专题九 圆的有关计算、证明与探究一、选择题1．(2022呼和浩特中考)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为( B )A．26πB．13πC.D.(第1题图) (第3题图)2．(2022株洲中考)下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( A )A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3．(2022西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为( C )A.B．2C．2D．84．(2022咸宁中考)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( C )A．πB.πC．2πD．3π(第4题图) (第5题图)7\n5．(2022眉山中考)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为( C )A．114°B．122°C．123°D．132°6．(2022遵义中考)已知圆锥的底面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是( A )A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm27．(2022南充中考)如图，在Rt△ABC中，AC＝5cm，BC＝12cm，∠ACB＝90°，把Rt△ABC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为( B )A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm28．(2022百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( D )A．0≤b≤2B．－2≤b≤2C．－2＜b＜2D．－2＜b＜2二、填空题9．(2022大连中考)如图，在⊙O中，弦AB＝8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC＝3cm，则⊙O的半径为__5__cm.(第9题图) (第10题图)10．(2022青岛中考)如图，直线AB与CD分别与⊙O相切于B，D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为__2π－4__．11．(2022株洲中考)如图，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝__80°__．(第11题图)7\n (第12题图)12．(2022舟山中考)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，＝90°，弓形ACB(阴影部分)粘贴胶皮，则胶皮面积为__(32＋48π)cm2__．13．(2022原创)如图，B，C在⊙O上，O在等腰直角三角形ABC内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6.则⊙O的半径为____．(第13题图) (第14题图)14．如图，⊙O上有三个点A，B，C，且∠CBD＝∠ABC，P为BC上一点，PE∥AB交BD于E.若∠AOC＝60°，BE＝3时，则点P到AB的距离为____．15．如图，在⊙O内有折线OABC，OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为__20__．(第15题图) (第16题图)16．(2022海南中考)如图，AB是⊙O的弦，AB＝5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M，N分别是AB，AC的中点，则MN长的最大值是____．三、解答题7\n17．(2022遵义中考)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.(1)求证：四边形ACBP是菱形；(2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．解：(1)连接AO，BO.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵∠AOP＝∠CAO＋∠ACO，∴∠ACO＝30°，∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP，同理BC＝PB，∴AC＝BC＝BP＝AP，∴四边形ACBP是菱形；(2)连接AB交PC于D.∵四边形ACBP是菱形，∴AD⊥PC，∵OA＝1，∠AOP＝60°，∴AD＝OA＝，∴PD＝，∴PC＝3，AB＝，∴菱形ACBP的面积＝AB·PC＝.18．(2022郴州中考)如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3.(1)求证：AB平分∠OAD；(2)若点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积．(计算结果保留π)解：(1)连接OB.∵BC切⊙O于点B，7\n∴OB⊥BC.∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB＝∠OBA.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DAB＝∠OAB，∴AB平分∠OAD；(2)∵点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，∴S扇形OAB＝＝3π.19．(2022河南中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵CF∥AB，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，即CB平分∠DCF.∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC.∵BF为⊙O的切线，∴BF⊥AB.∵CF∥AB，∴BF⊥CF，∴BD＝BF；(2)∵AB＝AC＝10，CD＝4，∴AD＝AC－CD＝10－4＝6.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝102－62＝64，在Rt△BDC中，BC＝＝＝4即BC的长为4.7\n20．(2022滨州中考)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.求证：(1)直线DM是⊙O的切线；(2)DE2＝DF·DA.证明：(1)连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG.∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G.∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°.∴∠MDB＋∠BDG＝90°.∴直线DM是⊙O的切线；(2)连接BE.∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD.∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠EBD＝∠BED，∴DB＝DE.∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，∴△DBF∽△DAB，∴＝，即BD2＝DF·DA.∴DE2＝DF·DA.21．(2022湖州中考)如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E.已知BC＝，AC＝3.求：(1)AD的长；(2)图中阴影部分的面积．7\n解：(1)在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.∵BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线．∵AB是⊙O的切线，∴BD＝BC＝，∴AD＝AB－BD＝；(2)在Rt△ABC中，sinA＝＝＝，∴∠A＝30°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠AOD＝90°－∠A＝60°.∵＝tanA＝tan30°，∴＝，∴OD＝1，∴S阴影＝＝.7
