直角三角形与勾股定理19直角三角形与勾股定理限时:30分钟夯实基础1.[2022·柳州]如图K19-1,图中直角三角形共有( )图K19-1A.1个B.2个C.3个D.4个2.[2022·滨州]在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为( )A.5B.6C.7D.83.[2022·眉山]将一副直角三角尺按如图K19-2所示的位置放置,使含30°角的三角尺的一条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是( )图K19-2A.45°B.60°C.75°D.85°4.[2022·黄冈]如图K19-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD等于( )图K19-39\nA.2B.3C.4D.25.如图K19-4,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长,交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为( )图K19-4A.2B.3C.4D.56.[2022·聊城]如图K19-5是由8个全等的矩形组成的大正方形,线段AB的端点都在小矩形的顶点上.如果点P是某个小矩形的顶点,连接PA,PB,那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )图K19-5A.2B.3C.4D.57.如图K19-6是一个艺术窗的一部分,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大正方形的边长为5cm,则正方形A,B,C,D的面积和是 . 图K19-68.如图K19-7所示,在△ABC中,∠BAC=106°,EF,MN分别是AB,AC的垂直平分线,点E,N在BC上,则∠EAN= . 9\n图K19-79.如图K19-8,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:AC=AE;(2)若点E为AB的中点,CD=4,求BE的长.图K19-8能力提升10.[2022·青岛]如图K19-9,在三角形纸片ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB的中点,沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F.已知EF=32,则BC的长是( )图K19-99\nA.322B.32C.3D.3311.如图K19-10,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG,交CD于点F.若AB=6,BC=46,则FD的长为( )图K19-10A.2B.4C.6D.2312.[2022·吉林]如图K19-11,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C的坐标为 . 图K19-1113.[2022·黄冈]如图K19-12,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计). 图K19-1214.如图K19-13,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF,交CD于点M,连接AM.9\n(1)求证:EF=12AC;(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.图K19-13拓展练习15.已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点.(1)如图K19-14①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是 ,QE与QF的数量关系是 ; (2)如图②,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明;(3)如图③,当点P在线段BA(或AB)的延长线上时,此时(2)中的结论是否成立?请画出图形,并给予证明.图K19-149\n参考答案1.C 2.A 3.C 4.C 5.B6.B [解析]如图所示,使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,故选B.7.25cm2 [解析]如图所示,根据勾股定理可知,S正方形2+S正方形3=S正方形1,S正方形C+S正方形D=S正方形3,S正方形A+S正方形B=S9\n正方形2,∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形B=S正方形3+S正方形2=S正方形1=52=25(cm2).8.32° [解析]∵在△ABC中,∠BAC=106°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-106°=74°.∵EF,MN分别是AB,AC的垂直平分线,∴∠B=∠BAE,∠C=∠CAN,即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°.∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=106°-74°=32°.9.解:(1)证明:∵在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,∠AED=∠C=90°,∠CAD=∠EAD.在△ACD和△AED中,∠CAD=∠EAD,∠C=∠AED,CD=DE,∴△ACD≌△AED.∴AC=AE.(2)∵DE⊥AB,点E为AB的中点,∴AD=BD.∴∠B=∠DAB=∠CAD.∵∠C=90°,∴3∠B=90°,∠B=30°.∵DE=CD=4,∠DEB=90°,9\n∴BD=2DE=8.由勾股定理,得BE=82-42=43.10.B [解析]∵沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,∴∠B=∠EAF=45°.∴∠AFB=90°.∵点E为AB的中点,∴EF=12AB.又EF=32,∴AB=AC=3.∵∠BAC=90°,∴BC=32+32=32.故选B.11.B12.(-1,0) [解析]由题意知,OA=4,OB=3,∴AC=AB=5,OC=1.∴点C的坐标为(-1,0).13.20 [解析]如图,将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A',连接A'B,则A'B即为最短距离,A'B=A'D2+BD2=162+122=20(cm).14.解:(1)证明:∵CD=CB,E为BD的中点,∴CE⊥BD.∴∠AEC=90°.又∵F为AC的中点,∴EF=12AC.(2)∵∠BAC=45°,∠AEC=90°,∴∠ACE=∠BAC=45°.∴AE=CE.又∵F为AC的中点,∴EF⊥AC.∴EF为AC的垂直平分线.∴AM=CM.∴AM+DM=CM+DM=CD.又∵CD=CB,∴AM+DM=BC.15.解:(1)AE∥BF QE=QF(2)QE=QF.9\n证明:如图①,延长FQ,交AE于点D.∵AE⊥CP,BF⊥CP,∴AE∥BF.∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4,AQ=BQ,∴△AQD≌△BQF.∴QD=QF.∵AE⊥CP,∴QE为斜边FD的中线.∴QE=12FD=QF.(3)(2)中的结论仍然成立.证明:如图②,延长EQ,FB交于点D.∵AE⊥CP,BF⊥CP,∴AE∥BF.∴∠1=∠D.又∵∠2=∠3,AQ=BQ,∴△AQE≌△BQD.∴QE=QD.∵BF⊥CP,∴FQ为斜边DE的中线.∴QF=12DE=QE.9
