提分专练(七) 圆中的相关计算与证明(18年22题,17年24题,16年25题)|类型1| 切线的性质相关证明或计算1.[2022·东城期末]如图T7-1,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于点D,E.DF是☉O的切线,交AC于点F.(1)求证:DF⊥AC;(2)若AE=4,DF=3,求tanA.图T7-124\n2.[2022·怀柔期末]如图T7-2,已知AB是☉O的直径,点M在BA的延长线上,MD切☉O于点D,过点B作BN⊥MD交MD延长线于点C,连接AD并延长,交BN于点N.(1)求证:AB=BN;(2)若☉O的半径长为3,cosB=25,求MA的长.图T7-23.[2022·门头沟期末]如图T7-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边上一点,以BD为直径的☉O与边AC相切于点E,连接DE并延长DE交BC的延长线于点F.(1)求证:BD=BF;(2)若CF=2,tanB=43,求☉O的半径.图T7-324\n4.[2022·密云期末]如图T7-4,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,AC=BC.过点B作☉O的切线l,连接AC并延长交l于点E,连接AD并延长交l于点F.(1)求证:AC=CE.(2)若AE=82,sin∠BAF=35,求DF长.图T7-45.[2022·顺义期末]已知:如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作☉O交BC于点D,过点D作☉O的切线交AB于点E,交AC的延长线于点F.24\n(1)求证:DE⊥AB;(2)若tan∠BDE=12,CF=3,求DF的长.图T7-56.[2022·朝阳期末]如图T7-6,在△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的☉O交AB于点D,☉O的切线DE交AC于点E.(1)求证:E是AC中点;(2)若AB=10,BC=6,连接CD,OE,交点为F,求OF的长.24\n图T7-67.[2022·石景山第一学期期末]如图T7-7,AC是☉O的直径,点D是☉O上一点,☉O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交☉O于点E,连接AE.(1)求证:∠ABC=∠AED;(2)连接BF,若AD=325,AF=6,tan∠AED=43,求BF的长.图T7-724\n|类型2| 切线的证明与计算8.[2022·平谷期末]如图T7-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,点O是AB边上一点,以O为圆心作☉O且经过A,D两点,交AB于点E.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若AC=2,AB=6,求BE的长.图T7-824\n9.[2022·通州期末]如图T7-9,△ABC是等腰三角形,AB=AC,以AC为直径的半圆O与BC交于点D,DE⊥AB,垂足为E,ED的延长线与AC的延长线交于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,BE=1,求cosA的值.图T7-910.[2022·燕山期末]如图T7-10,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作☉O,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.24\n(1)求证:EF是☉O的切线;(2)如果☉O的半径为5,sin∠ADE=45,求BF的长.图T7-1011.[2022·大兴期末]已知:如图T7-11,AB是半圆O的直径,D是半圆上的一个动点(点D不与点A,B重合),∠CAD=∠B.(1)求证:AC是半圆O的切线;(2)过点O作BD的平行线,交AC于点E,交AD于点F,且EF=4,AD=6,求BD的长.24\n图T7-1112.[2022·海淀期末]如图T7-12,A,B,C三点在☉O上,直径BD平分∠ABC,过点D作DE∥AB交弦BC于点E,在BC的延长线上取一点F,使得EF=DE.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)连接AF交DE于点M,若AD=4,DE=5,求DM的长.图T7-1224\n参考答案1.解:(1)证明:连接AD,OD,如图.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵OA=OB,∴OD∥AC.∵DF是☉O的切线,OD是☉O的半径,∴DF⊥OD.∴DF⊥AC.(2)连接BE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.∴DF∥BE.∴CDDB=CFEF.24\n∵CD=DB,∴CF=EF.∴BE=2DF=6.在Rt△ABE中,tan∠BAC=BEAE=64=32.2.解:(1)证明:连接OD.∵MD切☉O于点D,∴OD⊥MD.∵BN⊥MC,∴OD∥BN,∴∠ADO=∠N.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠OAD=∠N,∴AB=BN.(2)由(1)知OD∥BN,∴∠MOD=∠B,∴cos∠MOD=cosB=25.在Rt△MOD中,cos∠MOD=ODOM,∵OD=OA,MO=MA+OA=3+MA,∴33+AM=25,24\n∴MA=4.5.3.解:(1)证明:连接OE.∵AC与☉O相切,∴OE⊥AC.∵BC⊥AC,∴OE∥BC.又∵O为DB的中点,∴E为DF的中点,OE为△DBF的中位线,∴OE=12BF,又∵OE=12BD,∴BF=BD.(2)设BC=3x,由tanB=43可得:AC=4x,AB=5x,∵CF=2,∴BF=3x+2,由(1)得:BD=BF,∴BD=3x+2,∴OE=OB=3x+22,AO=AB-OB=5x-3x+22=7x-22.24\n∵OE∥BF,∴∠AOE=∠B,∴cos∠AOE=cosB,即OEAO=3x+22·27x-2=35,解得:x=83,则☉O的半径为3x+22=102=5.4.解:(1)证明:连接BC.∵AB是☉O的直径,C在☉O上,∴∠ACB=90°,∵AC=BC,∴AC=BC,∴∠CAB=45°.∵AB是☉O的直径,EF切☉O于点B,∴∠ABE=90°,∴∠AEB=45°,∴AB=BE,∴AC=CE.(2)在Rt△ABE中,∠ABE=90°,AE=82,AB=BE.∴AB=8.24\n在Rt△ABF中,AB=8,sin∠BAF=35,易得BF=6.连接BD,则∠ADB=∠FDB=90°,∵∠BAF+∠ABD=90°,∠ABD+∠DBF=90°,∴∠DBF=∠BAF.∵sin∠BAF=35,∴sin∠DBF=35,∴DFBF=35,∴DF=185.5.解:(1)证明:连接OD.∵EF切☉O于点D,∴OD⊥EF.又∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∵AB=AC,∴∠ABC=∠OCD,∴∠ABC=∠ODC,∴AB∥OD,∴DE⊥AB.24\n(2)连接AD.∵AC为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠B+∠BDE=90°,∠B+∠1=90°,∴∠BDE=∠1.∵AB=AC,∴∠1=∠2.又∵∠BDE=∠3,∴∠2=∠3.∴△FCD∽△FDA.∴FCFD=CDDA.∵tan∠BDE=12,∴tan∠2=12,∴CDDA=12,∴FCFD=12,∵CF=3,∴FD=6.6.解:(1)证明:连接OD,24\n∵∠C=90°,BC为☉O的直径,∴EC为☉O的切线,∠A+∠B=90°.∵DE为☉O的切线,∴EC=DE,DE⊥OD.∴∠EDA+∠ODB=90°.∵OD=OB,∴∠ODB=∠B.∴∠EDA=∠A.∴EA=DE.∴EA=EC.故E是AC中点.(2)∵EC,DE是☉O的切线,∴EO平分∠CED.∴EO⊥CD,F是CD中点.∵点E,O分别是AC,BC的中点,∴OE=12AB=5.Rt△ABC中,AB=10,BC=6,24\n∴AC=8.∴ED=12AC=4.在Rt△DOE中,OD=12BC=3,OE=5,∴DF=ED×DOOE=125.Rt△OFD中,OF=OD2-DF2=95.7.解:(1)证明:连接CD.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠DAC+∠ACD=90°.∵BC是☉O的切线,∴∠ACB=90°,∴∠DAC+∠ABC=90°,∴∠ABC=∠ACD.∵∠AED=∠ACD,∴∠ABC=∠AED.(2)∵∠AED=∠ACD=∠ABC,∴tan∠ACD=tan∠AED=tan∠ABC=43,24\n∴tan∠ACD=ADCD=43,即325CD=43,∴CD=245.∴AC=8.∵AF=6,∴FC=2,∵tan∠ABC=ACBC=43,即8BC=43,∴BC=6,∴BF=210.8.解:(1)证明:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠OAD.∴∠CAD=∠ODA.∴OD∥AC.∵∠ACB=90°,∴∠ODB=90°.即OD⊥BC于D.∴BC是☉O的切线.(2)∵OD∥AC,24\n∴△BDO∽△BCA.∴ODAC=BOBA.∵AC=2,AB=6,∴设OD=r,则BO=6-r.∴r2=6-r6.解得r=32.∴AE=3.∴BE=3.9.解:(1)证明:连接OD,AD.∵AC为直径,∴∠ADC=90°,AD⊥BC.又∵AB=AC,∴点D为BC中点,又∵点O为AC中点,∴OD∥AB.又∵DE⊥AB,∠AED=90°,∴∠ODE=90°.24\n∴OD⊥DE,故DE是☉O的切线.(2)∵r=2,∴AB=AC=2r=4.∵BE=1,∴AE=AB-BE=3.∵OD∥AB,∴△FOD∽△FAE.∴FOFA=ODAE=23.设CF=x,则OF=x+2,AF=x+4,∴x+2x+4=23,解得x=2.∴AF=6.在Rt△AEF中,∠AEF=90°,∴cos∠FAE=AEAF=12.10.解:(1)证明:连接OD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠DBO.又AB=AC,24\n∴∠DBO=∠C,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.又DE⊥AC,∴DE⊥OD,∴EF是☉O的切线.(2)∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADC=90°.∵∠ADE+∠EAD=90°,∠C+∠EAD=90°,∴∠ADE=∠C,∴∠ADE=∠ABD.∵sin∠ADE=45=sin∠ABD=ADAB,∴45=AD10,∴AD=8.∴BD=6,在Rt△AED中,sin∠ADE=45=AEAD,∴AE=4×85=325.设BF=x.∵OD∥AE,∴△ODF∽△AEF,∴ODAE=OFAF,即5325=5+x10+x,解得x=907.故BF长为907.24\n11.解:(1)证明:∵AB是半圆O的直径,∴∠BDA=90°,∴∠B+∠DAB=90°.又∠DAC=∠B,∴∠DAC+∠DAB=90°,即∠CAB=90°,∴AC是半圆O的切线.(2)由题意知,OE∥BD,∠D=90°,∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°,∴OE⊥AD,AF=12AD.又∵AD=6,∴AF=3.∵∠AFE=∠BDA,∠CAD=∠B,∴△AEF∽△BAD,∴EFAD=AFBD.∴46=3BD,∴BD=92.12.解:(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.24\n∵DE∥AB,∴∠ABD=∠BDE.∴∠CBD=∠BDE.∵ED=EF,∴∠EDF=∠EFD.∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180°,∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90°.∴OD⊥DF.∵OD是半径,∴DF是☉O的切线.(2)连接DC,∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=∠BCD=90°.又∵∠ABD=∠CBD,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴CD=AD=4,AB=BC.∵DE=5,∴CE=DE2-DC2=3,EF=DE=5.∵∠CBD=∠BDE,24\n∴BE=DE=5.∴BF=BE+EF=10,BC=BE+EC=8.∴AB=8.∵DE∥AB,∴△ABF∽△MEF.∴ABME=BFEF.∴ME=4.∴DM=DE-EM=1.24
