第二部分 专题三类型1 与圆有关的角平分线问题1．(2022·衡阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC，AB的延长线于点E，F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AC＝4，CE＝2，求的长度．(结果保留π)(1)证明：如答图，连接OD，答图∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE.∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．(2)解：如答图，作OG⊥AE于点G，则AG＝CG＝AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OD＝GE＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°，在Rt△AOG中，∵OA＝2AG，∴∠AOG＝30°，∴∠BOD＝60°，则的长度为＝.2．(2022·赤峰)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点O11\n在AB上，⊙O经过A，D两点，交AC于点E，交AB于点F.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径是2cm，E是的中点，求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)(1)证明：如答图，连接OD，答图∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．∵AD平分∠BAC，∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．(2)解：连接OE，OE交AD于K，∵＝，∴OE⊥AD．∵∠OAK＝∠EAK，AK＝AK，∠AKO＝∠AKE＝90°，∴△AKO≌△AKE(ASA)，∴AO＝AE＝OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE＝60°，∴S阴影＝S扇形OAE－S△AOE＝－×22＝－.3．(2022·咸宁)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AB＝2，BC＝，求DE的长．(1)证明：如答图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.11\n答图∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，∴DE是⊙O的切线．(2)解：∵在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝，∴AC＝＝5，∴OD＝.∵DE∥AC，∴∠CEG＝∠ACB，∴tan∠CEG＝tan∠ACB，∴＝，即＝，解得GE＝，∴DE＝DG＋GE＝.4．(2022·莱芜)如图，已知A，B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE＝，BE＝BG，EG＝3，求⊙O的半径．(1)证明：连接OC，如答图，答图∵BC平分∠OBD，∴∠OBC＝∠CBD．∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，11\n∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．(2)解：连接OE交AB于H，如答图，∵E为的中点，∴OE⊥AB．∵∠ABE＝∠AFE，∴tan∠ABE＝tan∠AFE＝，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE＝＝，∴设EH＝3x，BH＝4x，∴BE＝5x.∵BG＝BE＝5x，∴GH＝x，在Rt△EHG中，x2＋(3x)2＝(3)2，解得x＝3，∴EH＝9，BH＝12，设⊙O的半径为r，则OH＝r－9，在Rt△OHB中，(r－9)2＋122＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为.类型2 与圆有关的双切线问题1．(2022·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD．(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．(1)证明：如答图，设PO与DC交于点Q，∵PC，PD与⊙O相切于C，D，∴PC＝PD，OP平分∠CPD，在等腰△PCD中，PC＝PD，PQ平分∠CPD，∴PQ⊥CD于Q，即OP⊥CD．11\n(2)解：如答图，连接OC，OD，答图∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝50°，∴∠AOD＝180°－∠OAD－∠ODA＝80°.同理：∠BOC＝40°，∴∠COD＝180°－∠AOD－∠BOC＝60°，在等腰△COD中，OC＝OD，OQ⊥CD，∴∠DOQ＝∠COD＝30°.∵PD与⊙O相切于D，∴OD⊥DP，∴∠ODP＝90°，在Rt△ODP中，∠ODP＝90°，∠POD＝30°，∴OP＝＝＝＝.2．(2022·黔西南)如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A．(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，tan∠A＝，求AE的长．(1)证明：连接OD，如答图，答图11\n∵ED∥OB，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD＝OE，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.在△DOB与△COB中，∴△DOB≌△COB(SAS)，∴∠ODB＝∠OCB．∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB＝90°，∴∠ODB＝90°，∴AB是⊙O的切线．(2)解：∵∠DEO＝∠2.∴tan∠DEO＝tan∠2＝.∵⊙O的半径为1，∴OC＝1，∴BC＝.∵tan∠A＝＝，∴AC＝4BC＝4，∴AE＝AC－CE＝4－2.3．(2022·武汉)如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是直径，AB是弦，连接PB，PC，PC交AB于点E，且PA＝PB．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若∠APC＝3∠BPC，求的值．(1)证明：如答图，连接OP，OB．答图∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥OA，∴∠PAO＝90°.在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO(SSS)．∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∴PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线．(2)解：设OP交AB于K.∵AC是⊙O的直径，11\n∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．∵PA，PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO.∵OA＝OB，∴OP垂直平分线段AB，∴OK∥BC．∵AO＝OC，∴AK＝BK，∴BC＝2OK，设OK＝a，则BC＝2a.∵∠APC＝3∠BPC，∠APO＝∠OPB，∴∠OPC＝∠BPC＝∠PCB，∴BC＝PB＝PA＝2a.∵△PAK∽△POA，∴PA2＝PK·PO，设PK＝x，则有x2＋ax－4a2＝0，解得x＝a(负根舍去)，∴PK＝a.∵PK∥BC，∴＝＝.4．(2022·襄阳)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE.(1)求证：DA＝DE；(2)若AB＝6，CD＝4，求图中阴影部分的面积．(1)证明：如答图，连接OE，OC，BE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB．∵BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∴∠OBC＝∠OEC．∵BC为⊙O的切线，∴∠OEC＝∠OBC＝90°.∵OE为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.(2)解：如答图，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，11\n答图∴AD＝BF，DF＝AB＝6，∴DC＝BC＋AD＝4.∵FC＝＝2，∴BC＋AD＝BF＋FC＋AD＝AD＋FC＋AD＝2AD＋2＝4，∴AD＝，∴BC＝BF＋FC＝AD＋FC＝＋2＝3，在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，∴∠BOC＝60°，在△OEC和△OBC中，∴△OEC≌△OBC(SSS)，∴∠BOE＝2∠BOC＝120°，∴S阴影＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2×BC·OB－＝9－3π.5．(2022·新疆)如图，PA与⊙O相切于点A，过点A作AB⊥OP，垂足为C，交⊙O于点B．连接PB，AO，并延长AO交⊙O于点D，与PB的延长线交于点E.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)若OC＝3，AC＝4，求sinE的值．(1)证明：如答图，连接OB．答图∵PO⊥AB，∴AC＝BC，∴PA＝PB，在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO(SSS)，∴∠OBP＝∠OAP＝90°，11\n∴PB是⊙O的切线．(2)解：连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∵∠ACO＝90°，∴BD∥PO，且BD＝2OC＝6，在Rt△ACO中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝5，在Rt△ACO和Rt△PAO中，∴△ACO∽△PAO，∴＝，＝，∴PO＝，PA＝，∴PB＝PA＝，在△EPO与△EBD中，∵BD∥PO，∴△EPO∽△EBD，∴＝，解得EB＝，PE＝，∴sinE＝＝.类型3 与圆有关的弦切角问题1．(2022·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．(1)求证：AD是⊙O的切线．(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．(1)证明：如答图，连接OD，11\n答图∵OB＝OD，∴∠3＝∠B．∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3.∵在Rt△ACD中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD⊥AD，∴AD是⊙O的切线．(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△ABC中，AC＝BC·tanB＝4，根据勾股定理得AB＝＝4，∴OA＝4－r.在Rt△ACD中，∵tan∠1＝tanB＝，∴CD＝AC·tan∠1＝2，根据勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，在Rt△ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(4－r)2＝r2＋20，解得r＝.即⊙O的半径为.2．(2022·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝，⊙O的半径是4，求EC的长．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵∠DAC＝∠B，∴∠DAC＋∠BAD＝90°，∴∠BAC＝90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．(2)解：∵∠BCE＝∠B，∴EC＝EB，设EC＝EB＝x，11\n在Rt△ABC中，∵tan∠B＝＝，AB＝8，∴AC＝4.在Rt△AEC中，∵EC2＝AE2＋AC2，∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，∴CE＝5.3．(2022·齐齐哈尔)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，∴BC是⊙O的切线．(2)解：如答图，连接OD，∵BF＝BC＝2，且∠ADB＝90°，答图∴∠CBD＝∠FBD．∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB．∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠DBE＝∠OBE＝∠ABC＝×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝BC＝2，∴⊙O的半径为，∠BOD＝60°，∴S阴影＝S扇形DOB－S△DOB＝π×3－×3＝－.11
