提分专练(七) 以圆为背景的综合计算与证明题|类型1| 圆与切线有关的问题1.[2022·南充]如图T7-1,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CF=2,DF=4,求☉O直径的长.图T7-113\n2.[2022·沈阳]如图T7-2,BE是☉O的直径,点A和点D是☉O上的两点,过点A作☉O的切线交BE延长线于点C.(1)若∠ADE=25°,求∠C的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求☉O半径的长.图T7-2|类型2| 圆与平行四边形结合的问题3.如图T7-3,AB是半圆O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为半圆O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.图T7-313\n4.如图T7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点M是AC的中点,以AB为直径作☉O分别交AC,BM于点D,E.(1)求证:MD=ME;(2)填空:①若AB=6,当AD=2DM时,DE= ; ②连接OD,OE,当∠A的度数为 时,四边形ODME是菱形. 图T7-413\n|类型3| 圆与三角函数结合的问题5.[2022·咸宁]如图T7-5,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O与边BC,AC分别交于D,E两点,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AE=4,cosA=25,求DF的长.图T7-56.[2022·金华、丽水]如图T7-6,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tanB=12,求☉O的半径.13\n图T7-6|类型4| 圆与相似三角形结合的问题7.[2022·天门]如图T7-7,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D,AD交☉O于点E,连接CE,CB,AC.(1)求证:CE=CB;(2)若AC=25,CE=5,求AE的长.图T7-713\n8.如图T7-8,AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,且AB∥CD,BO=6cm,CO=8cm.(1)求证:BO⊥CO;(2)求BE和CG的长.图T7-813\n参考答案1.[解析](1)连接OD,欲证DE是☉O的切线,需证OD⊥DE,即需证∠ODE=90°,而∠ACB=90°,连接CD,根据“等边对等角”可知∠EDC=∠ECD,∠ODC=∠OCD,进而得出∠ODE=90°,从而得证.(2)在Rt△ODF中,利用勾股定理建立关于半径的方程求解.解:(1)证明:连接OD,CD.∵AC是☉O的直径,∴∠ADC=90°.∴∠BDC=90°.又E为BC的中点,∴DE=12BC=CE.∴∠EDC=∠ECD.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴∠ODE=90°.∴DE是☉O的切线.(2)设☉O的半径为x.在Rt△ODF中,OD2+DF2=OF2,即x2+42=(x+2)2,解得x=3.∴☉O的直径为6.13\n2.解:(1)如图,连接OA,∵AC为☉O的切线,OA是☉O半径,∴OA⊥AC.∴∠OAC=90°.∵∠ADE=25°,∴∠AOE=2∠ADE=50°.∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°.(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠AOC=2∠B,∴∠AOC=2∠C.∵∠OAC=90°,∴∠AOC+∠C=90°,3∠C=90°,∠C=30°.∴OA=12OC.设☉O的半径为r,∵CE=2,∴r=12(r+2).∴r=2.∴☉O的半径为2.3.解:(1)证明:如图,连接OD,∵点C,D为半圆O的三等分点,∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.13\n∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形,∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为半圆O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:∵OD=OC,∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形,∴CD=CO.同理:AD=AO.∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,∴四边形AOCD为菱形.4.解:(1)证明:在Rt△ABC中,∵点M是AC的中点,∴MA=MB,∴∠A=∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形,∴∠ADE+∠ABE=180°,又∠ADE+∠MDE=180°,∴∠MDE=∠MBA.同理可证:∠MED=∠A,∴∠MDE=∠MED,∴MD=ME.(2)①2[解析]由MD=ME,MA=MB,得DE∥AB,∴MDMA=DEAB,又AD=2DM,∴MDMA=13,∴DE6=13,∴DE=2.13\n②60°[解析]当∠A=60°时,△AOD是等边三角形,这时易证∠DOE=60°,△ODE和△MDE都是等边三角形,且全等,∴四边形ODME是菱形.5.解:(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠ODB=∠B.又∵AB=AC,∴∠C=∠B,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∴∠ODF=∠DFC=90°,∴DF是☉O的切线.(2)过点O作OG⊥AC,垂足为G.∴AG=12AE=2.∵cosA=AGOA,∴OA=AGcosA=5,∴OG=OA2-AG2=21.∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°,∴四边形OGFD是矩形,∴DF=OG=21.6.解:(1)证明:连接OD.13\n∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=8×12=4,∴AB=AC2+BC2=42+82=45.∴OA=45-r.在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=12,∴CD=AC·tan∠1=4×12=2,∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,∴(45-r)2=r2+20.解得r=325.故☉O的半径是325.7.解:(1)证明:连接OC,13\n∵CD为☉O的切线,∴OC⊥CD.∵AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠1=∠3.又∵OA=OC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴CE=CB.(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵AC=25,CB=CE=5,∴AB=AC2+CB2=(25)2+(5)2=5.∵∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠2,∴△ADC∽△ACB.∴ADAC=ACAB=DCCB,即AD25=255=DC5,∴AD=4,DC=2.在Rt△DCE中,DE=EC2-DC2=(5)2-22=1,∴AE=AD-ED=4-1=3.8.解:(1)证明:∵AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.∵AB,BC,CD分别与☉O相切于点E,F,G,∴BO平分∠ABC,CO平分∠DCB,13\n∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠DCB,∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠DCB)=12×180°=90°,∴∠BOC=90°,∴BO⊥CO.(2)如图,连接OF,则OF⊥BC.∴Rt△BOF∽Rt△BCO,∴BFBO=BOBC.∵在Rt△BOC中,BO=6cm,CO=8cm,∴BC=62+82=10(cm),∴BF6=610,∴BF=3.6cm.∵AB,BC,CD分别与☉O相切,∴BE=BF=3.6cm,CG=CF.∵CF=BC-BF=10-3.6=6.4(cm),∴CG=CF=6.4cm.13
