专题七 简单平面几何、立体几何与几何直观一、选择题1．(2022达州中考)如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为( D )A．2017πB．2034πC．3024πD．3026π2．(2022金华中考)如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域，要使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是( D )A．E处B．F处C．G处D．H处二、填空题3．(2022考试说明)如图，这是由四个相同的小立方体组成的立体图形的主视图和左视图，那么原立体图形可能是__①②④__．(把下图中正确的立体图形的序号都填在横线上)4．(2022改编)如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__1.3__m．(容器厚度忽略不计)三、解答题5\n5．(2022自贡中考)如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．解：如图所示：所画正方形即为所求．6．(河北中考)在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm(a＞1)．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB＋BA(km)，其中BP⊥l于点P；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB(km)，其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P.观察计算：(1)在方案一中，d1＝__(a＋2)__km；(用含a的式子表示)(2)在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝____km；(用含a的式子表示)探索归纳(3)①当a＝4时，d1__＜__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；②当a＝6时，d1__＞__(选填“＞”“＝”或“＜”)d2；(4)请你参考方框中的方法指导，就a(当a＞1时)的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？方法指导当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：∵m2－n2＝(m＋n)(m－n)，m＋n＞0，∴(m2－n2)与(m－n)的符号相同．当m2－n2＞0时，m－n＞0，即m＞n；当m2－n2＝0时，m－n＝0，即m＝n；当m2－n2＜0时，m－n＜0，即m＜n.5\n解：d－d＝(a＋2)2－()2＝4a－20，①当4a－20＞0，即a＞5时，d－d＞0，d1＞d2；②当4a－20＝0，即a＝5时，d－d＝0，d1＝d2；③当4a－20＜0，即a＜5时，d－d＜0，d1＜d2.综上所述，a＞5，选方案二；a＝5，两者均可；a＜5，选方案一．7．(2022河北中考)一透明的敞口正方体容器ABCD—A′B′C′D′装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图①所示)．【探究】如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________dm；(2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V液＝底面积S△BCQ×高AB)(3)求α的度数．(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)图①图②图③ 图④【拓展】在图①的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③或图④是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC＝x，BQ＝y.分别就图③和图④求y与x的函数关系式，5\n并写出相应的α的范围．【延伸】在图④的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM＝1dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3.解：(1)CQ∥BE；3；(2)V液＝×3×4×4＝24(dm3)；(3)在Rt△BCQ中，tan∠BCQ＝，∴α＝∠BCQ＝37°.答图①【拓展】当容器向左旋转时，如题图③，0°≤α≤37°，∵液体体积不变，∴(x＋y)×4×4＝24，∴y＝－x＋3，当容器向右旋转时，如题图④，同理得y＝，当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B′重合时，如答图①，由BB′＝4，且×PB×BB′×4＝24，得PB＝3，∴由tan∠PB′B＝，得∠PB′B＝37°，∴α＝∠B′PB＝53°，此时37°≤α≤53°.答图②【延伸】当α＝60°时，如答图②所示，设FN∥EB，GB′∥EB，过点G作GH⊥BB′于点H.在Rt△B′GH中，GH＝MB＝2，∠GB′B＝30°，∴HB′＝2，∴MG＝BH＝4－2＜MN，5\n此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，∵S△NFM＋S直角梯形MBB′G＝××1＋(4－2＋4)×2＝8－，∴V溢出＝24－4＝－8＞4(dm3)，∴溢出液体可以达到4dm3.5
