解直角三角形的应用一、选择题1、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cmB．6cos15°cmC．6tan15°cmD．cm答案：C二、解答题1、（2022温州市一模）如图，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，BE⊥AD于点E，AB=50米，BC=30米,∠A=60°，∠D=30°．求AD的长度．解：画CF⊥AD于点F．∵BE⊥ADF∴∴∵BC∥AD，CF⊥AD∴CF=BE,，EF=BC=30∴米\n2、(2022·吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）答案：解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴．……………2分设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．……………4分（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x－14．在Rt△ABC中，，即．………6分解得，即．…………7分答：古塔BC的高度约为19米．…………8分\n3、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：，）PABEF30º45º答案：解：作PD⊥AB于点D………………1分\n4、（2022·温州市中考模拟）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．答案：解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE，∴CE=AD=12.PC=PA·cos∠APC=30…………………………………2分在Rt△PCB中，………………………1分…………………………………2分答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里。……1分6、(2022年河北省一摸)|如图11是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．\n（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（≈1.4，≈1.7）答案：（1）在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=，……………………………2分∴在Rt△ACD中，AC==2AD=8，即新传送带AC的长度约为8米．……………………………………………4分（2）结论：货物MNQP不需挪走．……………………………………………5分解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=∴CB=CD—BD=∵PC=PB—CB=5—()=9—≈2.2>2∴货物MNQP不需挪走．………………………………………………8分7、(2022年河北三摸)如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm.。（1）风车在转动过程中，点为A到桌面的最远距离为_____cm，最近距离为_____cm；（2）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．（3）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π)．解：（1）35，15；………….2分（2）点A运动到点A1的位置时∠AOE＝45°.\n作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴ A1F＝GE.在Rt△A1OG中，∵∠A1OG＝45°，OA1＝10，∴OG＝OA1·cos45°＝10×＝5.∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－5.∴A1F＝GE＝25－5.答：点A到桌面的距离是(25－5)厘米………………5分（3）点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米.作A2H⊥MN于H，则A2H＝20.作A2D⊥OE于点D，∴DE＝A2H.∵OE＝25，∴OD＝OE－DE＝25－20＝5.在Rt△A2OD中，∵OA2＝10，∴cos∠A2OD＝＝＝.∴∠A2OD＝60°.由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°.∴点A所经过的路径长为＝.答：点A所经过的路径长为厘米．.………………………………………………10分8、（2022年温州一摸）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．答案：\n解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE，∴CE=AD=12.Rt△ACE中，∵∠EAC=60°，CE=12，∴AE=.Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，BE=AE.∴BC=CE+BE=16m.解直角三角形的应用一、选择题1.（2022年江苏沭阳银河学校质检题）在直角三角形中不能求解的是（▲）A、已知一直角边和一锐角B、已知斜边和一锐角C、已知两边D、已知两角答案：D.2.（2022年江苏沭阳银河学校质检题）在直角三角形中不能求解的是（▲）A、已知一直角边和一锐角B、已知斜边和一锐角C、已知两边D、已知两角答案：D.3.（2022年江苏沭阳银河学校质检题）如图所示，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为450和300，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB为（▲）A、100mB、mC、mD、m答案：D.4、（2022年浙江省杭州市一模）如图，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连接DE、EF．下列结论：①tan∠ADB=2；②图中有4对全等三角形；③若将△DEF沿EF折叠，则点D不一定落在AC上；④BD=BF；⑤，上述结论中正确的个数是（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个第1题答案：B\n、二、填空题1．（2022年江苏沭阳银河学校质检题）在Rt△ABC中，∠C=900，若cosB=，则=▲，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积▲。答案：.2、（海南省2022年中考数学科模拟）如图，铁路的路基的横断面为等腰梯形，其腰的坡度为1：1.5，上底宽为6m,路基高为4m,则路基的下底宽为。答案：18m三、解答题1、（2022年福建福州质量检查）(每小题7分，共14分)(1)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE和延长线与DC的延长线相交于点F．证明：△ABE≌△FCE．ABCDEF第17(1)题图ABCDαβ第17(2)题图(2)如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为45°，看这栋高楼底部的俯角β为60°，热气球与高楼的水平距离AD＝80m，这栋高楼有多高(≈1.732，结果保留小数点后一位)？答案：(1)证明：∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，2分∴∠F＝∠FAB．4分∵E是BC的中点，∴BE＝CE，5分\n又∵∠AEB＝∠FEC，6分∴△ABE≌△FCE．7分(2)解：如图，α＝45°，β＝60°，AD＝80．ABCDαβ在Rt△ADB中，∵tanα＝，∴BD＝AD·tanα＝80×tan45°＝80．………2分在Rt△ADC中，∵tanβ＝，∴CD＝AD·tanβ＝80×tan60°＝80．……5分∴BC＝BD＋CD＝80＋80≈218.6．答：这栋楼高约为218.6m．………………7分第1题图2（2022年浙江丽水一模）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）答案：第1题图解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝∴，3x＝(x＋100)解得x＝50＋50＝136.6\n∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)答：该建筑物的高度约为138m．3、（2022年浙江金华四模）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：错误！未找到引用源。≈1.732）答案：解：∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∴sin30°=，∴CM=15cm.∵sin60°=错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，解得BF=20错误！未找到引用源。，∴CE=2+15+20错误！未找到引用源。≈51.6cm．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是51.6cm．4、（2022年浙江金华五模）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）ABCD30°45°（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。(参考数据：)\n答案（1）在中，（1分）中（2分）改善后的滑滑板会加长2.07m．（4分）（2）这样改造能行．因为，而（6分）5、（2022山东省德州二模）如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．(1)用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；(2)当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？答案：(1)过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形.…………………1分∴EF=AC=30，AF=CE=h,∠BEF=α，∴BF=3×10-h=30-h.……………………2分又在Rt△BEF中，tan∠BEF=，……………………………………………3分∴tanα=，即30-h=30tanα.∴h=30-30tanα.……………………5分(2)当α＝30°时，h=30-30tan30°=30-30×≈12.7，……………………6分∵12.7÷3≈4.2，∴B点的影子落在乙楼的第五层.……………………7分当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形，\n∴∠ACB＝45°，…………………………………………………………………9分∴=1(小时).故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光．………………………10分6（2022山东省德州一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即．同理有，．所以即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.A.如图，△ABC中，∠B=450,∠C=750，BC=60，则∠A=；AC=；第27题图2第27题图1第27题图3(2)如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.答案：解：（1）∠A=600，AC=……………4’(2)如图，依题意：BC=60×0.5=30（海里）∵CD∥BE∴∠DCB+∠CBE=1800∵∠DCB=300∴∠CBE=1500∵∠ABE=750∴∠ABC=750∴∠A=450……………………………………………………………7’在△ABC中，……………9’解之得：AB=15………………………………………………10’\n答：货轮距灯塔的距离AB=15海里…………………………11’7（2022上海市奉贤区调研试题）在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10m，迎水坡面的坡度，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度．（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽，求坝底将会沿方向加宽多少米？答案：解：（1）过点作于．（1分）在中，∵，且．∴．（2分）∴．（2分）（2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于．在中，∵，且，∴，．（2分）∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．∴．（1分）\nABCMDGFEN．即．（1分）．8、（2022江苏无锡前洲中学模拟）如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝74°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝1km．（1）判断AB、AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：≈1.73，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）ADBADEBADFEBADQFEBADPQFEBAD第23题答案：（1）相等，证明：∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BF．又∵∠AFP＝60°，∴∠BFA＝60°．在△AEF与△ABF中，EF＝BF，∠AFE＝∠AFB，AF＝AF，∴△AEF≌△ABF，∴AB＝AE．…………………………………………4分（2）作AH⊥PQ，垂足为H，设AE＝x，则AH＝xsin74°，HE＝xcos74°，HF＝xcos74°＋1．Rt△AHF中，AH＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x＝(0.28x＋1)×1.73，∴x≈3.6，即AB≈3.6km．答：略．…………………………………………8分9（2022江苏扬州中学一模）2022年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡的坡角∠AEF=23°,量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4米。（1）求∠DAC的度数；第26题C60°38°BDE23°AF（2）求这棵大树原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：，，）答案：（1）75°………5分（2）（）米………10分\n10、(2022年，辽宁省营口市)（10分）2022年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°,AD=4m。C60°38°BDE23°AF（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前AB的高？（结果精确到个位，参考数据：，，）．答案：解：（1）延长交于点．在中，，∴．又∵∴．C60°38°BDE23°AFHG在中，，，∴，，∴（2）过点作，垂足为，，在中，，∴，∴（米）答：这棵大树折断前高约10米11.（2022年，广东一模）某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB＝6m，∠ABC＝45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC＝30°(如图1－4所示)．(1)求调整后楼梯AD的长；(2)求BD的长(结果保留根号)．图1－4解：(1)已知AB＝6m，∠ABC＝45°，\n∴AC＝BC＝AB·sin45°＝6×＝3，∵∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝6.答：调整后楼梯AD的长为6m.(2)CD＝AD·cos30°＝6×＝3，∴BD＝CD－BC＝3－3.答：BD的长为(3－3)m.12.（2022年，广东二模）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估．如图2－6，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？图2－6解：如图D61，过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里，在Rt△APC中，∵tan∠A＝，∴AC＝＝.图D61在Rt△PCB中，∵tan∠B＝，∴BC＝＝.∵AC＋BC＝AB＝21×5，∴＋＝21×5，解得x＝60.∵sin∠B＝，\n∴PB＝＝＝60×＝100(海里)．∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里．13、(2022年春期福集镇青龙中学中考模拟)（本小题满分6分）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．（第1题）解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE．………………1分∴CE=AD=12．………………………………………………………2分Rt△ACE中，∵，，∴．…4分Rt△ABE中，∵，∴．……………6分∴BC=CE+BE=16m．…………………………………………………7分答：旗杆的高度为16m．………………………………………………8分（另解）过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE．…………1分∴CE=AD=12．……………………………………………………………2分设，Rt△ABE中，∵，∴．…………4分同理．∴，解得．………………………………6分∴BC=CE+BE=16m．………………………………………………………7分答：旗杆的高度为16m．………………………………………………………8分BMA北东第1题图14．（2022年江苏南通三模）如图，我边防哨所A测得一走私船在A的西北方向B处由南向北正以每小时10海里的速度逃跑，我缉私艇迅速朝A的西偏北600的方向出水拦截，2小时后终于在B地正北方向M处拦截住，试求缉私船的速度．（参考数据：）答案：27.3海里/时.\n15.（2022年江苏海安县质量与反馈）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过DC，沿折线A→D→C→B到达，现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC=10km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行．CDABFEG第2题图（1）求两桥之间的距离CG（CGAB）；（2）从A地到达B地可比原来少走多少路程？（精确到0．1km）．（参考数据：sin37°≈0．60，cos37°≈0．80答案：（1）CG=6km;（2）作DH⊥AB,得到DH=HA=6,AD=,所以少走的路程是（AD+CD+BC）-（BG+GH+AH）=+10-14≈4.5km.16.（2022年江苏沭阳银河学校质检题）如图，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡第3题图度i=1：0.5，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为300，D、E之间是宽为2米的人行道，请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由。（在地面上，以B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域）答案：AB=+2＜12，不需要将人行道封上.第1题图17、(2022四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．\n\n\n答案：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE．…………1分∴CE=AD=12．…………………………………………………2分Rt△ACE中，∵，，∴．…4分Rt△ABE中，∵，∴．……………6分∴BC=CE+BE=16m．…………………………………………………7分答：旗杆的高度为16m．………………………………………………8分（另解）过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE．…………1分∴CE=AD=12．……………………………………………………………2分设，Rt△ABE中，∵，∴．…………4分同理．∴，解得．………………………………6分∴BC=CE+BE=16m．………………………………………………………7分答：旗杆的高度为16m．………………………………………………………8分第1题图18、(2022四川省泸县福集镇青龙中学一模)如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为，测得旗杆底部C的俯角为，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．\n\n\n答案：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE．…………1分∴CE=AD=12．…………………………………………………2分Rt△ACE中，∵，，∴．…4分Rt△ABE中，∵，∴．……………6分∴BC=CE+BE=16m．…………………………………………………7分答：旗杆的高度为16m．………………………………………………8分（另解）过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE．…………1分∴CE=AD=12．……………………………………………………………2分设，Rt△ABE中，∵，∴．…………4分同理．∴，解得．………………………………6分∴BC=CE+BE=16m．………………………………………………………7分答：旗杆的高度为16m．………………………………………………………8分19、（2022年4月韶山市初三质量检测）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬，现在有长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64)【解】当α=70°时，梯子顶端达到的最大高度，∵sinα=，∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.\n北20、（2022年北京中考数学模拟试卷）一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．(1)请根据以上描述，画出图形．(2)已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？答案：(1)如图(2)答：这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险。解：作CD⊥直线AB于点D，北ABDC由已知可得∠CAD=30°,∠CBD=45°，AB=100米。设CD=米。在Rt△ACD中tan∠CAD=∴AD=在Rt△CBD中∵∠CBD=45°,∴BD=CD=x，∵AD-BD=AB，∴。解得∴这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险。21、(2022年北京市延庆县一诊考试)如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．\n解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE，∴CE=AD=12.Rt△ACE中，∵∠EAC=60°，CE=12，∴AE=.Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，BE=AE.∴BC=CE+BE=16m.答：旗杆的高度为16m.22、（2022双柏县学业水平模拟考试）小明用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度．他将30°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得DB的距离为10米．试求旗杆AB的高度（精确到0.l米）答案：解：在Rt△AECtan∠ACE=，∴AE=tan30°×10≈5.77∴AB=AE+EB=5.77+1.5=7.27≈7.3(米)23、[淮南市洞山中学第四次质量检测，18,10分]（本题10分）如图，在中，是边上的高，求的长．(结果保留根号)解：AD是BC边上的高在Rt△ADC中，，\n∴在Rt△ADB中，24、[淮南市洞山中学第四次质量检测，19,10分]（本题10分）如图，折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE=5cm，且tan∠EFC=.（1）△AFB与△FEC有什么关系？试证明你的结论。（2）求矩形ABCD的周长。ACBDEF解：（1）△AFB∽△FEC.证明：由题意得：∠AFE=∠D=90°又∠B=∠C=90°∴∠BAF+∠AFB=90°,∠EFC+∠AFB=90°∴∠BAF=∠EFC∴AFB∽△FEC（2）设EC=3x,FC=4x，则有DE=EF=5x，∴AB=CD=3x+5x=8x由△AFB∽△FEC得：即：=∴BF=6x∴BC=BF－CF=6x+4x=10x∴在Rt△ADE中，AD=BC=10x，AE=，则有解得（舍去）∴AB+BC+CD+DA=36x=36(cm)答：矩形ABCD的周长为36cm.ABCDE45°60°25、（2022深圳市龙城中学质量检测）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i＝1:，AB＝10米，AE＝15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）(7分)\n答案：26、[河南开封2022年中招第一次模拟]（8分）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景，如图，游轮出发点A与望海楼B的距离为300m，在A处测得望海楼B位于A的北偏东30°方向，游轮沿正北方向行驶一段时间后到达C，在C处测得望海楼B位于C的北偏东60°方向，求此时游轮与望海楼之间的距离BC（取1.73，结果保留整数）。答案：\n27、ABDCE第1题图╮60°1.5（海南省2022年中考数学科模拟）(本题满分8分)如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，试求该塔的高度。（≈1.41，≈1.73）答案：(本题满分8分)y=1解：由题意可知CD=10米，BD=1.5米，∠ACD=60°。在Rt△ACD中，AD=CDtan60°=10……………………………5分第21题图xyOCBAA1B1(C1,C2)A2B2∴AB=AD+DB=10+1.5≈10×1.73+1.5=18.8（米）………7分答：该塔的高度是18.8米。………8分28.（2022年广东模拟）(本小题满分6分)在△ABC中，已知AB=1，AC=，∠ABC=45°，求△ACB的面积.（改编）答案(本小题满分6分)当∠C为钝角时，S=;---------3分当∠C为锐角时，S=--------------3分29.（柳州市2022年中考数学模拟试题）（7分）如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A到点B悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D点测得条幅端点A的仰角为30ｏ，测得条幅端点B的俯角为45o；小雯在三楼C点测得条幅端点A的仰角为45o，测得条幅端点B的俯角为30ｏ．若设楼层高度CD为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB的长．（结果精确到个位，参考数据=1．732）\n答案：解：过D作DM⊥AE于M，过C作CN⊥AE于N，则：MN=CD=3米，设AM=x，则AN=x+3，由题意：∠ADM=30ｏ，∠ACN=45ｏ，在Rt△ADM中，DM=AM·cot30ｏ=x，在Rt△ANC中，CN=AN=x+3，又DM=CN=MB，∴x=x+3，解之得，x=（+1），∴AB=AM+MB=x+x+3=2×（+1）+3=3+6≈11（米）30（2022年浙江省杭州市一模）（本题满分8分）丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（结果精确到个位，）．第1题解：由∠ABC=120°可得∠EBC=60°，在Rt△BCE中，CE=51，∠EBC=60°，因此tan60°=错误！未找到引用源。，BE=错误！未找到引用源。，(3分)在矩形AECF中，由∠BAD=45°，得∠ADF=∠DAF=45°，因此DF=AF=51，（2分）∴FC=AE=34+30=64，∴CD=FC﹣FD≈64﹣51=13，（2分）因此BE的长度约为30cm，CD的长度约为13cm．（1分）1、(徐州市2022年模拟)（8分）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）\n参考数据：≈1.414，≈1.732（第25题图）解：如图所示，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF分别交BC于点E、F，------1分所以△ABE、△CDF均为Rt△，又因为CD＝14，∠DCF＝30°，所以DF＝7＝AE，-----------------------4分所以FC＝7≈12.1------------------6分所以BC＝7＋6＋12.1＝25.1m．------8分（第25题图）32.（盐城地区2022～2022学年度适应性训练）（本题满分10分）小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（结果精确到1mm）解：作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．……2分∵∠α+∠DAF=180°-∠BAD=180°-90°=90°，∠ADF+∠DAF=90°，∴∠ADF=∠α=36°．根据题意，得BE=24mm,DF=48mm．……4分在Rt△ABE中，sinα=BE/AB，∴AB=BE/sin36°=40(mm).……6分在Rt△ADF中，cos∠ADF=DF/AD，∴AD=DF/COS36°=60(mm）．8分∴矩形ABCD的周长=2(40+60)=200(mm)．……10分33.（盐城市第一初级中学2022～2022学年期中考试）（本题满分10分）如图，小明家在A处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l，AB是A到l的小路.现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30º，∠ABD=45º，BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度（精确到0.1m；参考数据：，）.解AD=34、2022年普陀区二模)（本题满分10分）\n已知：如图6，在△ABC中，CD⊥AB，sinA=，AB=13，CD=12，求AD的长和tanB的值.图6．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°…………………………………………………………………（1分）∵sinA=，CD=12，∴AC=15…………………………………………………………………………（3分）∴AD=9.…………………………………………………………………………（2分）∴BD=4.…………………………………………………………………………（2分）∴tanB=………………………………………………………………（2分）35(2022年南京建邺区一模)（本题6分）如图，某同学在大楼30m高的窗口看地面上两辆汽车B、C，测得俯角分别为60°和45°，如果汽车B、C在与该楼的垂直线上行使，求汽车C与汽车B之间的距离．（精确到0.1m，参考数据：，）（第20题图）解：依题意得，∠ACD＝45°,∠ABD＝60°Rt△ADC中，，1分∴（千米）．3分Rt△ADB中，，∴（千米）．5分∴BC=（千米）．6分\n答：．汽车C与汽车B之间的距离.约为12.7千米．36、(2022年福州模拟卷)(每小题7分，共14分)ABCDαβ第17(2)题图(1)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE和延长线与DC的延长线相交于点F．证明：△ABE≌△FCE．ABCDEF第17(1)题图(2)如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角α为45°，看这栋高楼底部的俯角β为60°，热气球与高楼的水平距离AD＝80m，这栋高楼有多高(≈1.732，结果保留小数点后一位)？(1)证明：∵AB与CD是平行四边形ABCD的对边，∴AB∥CD，2分∴∠F＝∠FAB．4分∵E是BC的中点，∴BE＝CE，5分又∵∠AEB＝∠FEC，6分∴△ABE≌△FCE．7分(2)解：如图，α＝45°，β＝60°，AD＝80．ABCDαβ在Rt△ADB中，∵tanα＝，∴BD＝AD·tanα＝80×tan45°＝80．………2分在Rt△ADC中，∵tanβ＝，∴CD＝AD·tanβ＝80×tan60°＝80．……5分∴BC＝BD＋CD＝80＋80≈218.6．答：这栋楼高约为218.6m．………………7分
