提分专练(一) 一元二次方程根的判别式(18年20题,17年21题,16年20题)|类型1| 求证方程根的个数问题1.[2022·顺义一模]已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+2m-6=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根是负数,求m的取值范围.2.[2022·燕山一模]已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)当方程有一个根为1时,求k的值.8\n3.[2022·朝阳一模]已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+k=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若该方程有一个根是正数,求k的取值范围.4.[2022·怀柔一模]已知关于x的方程x2-6mx+9m2-9=0.(1)求证:此方程有两个不相等的实数根.(2)若此方程的两个根分别为x1,x2,其中x1>x2.若x1=2x2,求m的值.8\n|类型2| 确定参数的值或取值范围问题5.[2022·丰台一模]已知关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)如果m为非负整数,且该方程的根都是整数,求m的值.6.[2022·大兴一模]已知关于x的一元二次方程3x2-6x+1-k=0有实数根,k为负整数.(1)求k的值;(2)如果这个方程有两个整数根,求出它的根.8\n7.[2022·门头沟一模]已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且方程有两个非零的整数根,求k的值.8.[2022·房山一模]关于x的一元二次方程x2-2mx+(m-1)2=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围;(2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根.8\n9.[2022·平谷一模]关于x的一元二次方程x2+2x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)当k为正整数时,求此时方程的根.8\n参考答案1.解:(1)证明:∵Δ=-m-12-4(2m-6)=m2-2m+1-8m+24=m2-10m+25=m-52≥0,∴方程总有两个实数根.(2)∵x=(m-1)±(m-5)22=m-1±(m-5)2,∴x1=m-3,x2=2.由已知得m-3<0.∴m<3.2.解:(1)证明:因为Δ=b2-4ac=-(2k+1)2-4×1×(k2+k)=1>0,所以方程有两个不相等的实数根.(2)当x=1时,1-(2k+1)×1+k2+k=0.整理得k2-k=0,解得k1=0,k2=1,3.解:(1)证明:依题意,得Δ=(k+1)2-4k=(k-1)2.∵(k-1)2≥0,∴方程总有两个实数根.(2)由求根公式,得x1=-1,x2=-k.∵方程有一个根是正数,∴-k>0.8\n∴k<0.4.解:(1)证明:∵Δ=(-6m)2-4(9m2-9)=36m2-36m2+36=36>0,∴方程有两个不相等的实数根.(2)x=6m±362=6m±62=3m±3.∵3m+3>3m-3,∴x1=3m+3,x2=3m-3,∴3m+3=2(3m-3),∴m=3.5.解:(1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0.∴Δ=(-4)2-4×2m=16-8m>0.∴m<2.(2)∵m<2,且m为非负整数,∴m=0或1.当m=0时,方程为x2-4x=0,解得x1=0,x2=4,符合题意;当m=1时,方程为x2-4x+2=0,它的根不是整数,不合题意,舍去.综上所述,m=0.6.解:(1)根据题意,得Δ=(-6)2-4×3(1-k)≥0.解得k≥-2.∵k为负整数,∴k=-1或-2.(2)当k=-1时,不符合题意,舍去;当k=-2时,符合题意,此时方程的根为x1=x2=1.8\n7.解:(1)由题意得,Δ=16-8(k-1)≥0.∴k≤3.(2)∵k为正整数,∴k=1或2或3.当k=1时,方程2x2+4x=0有一个根为零;当k=2时,方程2x2+4x+1=0无整数根;当k=3时,方程2x2+4x+2=0有两个非零的整数根.综上所述,k=1和k=2不合题意,舍去;k=3符合题意.8.解:(1)由题意得,Δ=(-2m)2-4(m-1)2=8m-4>0,解得m>12.(2)答案不唯一,如:当m=1时,方程为x2-2x=0,解得,x1=0,x2=2.9.解:(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,∴Δ=22-4k-1=8-4k>0.∴k<2.(2)∵k为正整数,∴k=1.解方程x2+2x=0,得x1=0,x2=-2.8
