第三节 与切线有关的证明与计算姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2022·眉山)如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )A．27°B．32°C．36°D．54°2．(2022·宜昌)如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC、EC、ED，则∠CED的度数为( )A．30°B．35°C．40°D．45°3．(2022·原创)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝6，∠P＝30°，则AC的长度是( )A．3B．3C．3D.4．(2022·连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝________．5．(2022·原创)如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.7\n(1)求证：BC是∠ABE的平分线；(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求BE的长．6．(2022·郴州)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．7．(2022·保定一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为边BC上一个动点(可以包括点C但不包括点B)，以P为圆心，PB为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边AC于点E.(1)求证：AE＝DE；(2)若PB＝2，求AE的长；(3)在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．7\n8．(2022·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.(1)求证：OP⊥CD；(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．1．(2022·黔南州)如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB，交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，tanA＝，求AE的长．2．(2022·兰州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，D为BA延长线上的一点，∠ACD＝∠B.(1)求证：DC为⊙O的切线；(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sinB＝，求CF的长．7\n参考答案【基础训练】1．A 2.D 3.A 4.44°5．(1)证明：∵OC∥BE，∴∠OCB＝∠EBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠EBC，∴BC平分∠ABE.(2)解：∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵DC＝8，OC＝OA＝6，∴DO＝＝＝10，∵BE∥OC，∴△DOC∽△DBE，∴＝，即＝，解得BE＝.6．(1)证明：∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，∴∠BAD＝120°.如解图，连接AO，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠OAD＝∠BAD－∠BAO＝120°－30°＝90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线．(2)解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠ACM＝60°，∵BC＝2CO＝8，∴AC＝4，7\n∵AE⊥BC，∴AM＝AC＝2，∴AE＝2AM＝4.7．(1)证明：如解图，连接PD.∵DE切⊙P于点D，∴PD⊥DE，∴∠ADE＋∠PDB＝90°.∵∠C＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠B，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE；(2)解：连接PE，设DE＝AE＝x，则EC＝8－x，∵PB＝PD＝2，∴PC＝4，∵∠PDE＝∠C＝90°，∴ED2＋PD2＝EC2＋CP2＝PE2，∴x2＋22＝(8－x)2＋42，解得x＝，∴AE＝.(3)≤AE＜.8．(1)证明：如解图，连接OD，OC，∵PD，PC是⊙O的两条切线，∴OD⊥PD，OC⊥PC，OD＝OC，∵OP＝OP，∴Rt△POD≌Rt△POC，∴PD＝PC，∴点P，O均在线段CD的垂直平分线上，∴OP⊥CD.(2)解：在△AOD中，OA＝OD，∠DAO＝50°，∴∠DOA＝80°，同理在△BOC中，OB＝OC，∠OBC＝70°，∴∠BOC＝40°，∴∠DOC＝180°－∠DOA－∠BOC＝60°.∵Rt△POD≌Rt△POC，7\n∴∠DOP＝∠COP＝30°，在Rt△ODP中，OD＝2，∠DOP＝30°，∠ODP＝90°，∴OP＝＝＝.【拔高训练】1．(1)证明：如解图，连接OD，∵OB∥DE，∴∠COB＝∠OED，∠BOD＝∠ODE，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∴∠COB＝∠DOB，∵OD＝OC，OB＝OB，∴△BOC≌△BOD，∴∠BDO＝∠BCO.∵BC是⊙O的切线，∴∠OCB＝90°，∴∠ODB＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)解：在Rt△BOC中，∵OC＝1，tan∠COB＝tan∠CED＝，∴BC＝.∵在Rt△ACB中，tanA＝，BC＝，∴AC＝4，∴AE＝AC－EC＝4－2.2．(1)证明：如解图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCO＋∠ACO＝90°，∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBO.∵∠CBO＝∠ACD，∴∠ACD＋∠ACO＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径，7\n∴CD是⊙O的切线．(2)解：在Rt△ABC中，AB＝10，sinB＝，则AC＝6，BC＝8.∵∠CEF＝45°，∠ECF＝90°，∴∠CFE＝45°，∴CF＝CE.∵∠CFE＝∠B＋∠BDF，∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，∴∠CDF＝∠BDF.设CF＝CE＝x，∵在△CDE和△BDF中，∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠CBF，∴△CDE∽△BDF，∴＝，即＝.又∵∠CDA＝∠BDC，∠ACD＝∠CBD，∴△DAC∽△DCA，∴＝＝，∴＝，解得x＝.即CF的长为.7
