函数的图象和性质本专题对函数的图象和性质进行复习与深化，这类题目考查的知识点较多，要求学生的能力也较强，试题呈现多样.解这类题一要有数形结合思想，二要有函数思想.要善于将题目中的条件转化为点的坐标、变量之间的关系.复习时，深刻理解函数是刻画动态问题的最佳数学模型，从而灵活建立函数关系式，熟悉各种题型的解题策略，不断丰富解题经验.类型1同一坐标系下多个函数图象例1(2022·杭州)给出下列命题及函数y=x,y=x2和y=的图象.①如果>a>a2，那么0<a<1；②如果a2>a>，那么a>1；③如果>a2>a，那么-1<a<0；④如果a2>>a，那么a<-1，则()A.正确的命题是①④B.错误的命题是②③④C.正确的命题是①②D.错误的命题只有③【解答】一次函数与反比例函数联立方程组解得或故一次函数与正比例函数的交点坐标为(1，1)、(-1，-1).∵y=x2过(1,1)，∴(1,1)是三个函数图象的交点.又y=x与y=x2都过原点，∴(0,0)是它们的一个交点.自变量取值a<-1-1<a<00<a<1a>1函数大小a2>>aa2>a>>a>a2a2>a>可知①、④正确；②、③错误，故选A.方法归纳：根据函数图象比较自变量的取值范围时，一般是看界点左右两边自变量所对应函数值的大小情况.有时自变量的取值范围不止一段，所以不要漏解.1.(2022·淄博)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，-2)，它与反比例函数y=-的图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的解析式为()A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+25\n2.(2022·泰安)已知函数y=-(x-m)(x-n)(其中m<n)的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是()类型2二次函数的图象与性质综合例2(2022·新疆改编)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是(1，0)，C点的坐标是(4，3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小?若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.【思路点拨】(1)用待定系数法求抛物线解析式；(2)利用二次函数图象的轴对称和两点之间线段最短确定点D位置，并求出周长的最小值.【解答】(1)把A(1，0)，C(4，3)代入y=ax2+bx+3，得解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)存在.假设抛物线对称轴上存在点D，使△BCD的周长最小.∵△BCD的周长=BD+CD+BC，而BC是定值.∴当BD+CD最小时，△BCD的周长最小.由y=x2-4x+3=(x-2)2-1知，抛物线的对称轴为直线x=2.∵点A与点B关于直线x=2对称，∴AD=BD.∴BD+CD=AD+CD.故当A、D、C三点在同一条直线上时，AD+CD最小.即D为直线AC与直线x=2的交点.∵直线AC经过点A(1，0)，C(4，3).∴直线AC的解析式为y=x-1.当x=2时，y=2-1=1.∴D的坐标为(2，1).方法归纳：二次函数图象关于对称轴对称，常常利用这一性质解决线段最短或周长最短问题.1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2.5\n(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值.2.(2022·昆明改编)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标.3.(2022·黔西南改编)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点(不与A、D重合).经过点P作y轴的垂线，重足为E，连接AE.(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如果P点的坐标为(x,y)，△PAE的面积为S，求S与x5\n之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求S的最大值.参考答案类型1同一坐标系下多个函数图象1.A2.C类型2二次函数的图象与性质综合1.(1)∵AB=2，对称轴为直线x=2，∴A(1,0)，B(3,0).∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，∴1,3是方程x2+bx+c=0的两个根.由根与系数的关系，得1+3=-b，1×3=c.∴b=-4，c=3.∴抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3.(2)连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA.由(1)知抛物线的函数表达式为y=x2-4x+3，点A、B的坐标分别为(1,0)，(3,0).∴点C的坐标为(0,3).∴BC==3，AC==.∵点A、B关于对称轴x=2对称，∴PA=PB.∴PA+PC=PB+PC.此时，PB+PC=BC.∴当P点在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC.∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=3+.2.(1)由题意知：A(4，0)，C(0，3)，BC=4.∴BC的中点坐标为(2，3).由对称性可知：抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3.将O(0，0)代入得：0=a(0-2)2+3，解得a=-.抛物线的解析式为y=-x2+3x.(2)∵直线AC经过点A(4，0)，C(0，3)，∴直线AC的解析式为y=-x+3.5\n由解得或∴抛物线与直线AC的交点的坐标为(1，)和(4，0).∴点D的坐标为(1，).3.(1)由抛物线过C(0,3)，则设y=ax2+bx+3.∵抛物线过点A(-3,0)、B(1,0)，∴解得∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标为D(-1,4).(2)过点A作AH⊥AB交EP的延长线于点H.∵A(-3,0)、D(-1,4),∴直线AD的解析式为y=2x+6.∴S=AH·EP=-xy=-x(x+3)=-(x+)2+(-3<x<-1).∴当x=-时，S的最大值为.5
