3：1，设DF=k，则BF=3k，由勾股定理可得BD=，∴sin∠DBF=，cos∠DBF=，∴DF=BDsin∠DBF=60，BF=BDcos∠DBF=180，∵∠ADE=45゜,∴AE=DE=CF，设AE=DE=CF=x，∴BC=BF+CF=180+x，AC=AE+CE=AE+DF=x+60，29\n在Rt△ABC中，AC=BCtan33゜,∴x+60=tan33゜（180+x）∴，∴AC=AE+CE=..【知识点】解直角三角形的应用5.(2022山东菏泽，18，6分)2022年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园处的俯角为30°，处的俯角为45°，如果此时直升机镜头处的高度为200米，点、、在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【思路分析】在Rt△ACD中，求出BD的长，在Rt△ACD中，用tanA求出AD的长，相减即可得解．【解析】解：由题意得∠A=30°，∠CBD=45°，∠CDB=90°．在Rt△CBD中，∠CBD=45°，CD=200米，∴BD=200米．在Rt△ACD中，∠A=30°，∵tanA=tan30°==，∴AD=CD=200(米)．∴AB=AD－BD=200－200(米)．29\n答：A、B两点间的距离为(200－200)米．【知识点】解直角三角形的应用——仰角俯角问题6.（2022四川遂宁，24，10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在底面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为i=1：的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）【思路分析】首先过点D作DF⊥AC，根据坡度以及锐角三角函数的定义可得出DF的长，进而得出CE的长，然后根据∠BAC=45°，BC⊥AC可得出AD=BD，最后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义可得sin∠BDE=，进而求出BE的长，进而得出山高BC的长.【解析】解：如图所示，过点D作DF⊥AC，垂足为F，∵坡面AD的坡度i=1：，且AD=200米，29\n∴tan∠DAF=,∴∠DAF=30°，∴DF=AD=×200=100，∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，∴四边形DECF是矩形，∴EC=BF=100（米）又∵∠BAC=45°，BC⊥AC，∴∠ABC=45°，∵∠BDE=60°，DE⊥BC，∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°，∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°，∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD=200米，在Rt△BDE中，sin∠BDE=,∴BE=BDsin∠BDE=200×sin60°=200×=100∴BC=BE+EC=100+100∴山高为（100+100）米.【知识点】锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质7.（2022甘肃天水，T20，F10）超速行驶是引发交通事故的主要原因.小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米29\n的点C处，如图所示，直线l表示成纪大道.这时一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处均速行驶，用时5秒.经测量，点A在点C的北偏西60°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上.（1）求A，B之间的路程（精确到0.1米）.（2）请判断此车是否超过了成纪大道60千米/小时的限制速度？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732）.【思路分析】对于（1），根据特殊角的三角函数值求出AD，BD，进而根据AB=AD-BD得出答案；对于（2），求出该汽车的速度，再与60千米/小时比较得出答案.【解析】（1）如图，根据题意可知CD=100米，∠ACD=60°，∠BCD=45°…………1分在Rt△ACD中，tan60°=ADCD，即AD=1003≈173.2（米）……………………………….3分在Rt△BCD中，tan45°=BDCD，即BD=100（米）……………………………………………5分所以AB=AD-BD=173.2-100=73.2（米）……………………………………………………..6分（2）AB之间的路程为73.2米，所用时间为5秒，可知其行驶速度为73.2÷5=14.64（米/秒）=14.64×3.6=52.704（千米/小时）………………………………………………….8分因为52.704＜60，………………………………………………………………………………9分所以没有超速………………………………………………………………………………….10分【知识点】解直角三角形的应用29\n8.（2022贵州遵义，21题，8分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64°，吊臂底部A距地面1.5m（计算结果精确到0.1m。参考数据sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）（1）当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为______m（2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）第21题图【思路分析】（1）在Rt△ABC中，已知∠BAC和AC，可通过三角函数可求得AB长度；（2）在Rt△ABC中，已知∠DAE和AD，可通过三角函数可求得DE长度，加上车的高度可得。【解析】（1）Rt△ABC中，cos∠BAC=，∠BAC=64°，AC=5m，所以AB==11.4m；（2）过点D作DE⊥AC延长线于点E，Rt△ADE中，sin∠DAE=，∠DAE=64°，AD=20m，所以，所以从地面上吊起货物的最大高度为18+1.5=19.5m第21题解图【知识点】三角函数的应用9.（2022湖南省湘潭市，19，6分）随看航母编队的成立，我国海军日益强大，2022年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏29\n东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少每里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．【思路分析】先根据Rt△ACP中∠APC的余弦关系求出PC的长，然后再根据Rt△BCP中∠BPC的余弦关系求出BP的长.【解析】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，∴cos∠APC=，∵AP=400海里，∴PC=400×=200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°，∴PB==2PC=400≈565.6（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6每里．【知识点】解直角三角形10.（2022江苏淮安，23，8）为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上，如图所示，求凉亭P到公路l的距离。（结果保留整数，参考数据：)29\n【思路分析】本题考查解直角三角形的应用，利用线段的和差得出关于CD的方程是解题关键．先过点作，垂足为，利用矩形的性质得到CD=BE=AB-AE，然后利用解直角三角形分别求出AB与AE即可得结果．【解析】过P作PC⊥AB于C，在Rt△ACP中，,即同理可得，BC=PC,答：凉亭P到公路l的距离约为273米.【知识点】解直角三角形的应用-方位角问题11.（2022江西，19，8分）图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道AB＝120cm，两扇活页门的宽OC＝OB＝60cm，点B固定，当点C在AB上左右运动时，OC与OB的长度不变(所有结果保留小数点后一位)．29\n(1)若∠OBC＝50°，求AC的长；(2)当点C从点A向右运动60cm时，求点O在此过程中运动的路径长．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，π取3.14.【思路分析】(1)过O作OD⊥AB，在Rt△OBD中运用三角函数解答；(2)找到点O的运动轨迹为弧CO，故转化为求弧长，再利用等边三角形特殊角来求．【解析】(1)如解图①，过O作OD⊥BC，垂足为D，∵OC＝OB，∴BC＝2BD，在Rt△OBD中，OB＝60cm，∠OBC＝50°，∴BD＝OBcos50°≈60×0.64＝38.4cm，∴BC＝2BD＝76.8cm，∴AC＝AB－BC＝120－76.8＝43.2cm；第19题解图②(2)∵B为固定点，OB＝60cm为定长，∴O点在以B为圆心，BO长为半径的圆上，如解图②，点C从点A运动60cm后，恰好在AB中点位置，这个过程中O点的运动轨迹即为，所以此时只需求的长，29\n此时有：OC＝OB＝60cm，BC＝AB＝60cm，∴△OBC为等边三角形，∴∠OBC＝60°，∴l＝×2π×60＝20π≈20×3.14＝62.8cm【知识点】等边三角形性质、直角三角形的性质和锐角三角函数12.（2022山东德州，21，10分）如图,两座建筑物的水平距离为ｍ.从点测得点的仰角为53°,从点测得点的俯角为37°,求两座建筑物的高度(参考数据:)．【思路分析】在中，用可求ＡＢ的长，.过点作交于点，得ｍ，再用得的长，根据可得的长．【解析】解：过点作交于点，则.∵.在中，.∴,即.解得：.又∵.在中，.29\n∴,即.解得：.∵.∴－.∵.∴.答：建筑物的高度为.建筑物的高度为.【知识点】锐角三角函数的应用13.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，20，10）如图，在教学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD＝9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）．【思路分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，将问题转化解直角三角形问题；（2）在Rt△BCE中，由tan∠BCE＝，得BE＝CE•tan45°＝9×1＝9（m）；在Rt△ACE中，由tan∠ACE＝，得AE＝CE•tan30°＝9×＝3（m）；（3）利用线段和的定义即可求出AB的长．【解析】解：如下图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠ACE＝30°，∠BCE＝45°，CE＝BD＝9m．29\n在Rt△BCE中，由tan∠BCE＝，得BE＝CE•tan45°＝9×1＝9（m）；在Rt△ACE中，由tan∠ACE＝，得AE＝CE•tan30°＝9×＝3（m）．∴AB＝AE＋EB＝(9＋3)（m）．答：旗杆的高度为(9＋3)m．【知识点】解直角三角形；仰角、俯角14.（2022贵州安顺，T21，F10）如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的髙BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB=45°，在距A点10米处有一建筑物HQ.为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数）.(参考数据：=1.414,=1.732)【思路分析】根据题意，得AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，由于∠CAB=45°，可得AB=BC=10米.在Rt△DBC中利用锐角三角函数求出DB，进而可以求出DH的长，即可得出结论.【解题过程】解：由题意得，AH=10米，BC=10米，在Rt△ABC中，∠CAB=45°，29\n∴AB=BC=10米.在Rt△DBC中，∠CDB=30°，∴DB=米.∴DH=AH-AD=AH-(DB-AB)=10-+10=20-≈2.7（米）.∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除.【知识点】解直角三角形的应用—坡度，锐角三角函数的定义.15.（2022湖北荆门，21，10分）数学实践活动小组借助载有测角仪的无人机测量象山岚光阁与文明湖湖心亭之间的距离.如图，无人机所在位置与岚光阁阁顶、湖心亭在同一铅垂面内，与的垂直距离为米，与的垂直距离为米，在处测得、两点的俯角分别为、，且，，试求岚光阁与湖心亭之间的距离.（计算结果若含有根号，请保留根号）【思路分析】首先过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E，根据题意可得∠PBD=β，∠PAE=α，AC=150，PD=300，然后利用锐角三角函数的定义得出BD和EA的长，最后根据勾股定理得出AB的长即可.【解题过程】解：过点P作PD⊥QB于点D，过点A作AE⊥PD于点E，由题意可得：∠PBD=β，∠PAE=α，AC=150，PD=300，在Rt△PBD中，BD====300().29\n∵∠AED=∠EDC=∠ACD=90°，∴四边形EDCA是矩形，∴DC=EA，ED=AC=150，∴PE=PD-ED=300-150=150，在Rt△PEA中，EA=，∴BC=BD-CD=BD-EA=300()-300=300，在Rt△ACB中,AB=(米).答：岚光阁与湖心亭之间的距离AB为450米.【知识点】锐角三角函数定义，勾股定理，矩形的性质16.（2022河南，20，9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示，底座上A,B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠之间的水平距离CH的长.（结果精确到1cm.参考数据：≈0.991,≈0.132，≈7.500,≈0.983,≈0.168,≈5.850）29\n【思路分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是构造出联系已知与未知的直角三角形．“化斜为直”是此类问题的常用方法，本题在解答时通过已经做好的辅助线，即可得到两个有已知边和已知角的直角三角形，再结合这两个直角三角形中的边与角的关系（三角函数）即可得到相应的等式或方程，进而可解．利用解直角三角形解决实际问题的步骤是：（1）认真分析题意，找到直角三角形Rt△CAE和Rt△DBF，转化为解直角三角形问题，对于非基本的题型可通过解方程（组）来转化为基本类型，对于较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．（3）按照题目中已知数的精确度进行近似计算，检验得到符合实际要求的解，并按题目要求的精确度确定答案，并标注单位．【解题过程】在Rt△CAE中,…………………3分在Rt△DBF中,………………6分∴EF=AE+AB+BF≈20.7+90+40=150.7≈151．∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151．……………………………8分即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm．………………………9分【知识点】三角函数．解直角三角形的应用17.（2022湖北省襄阳市，18，6分）29\n为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).【思路分析】本题考查了特殊三角函数的应用，题目本身易于理解，难度不大，属于简单题.过点P作PC⊥AB于点C，则P到赛道AB的距离即为PC，在Rt△PAC和Rt△PBC中，利用特殊角三角函数用PC表示出AC和BC的长，再利用AC+BC=AB=400米列出关于PC的方程，解方程即可求出答案.【解题过程】解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意知∠PAC=60°，∠PBC=30°.在Rt△PAC中，,∴.在Rt△PBC中，,∴.∵AB=AC+BC==10×40=400，∴PC=100.29\n答：建筑物P到赛道AB的距离为100米.【知识点】特殊角的三角函数、方位角、解直角三角形的应用18.（2022湖南张家界，22，8分）2022年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A点出发（AB=1000米），沿俯角为的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离.【思路分析】首先过点D作DE⊥AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，解直角△ADE，得出DE、AE的长，求出EB，再解直角△DFC，得出FC的长，进而求出BC即可．【解题过程】解：过点D作于E，于点F.由题意知，.在中.（m），，（m）.（m）.29\nm，，（m）.（m）.答：求该选手飞行的水平距离为m.【知识点】解直角三角形的应用—仰角与俯角问题.19.（2022浙江省台州市，19，8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，是可以伸缩的起重臂，其转动点离地面的高度为.当起重臂长度为，张角为时，求操作平台离地面的高度（结果保留小数点后一位；参考数据：，，）.29\n【思路分析】过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AE⊥CF，垂足为E，解直角三角形求出CE的长度，再求CE与EF的和即点C离地面的高度.【解题过程】如图所示，过点C作CF⊥BD，垂足为F，过点A作AE⊥CF，垂足为E，∵AE⊥CF，∴∠AEC=90°，在RTΔAEC中，，可得，∵∠AHF=∠EFH=∠AEF=90°,∴四边形AHFE是矩形，∴EF=AH=3.4，∴CF=CE+EF=3.4+4.23=7.63≈7.6(米)，∴操作平台C离地面的高度为7.6米.【知识点】解直角三角形的运用；矩形的判定20.（2022江苏省宿迁市，25，10）如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达点B处，测试测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°．设PQ⊥AB，且垂足为C．（1）求∠BPQ的度数；（2）求树PQ的高度（结果精确到0.1m，≈1.73）．【思路分析】（1）利用△PBC和△BCQ均为直角三角形，且已知∠PBC和∠QBC的度数可求出∠BPQ的度数；（2）利用AC＝PC，解Rt△PBC和Rt△BCQ可得QC的长度，进而求出PQ的高度．【解题过程】（1）∵△PBC为直角三角形，且∠PBC＝60°，∴∠BPQ＝90°－60°＝30°．4分29\n（2）由（1）可知∠PBQ＝∠BQC－∠BPQ＝60°－30°＝30°．∴BQ＝PQ．设CQ的长度为x，则PQ＝BQ＝2x，BC＝CQ＝x．∵∠A＝45°，∴AC＝PC．∵AB＝10m，∴BP＝2x＋x＝3x＝10＋x．∴x＝．4分∴PQ＝2×≈15.8（m）．2分【知识点】解直角三角形29
