解直角三角形的应用一、选择题1、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A．6sin15°cmB．6cos15°cmC．6tan15°cmD．cm答案：C二、解答题1、（2022温州市一模）如图，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，BE⊥AD于点E，AB=50米，BC=30米,∠A=60°，∠D=30°．求AD的长度．解：画CF⊥AD于点F．∵BE⊥ADF∴∴∵BC∥AD，CF⊥AD∴CF=BE,，EF=BC=30∴米7\n2、(2022·吉林中考模拟)已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1∶2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）答案：解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴．……………2分设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．……………4分（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x－14．在Rt△ABC中，，即．………6分解得，即．…………7分答：古塔BC的高度约为19米．…………8分7\n3、(2022·曲阜市实验中学中考模拟)如图所示，A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内.请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么？（参考数据：，）PABEF30º45º答案：解：作PD⊥AB于点D………………1分7\n4、（2022·温州市中考模拟）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．答案：解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE，∴CE=AD=12.PC=PA·cos∠APC=30…………………………………2分在Rt△PCB中，………………………1分…………………………………2分答：当渔船位于P南偏东45°方向时，渔船与P的距离是30海里。……1分6、(2022年河北省一摸)|如图11是某货站传送货物的平面示意图.7\n为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（≈1.4，≈1.7）答案：（1）在Rt△ABD中，AD=ABsin45°=，……………………………2分∴在Rt△ACD中，AC==2AD=8，即新传送带AC的长度约为8米．……………………………………………4分（2）结论：货物MNQP不需挪走．……………………………………………5分解：在Rt△ABD中，BD=ABcos45°=在Rt△ACD中，CD=ACcos30°=∴CB=CD—BD=∵PC=PB—CB=5—()=9—≈2.2>2∴货物MNQP不需挪走．………………………………………………8分7、(2022年河北三摸)如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm.。（1）风车在转动过程中，点为A到桌面的最远距离为_____cm，最近距离为_____cm；（2）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离(结果保留根号)．（3）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路径长(结果保留π)．解：（1）35，15；………….2分（2）点A运动到点A1的位置时∠AOE＝45°.7\n作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，∴ A1F＝GE.在Rt△A1OG中，∵∠A1OG＝45°，OA1＝10，∴OG＝OA1·cos45°＝10×＝5.∵OE＝25，∴GE＝OE－OG＝25－5.∴A1F＝GE＝25－5.答：点A到桌面的距离是(25－5)厘米………………5分（3）点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米.作A2H⊥MN于H，则A2H＝20.作A2D⊥OE于点D，∴DE＝A2H.∵OE＝25，∴OD＝OE－DE＝25－20＝5.在Rt△A2OD中，∵OA2＝10，∴cos∠A2OD＝＝＝.∴∠A2OD＝60°.由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°.∴点A所经过的路径长为＝.答：点A所经过的路径长为厘米．.………………………………………………10分8、（2022年温州一摸）如图，小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．答案：7\n解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，得矩形ADCE，∴CE=AD=12.Rt△ACE中，∵∠EAC=60°，CE=12，∴AE=.Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，BE=AE.∴BC=CE+BE=16m.7
