提分专练(五) 与全等三角形有关的中档计算题与证明题|类型1| 全等三角形与等腰三角形的结合问题1.如图T5-1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,CE⊥AB,AE=CE.求证:(1)△AEF≌△CEB;(2)AF=2CD.图T5-112\n2.[2022·苏州]如图T5-2,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.(1)求证:△AEC≌△BED;(2)若∠1=42°,求∠BDE的度数.图T5-23.[2022·呼和浩特]如图T5-3,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线.(1)求证:BD=CE;(2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当△ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.图T5-312\n4.如图T5-4,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.(1)求证:AD=BE;(2)求∠AEB的度数.图T5-412\n|类型2| 全等三角形与直角三角形的结合问题5.如图T5-5,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,请你添加一个适当条件 ,使△AEH≌△CEB. 图T5-56.如图T5-6,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.图T5-612\n|类型3| 全等三角形与等腰直角三角形的结合问题7.已知:如图T5-7,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.(1)求证:△ACE≌△BCD;(2)求证:2CD2=AD2+DB2.图T5-712\n8.如图T5-8,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF,延长DB交EF于点N.(1)求证:AD=AF;(2)求证:BD=EF.图T5-812\n参考答案1.证明:(1)∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠BCE+∠B=90°,∠FAE+∠B=90°,∴∠FAE=∠BCE.在△AEF和△CEB中,∠FAE=∠BCE,AE=CE,∠AEF=∠CEB,∴△AEF≌△CEB(ASA).(2)∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD.∵△AEF≌△CEB,∴AF=BC,∴AF=2CD.2.[解析](1)用ASA证明两三角形全等;(2)利用全等三角形的性质得出EC=ED,∠C=∠BDE,再利用等腰三角形的性质:等边对等角,即可求出∠C的度数,进而得到∠BDE的度数.解:(1)证明:∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.12\n在△AEC和△BED中,∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED,∴△AEC≌△BED(ASA).(2)∵△AEC≌△BED,∴EC=ED,∠C=∠BDE.在△EDC中,∵EC=ED,∠1=42°,∴∠C=∠EDC=69°,∴∠BDE=∠C=69°.3.解:(1)证明:∵AB,AC为等腰三角形的两腰,∴AB=AC.∵BD,CE分别是两腰上的中线,∴AE=AD.在△AEC与△ADB中,AE=AD,∠A=∠A,AC=AB,∴△AEC≌△ADB,∴BD=CE.(2)四边形DEMN为正方形.4.解:(1)证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=180°-2×50°=80°.12\n∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE.(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,∴∠ADC=180°-∠CDE=130°,∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=130°-50°=80°.5.AE=EC(答案不唯一) [解析]根据垂直关系,可以判断△AEH与△CEB有两对对应角相等,所以只需要找它们的一对对应边相等就可以了.∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,∴∠BEC=∠AEC=∠HDC=90°,在Rt△AEH中,∠EAH=90°-∠AHE,在Rt△CDH中,∠DCH=90°-∠DHC,又∠AHE=∠DHC,∴∠EAH=∠BCE.12\n所以根据AAS可添加AH=CB或EH=EB;根据ASA可添加AE=CE.故答案为AH=CB或EH=EB或AE=CE等.6.解:(1)证明:∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠EAD.∵DE⊥AB,∠C=90°,∴∠ACD=∠AED=90°.又∵AD=AD,∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED,∴DE=CD=1.∵∠B=30°,∠DEB=90°,∴BD=2DE=2.7.证明:(1)∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,∴AC=BC,CD=CE,∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD,∴∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中,AC=BC,∠ACE=∠BCD,CE=CD,12\n∴△ACE≌△BCD(SAS).(2)∵△ACB是等腰直角三角形,∴∠B=∠BAC=45°.∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°.∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2.由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2.8.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°.∴∠ABF=∠ACD,∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.在△ABF和△ACD中,AB=AC,∠ABF=∠ACD,BF=CD,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AD=AF.(2)由(1)知,AF=AD,△ABF≌△ACD,12\n∴∠FAB=∠DAC.∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°,∴∠EAF=∠BAD.在△AEF和△ABD中,AE=AB,∠EAF=∠BAD,AF=AD,∴△AEF≌△ABD(SAS),∴BD=EF.12
