课时训练21直角三角形及勾股定理限时：30分钟夯实基础1．下列各组数据中三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．3，4，5B．1，2，3C．6，7，8D．2，3，42．如图K21－1，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝( )图K21－1A．6B．62C．63D．123．如图K21－2，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为( )图K21－2A．2B．22C．2＋1D．22＋14．[2022·扬州]如图K21－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是( )图K21－3A．BC＝ECB．EC＝BEC．BC＝BED．AE＝EC11\n5．选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( )A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45°6．[2022·徐州]如图K21－4，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若∠C＝55°，则∠ABD＝ ． 图K21－47．[2022·黄冈]如图K21－5，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计)． 图K21－58．[2022·淮安]如图K21－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝5，分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P，Q，过P，Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是 ． 图K21－611\n9．[2022·荆门]如图K21－7，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD．(1)求证：△ADE≌△CDB；(2)若BC＝3，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．图K21－7能力提升10．[2022·东营]如图K21－8，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC的内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2．其中正确的是( )11\n图K21－8A．①②③④B．②④C．①②④D．①③④11．如图K21－9，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝46，则FD的长为( )图K21－9A．2B．4C．6D．2312．[2022·铜仁]在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D，E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC＝23，则AB＝ ． 图K21－1013．[2022·齐齐哈尔]如图K21－11，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD＝AD，DG＝DC，E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．11\n图K21－11拓展练习14．[2022·十堰]如图K21－12，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝62，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为 ． 图K21－1211\n15．已知点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点(不与A，B重合)，分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．(1)如图K21－13①，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ． (2)如图②，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．(3)如图③，当点P在线段BA(或AB)的延长线上时，此时(2)中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．图K21－1311\n参考答案1．B 2．A 3．B4．C [解析]根据同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE＝∠DCE，再结合∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角对等边即可得出BC＝BE．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE．故选C．5．A 6．35°7．20 [解析]如图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点B作BC⊥AE于点11\nC，则Rt△EBC中，BC＝32÷2＝16(cm)，EC＝3＋14－5＝12(cm)，所以EB＝EC2＋BC2＝20(cm)．8．1．6 [解析]连接AD，由作法可知AD＝BD，在Rt△ACD中，AC＝3，设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，由勾股定理，得CD2＋AC2＝AD2，即x2＋32＝(5－x)2，解得x＝1．6．故答案为1．6．9．解：(1)证明：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°．∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB．(2)如图，作点E关于直线AC的对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H即为符合条件的点．由作图可知：EH＋BH＝BE'，AE'＝AE，∠E'AC＝∠BAC＝30°，∴∠EAE'＝60°，∴△EAE'为等边三角形，∴EE'＝EA＝12AB，∴∠AE'B＝90°．在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝23，AE'＝AE＝3，∴BE'＝AB2－AE'2＝(23)2－(3)2＝3，∴BH＋EH的最小值为3．11\n10．A [解析]∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠DAE＋∠EAB＝∠CAB＋∠EAB，∠ABC＝∠ACB＝45°，即∠DAB＝∠EAC．∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，故①正确．∴∠ABD＋∠ECB＝∠ACE＋∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正确．∵∠ABC＝45°，∴在△EBC中，∠EBA＋∠ABC＋∠ECB＝90°，∴∠BEC＝90°，即BD⊥CE，故③正确．在Rt△BEC中，BE2＝BC2－CE2，在Rt△DEC中，CE2＝DC2－DE2，∴BE2＝BC2－CE2＝BC2－(DC2－DE2)＝BC2＋DE2－DC2．∵Rt△ABC与Rt△ADE都是等腰直角三角形，∴BC2＝2AB2，DE2＝2AD2，∴BE2＝2AD2＋2AB2－DC2＝2(AD2＋AB2)－DC2，故④正确．故选A．11．B12．4 [解析]根据CE垂直平分AD，得AC＝CD，再根据等腰三角形的三线合一得∠ACE＝∠ECD，结合角平分线定义和∠ACB＝90°，得∠ACE＝∠ECD＝∠BCD＝30°，所以∠ACD＝∠ADC＝∠A＝60°，∠B＝∠BCD＝30°，在Rt△ACB中，∠B＝30°，BC＝23，∴AB＝4．13．解：(1)证明：∵AD⊥BC于D，∴∠BDG＝∠ADC＝90°，∵BD＝AD，DG＝DC，∴△BDG≌△ADC(SAS)，∴BG＝AC．11\n∵AD⊥BC于D，E，F分别是BG，AC的中点，∴DE＝12BG，DF＝12AC，∴DE＝DF．∵DE＝DF，BD＝AD，BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SSS)，∴∠BDE＝∠ADF，∴∠EDF＝∠EDG＋∠ADF＝∠EDG＋∠BDE＝∠BDG＝90°，∴DE⊥DF．(2)∵AC＝10，∴DE＝DF＝12AC＝12×10＝5．∵∠EDF＝90°，∴EF＝DE2＋DF2＝52＋52＝52．14．163 [解析]如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD＝A'D，此时AD＋DE的值最小，就是A'E的长．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝62，∴BC＝32＋(62)2＝9，S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AF，∴3×62＝9AF，解得AF＝22，∴AA'＝2AF＝42，∵∠A'FD＝∠DEC＝90°，∠A'DF＝∠CDE，∴∠A'＝∠C，∵∠AEA'＝∠BAC＝90°，∴△AEA'∽△BAC，∴AA'A'E＝BCAC，即42A'E＝962，∴A'E＝163，即AD＋DE的最小值是163．故答案为163．15．解：(1)AE∥BF QE＝QF(2)QE＝QF．证明：如图①，延长FQ交AE于点D．∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠2．11\n∵∠3＝∠4，AQ＝BQ，∴△AQD≌△BQF，∴QD＝QF．∵AE⊥CP，∴QE为斜边FD的中线，∴QE＝12FD＝QF．(3)此时(2)中结论仍然成立．理由：如图②，延长EQ，FB交于点D．∵AE⊥CP，BF⊥CP，∴AE∥BF，∴∠1＝∠D．∵∠2＝∠3，AQ＝BQ，∴△AQE≌△BQD，∴QE＝QD．∵BF⊥CP，∴FQ为斜边DE的中线．∴QF＝12DE＝QE．11
