易错点9分段函数模型一、单选题 髠덀 髠덀݂ 髠덀1.已知 髠髠 则，ʌ덀髠 ，灰灰ʌ덀髠 ，灰罈ʌ덀덀的最值是 髠덀 髠덀 髠덀（）A.最大值为3，最小值罈灰灰B.最大值为罈灰灰，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值 香 灰 2.已知函数 髠덀ʌ，则满足 ሾ 髠 덀 ʌ 的实数a的个数为（） 香灰݂ A.4B.8C.12D.16二、单空题髠 灰香 덀െ݂െ 3.已知函数 髠덀ʌ若 髠덀的值域为R，则实数a的取值范围是െ log灰 െ ____________．െ 4.已知 髠덀ʌ，则 髠 髠െ덀덀ʌ______．香 ݂ 灰 灰െ െ5.已知函数 髠덀ʌ，则 髠െ덀ʌ__________． 덀െ 髠灰golሻെ三、解答题6.某蔬菜销售店每天销售某种新鲜蔬菜，已知销售利润为5元 千克．店铺规定：当天凌晨从蔬菜基地进货，如果当天上午未卖出去，那么中午全部降价处理完毕，亏损为2元 千克．由市场调查的历史记录，制作出下图所示的频率分布直方图，其中每日市场需求量的分组区间分别为ሾെ 덀，ሾ 罈 덀，ሾ罈 Ͳ 덀，ሾͲ Ͳ 덀，ሾͲ െെ ．髠െ덀假设以频率分布直方图中各组区间的中点值代表该组的需求量，请估计未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值；髠灰덀已知店铺的采购员某日购进600千克该种蔬菜，设日需求量为 髠 െ 덀千克，\n该店铺的日销售利润为y元，求y关于x的函数关系式；髠 덀假设以需求量的频率代替其概率，若利润不低于900元就能维持店铺当天的正常开销，试在髠灰덀的条件下求该日店铺能维持正常开销的概率．7.某商场对A商品近30天的日销售量 髠件덀与时间 髠天덀的销售情况进行整理，得到如下数据时间髠 덀246810日销售量髠 덀3837323330经统计分析，日销售量 髠件덀与时间 髠天덀之间具有线性相关关系．髠െ덀请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y关于t的线性回归方程 ʌ ；\n8.园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入 髠덀髠万元덀与年产量髠万台덀满足如െͺ ݂ 灰 灰 下关系式： 髠덀ʌ灰 Ͳ ．Ͳ ሻ灰 髠 െ덀髠Ⅰ덀写出年利润 髠덀髠万元덀关于年产量髠万台덀的函数解析式；髠利润ʌ销售收入成本덀髠Ⅱ덀当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．\n9.每年的12月31日晚上，数以万计的人涌向重庆解放碑，去听来年的第一声钟声，当天晚上的气球销量也是屡创新高．小明准备在今年12月31日晚上购进一批气球去解放碑商圈售卖，进价为每个5元，然后以每个10元的价格卖出，如果当天卖不完，剩下的气球则以每个3元退回批发商．髠െ덀若小明购进100个气球，求本次售卖利润 髠单位：元덀关于当天市场需求两 髠单位：个， 덀的函数解析式；髠灰덀为了使利润最大化、减少亏损，小明调查了最近10年的12月31日晚上解放碑商圈的气球需求量髠单位：个덀的数据，整理得下表：假设小明考虑购进100个气球或110个气球，分别计算这两种购进方案下最近10年的利润平均数，以此作为决策依据，他应该购进100个还是110个？10.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以髠单位：盒，덀表示这个开学季内的市场需求量，髠单位：元덀表示这个开学\n季内经销该产品的利润．髠െ덀根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；髠灰덀将表示为的函数；髠 덀根据直方图估计利润不少于元的概率．\n11.面积为െ 灰的矩形薄铁皮髠如图덀，并沿虚线 െ， 灰裁剪成A，B，C三个矩形髠个 C全等덀，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案 ：以 െ为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案 ：以 െ为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形髠各边分别与 െ或 灰垂直덀作为正四棱柱的两个底面．髠െ덀设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案 制成的圆柱的底面，求底面半径；髠灰덀设 െ的长为 ，则当x为多少时，能使按方案 制成的正四棱柱的体积最大一、单选题 髠덀 髠덀݂ 髠덀1.已知 髠髠 则，ʌ덀髠 ，灰灰ʌ덀髠 ，灰罈ʌ덀덀的最值是 髠덀 髠덀 髠덀（）A.最大值为3，最小值罈灰灰B.最大值为罈灰灰，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，又无最小值【答案】C【解析】解：由 髠덀ʌ 髠덀得罈灰ʹʹʌ灰灰，若灰灰ʌ灰罈为价等灰灰ʌʹʹ灰罈，时 ，即得解，罈ʌ灰ʌ罈．若灰灰ʌ灰 罈为价等灰灰ʌʹʹ灰罈，时 ݂，即或െʌ得解， ʌ罈香灰ʌ罈髠舍去덀 即当灰 罈ʌ덀髠 ʌ덀髠 ，时െ ，当灰灰ʌ덀髠 ʌ덀髠 ，时罈݂݂െ，\n当灰罈ʌ덀髠 ʌ덀髠 ，时罈 ，则由图象可知当罈ʌ덀െ髠 ʌ덀െ髠 值大最得取덀髠 ，时െʌ灰ʌ ，无最小值．故选C． 香 灰 2.已知函数 髠덀ʌ，则满足 ሾ 髠 덀 ʌ 的实数a的个数为（） 香灰݂ A.4B.8C.12D.16【答案】C【解析】解：易知 髠덀ʌ灰 香ʹʹ为偶函数，令 髠 덀ʌ ，则 ሾ 髠 덀 ʌ 变形为 髠 덀ʌ ， 时， 髠 덀ʌ 灰 香 ʌ ，解得 ʌെ，或3； 髠 덀是偶函数； ݂ 时， 髠 덀ʌ 的解为， ʌെ或 ；综上得， 髠 덀ʌ െ， ；当 时， 灰 香 ʌെ，方程有2解；ʌ 香 灰 െ，方程有1解； 灰 香 ʌ ，方程有2解；ʌ 香 灰 ，方程有1解． 当 时，方程 髠 덀ʌ 有6解； 髠덀是偶函数， ݂ 时， 髠 덀ʌ 也有6解；综上所述，满足 ሾ 髠 덀 ʌ 的实数a的个数为12．故选C．二、单空题髠 灰香 덀െ݂െ 3.已知函数 髠덀ʌ若 髠덀的值域为R，则实数a的取值范围是െ log灰 െ ____________．\n【答案】髠െ 灰 【解析】解：髠 有故，增递调单灰gol െʌ덀髠 ，时െ 덀 髠െ덀ʌെ，又 髠香 덀െ 髠ʌ덀髠 ，时െ݂，R为域值덀灰 ， െሻ 故有解得െ݂ 灰， 香 െ灰 െ故a的取值范围是髠െ 灰 ．െ 4.已知 髠덀ʌ，则 髠 髠െ덀덀ʌ______．香 ݂ 【答案】灰െ 【解析】解： 髠덀ʌ，香 ݂ െെ 髠െ덀ʌ香ʌ，香െെ 髠 髠െ덀덀ʌ 髠덀ʌെ ʌ．香香灰 故答案为：．灰െെെ推导出 髠െ덀ʌ香ʌ，从而 髠 髠െ덀덀ʌ 髠덀，由此能求出结果．香香灰 灰െ െ5.已知函数 髠덀ʌ，则 髠െ덀ʌ__________． 덀െ 髠灰golሻെͲ【答案】香灰Ͳ【解析】解： ʌ灰灰ʌെ，香Ͳ故答案为．香三、解答题6.某蔬菜销售店每天销售某种新鲜蔬菜，已知销售利润为5元 千克．店铺规定：当天凌晨从蔬菜基地进货，如果当天上午未卖出去，那么中午全部降价处理完毕，亏损为2元 千克．由市场调查的历史记录，制作出下图所示的频率分布直方图，其中每日市场需求量的分组区间分别为ሾെ 덀，ሾ 罈 덀，ሾ罈 Ͳ 덀，ሾͲ Ͳ 덀，ሾͲ െെ ．\n髠െ덀假设以频率分布直方图中各组区间的中点值代表该组的需求量，请估计未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值；髠灰덀已知店铺的采购员某日购进600千克该种蔬菜，设日需求量为 髠 െ 덀千克，该店铺的日销售利润为y元，求y关于x的函数关系式；髠 덀假设以需求量的频率代替其概率，若利润不低于900元就能维持店铺当天的正常开销，试在髠灰덀的条件下求该日店铺能维持正常开销的概率．【答案】解：髠െ덀由频率分布直方图可知，未来一天内该种蔬菜的日需求量的平均值ʌ灰 െ 香 灰 香 ͺ 灰 െ െʌ 千克．髠灰덀当日需求量x小于600千克时， ʌ罈灰 髠 덀ʌͲെ灰 元；当日需求量x大于或等于600千克时，Ͳ 灰െ݂ ʌ罈 ʌ 元，故 ʌ െ 髠 덀由髠灰덀知，当 ݂ 时，由 ʌͲ得， Ͳ 灰െ ；当 െ 时， ʌ ሻͲ ．所以 െ ，其概率为 灰 香 灰 െʌ Ͳ\n7.某商场对A商品近30天的日销售量 髠件덀与时间 髠天덀的销售情况进行整理，得到如下数据时间髠 덀246810日销售量髠 덀3837323330经统计分析，日销售量 髠件덀与时间 髠天덀之间具有线性相关关系．髠െ덀请根据上表提供的数据，用最小二乘法原理求出y关于t的线性回归方程 ʌ ；髠灰덀已知A商品近30天内的销售价格 髠元덀与时间 髠天덀的关系为： ʌ 灰 髠 ݂ ݂灰 덀 െ 髠灰 덀根据髠െ덀中求出的线性回归方程，预测t为何值时，A商品的日销售额最大． 髠参考公式： ʌ ʌെ ʌ 덀 灰灰 ʌെ െെ【答案】解：髠െ덀 ʌ髠灰 香 ͺ െ 덀ʌ ， ʌ髠 ͺ Ͳ 灰 덀ʌ 香，罈罈罈 ʌെ ʌ灰 ͺ 香 Ͳ 灰 ͺ െ ʌͲͺ 罈 灰ʌ灰灰 香灰 灰 ͺ灰 െ 灰ʌ灰灰 ʌെ 罈 ͺͲ 罈െ 灰 ʌെ ʌʌʌെ 罈 灰罈 灰灰灰 罈 灰 ʌെ ʌ 髠香 ʌ െ덀 ʌ香 所以y关于t的线性回归方程 ʌ 香 髠灰덀由题意日销售额髠 灰 덀髠 香 덀 ݂ ݂灰 ʌh髠 െ 덀髠 香 덀 灰 当 ݂ ݂灰 ， ， ʌ髠 灰 덀髠 髠ʌ ͺ 灰 灰 ʌ덀 香 െ 덀灰 Ͳ 所以当 ʌെ 时， ʌͲ 髠元덀\n当灰 ， ， ʌ髠灰덀 Ͳ 髠ʌ 香 香െ灰 ʌ덀 香 髠덀 െ Ͳ 所以当 ʌ灰 时， ʌെ 髠元덀综上所述，估计当 ʌ灰 天时，A商品日销售额最大值为1600元．8.园林博览会于2019年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展．在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场．已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完，每万台的销售收入 髠덀髠万元덀与年产量髠万台덀满足如െͺ ݂ 灰 灰 下关系式： 髠덀ʌ灰 Ͳ ．Ͳ ሻ灰 髠 െ덀髠Ⅰ덀写出年利润 髠덀髠万元덀关于年产量髠万台덀的函数解析式；髠利润ʌ销售收入成本덀髠Ⅱ덀当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．【答案】解：髠െ덀当 ݂ െ 灰灰ʌ덀 罈 ͺ髠덀髠 ʌ덀髠 ，时 灰 罈 ；当 ͺ髠덀髠 ʌ덀髠 ，时 灰ሻ 罈 덀Ͳ ʌ െ െͲ罈 ， െ݂ 罈 െ 灰灰 灰 故函数解析式为 髠덀ʌͲ ； 罈Ͳെ െሻ灰 െ髠灰덀 ݂ 灰 时， 髠덀ʌ灰灰 െ 罈 ʌ灰髠灰罈덀灰 െ灰 ， 髠 덀ʌ 髠灰 덀ʌെെ罈 ，Ͳ 髠 െʌ덀髠 ，时 灰ሻ െ 덀 െͲ െͲ 灰 െ െ െͲ ʌെ ， െ\nͲ 当且仅当即ʌെ ʌ灰Ͳ时等号成立， െ 髠 덀ʌ 髠灰Ͳ덀ʌെ ，因为െ ሻെെ罈 当年产量为29万台时，该公司在该产品中获得的利润最大，最大利润为1360万元．9.每年的12月31日晚上，数以万计的人涌向重庆解放碑，去听来年的第一声钟声，当天晚上的气球销量也是屡创新高．小明准备在今年12月31日晚上购进一批气球去解放碑商圈售卖，进价为每个5元，然后以每个10元的价格卖出，如果当天卖不完，剩下的气球则以每个3元退回批发商．髠െ덀若小明购进100个气球，求本次售卖利润 髠单位：元덀关于当天市场需求两 髠单位：个， 덀的函数解析式；髠灰덀为了使利润最大化、减少亏损，小明调查了最近10年的12月31日晚上解放碑商圈的气球需求量髠单位：个덀的数据，整理得下表：假设小明考虑购进100个气球或110个气球，分别计算这两种购进方案下最近10年的利润平均数，以此作为决策依据，他应该购进100个还是110个？【答案】解：髠െ덀由题意， ݂െ 时， ʌ髠െ Ͳʌ덀 െ髠덀 罈髠 덀罈灰 ሺ െ 时， ʌ罈 െ ʌ罈 ，所以本次售卖利润 髠单位：元덀关于当天市场需求量 髠单位：个， 덀的函数解析式为 ʌͲ 灰 ݂െ ；罈 െ 髠灰덀当购进100个时，利润均数为 െ 香 灰 罈 Ͳʌ香Ͳ灰；Ͳ 灰灰 ݂െെ 当购进110个时，由 ʌ，得到利润均数为 香 െ 香െ 灰 香ͺ 罈罈 െെ 灰 罈罈 香 罈罈 െʌ香ͺͲ，所以购进110个利润较大．10.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求\n量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以髠单位：盒，덀表示这个开学季内的市场需求量，髠单位：元덀表示这个开学季内经销该产品的利润．髠െ덀根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；髠灰덀将表示为的函数；髠 덀根据直方图估计利润不少于元的概率．【答案】 解：髠െ덀由频率直方图得：需求量在െ香 ～െ 频率最大，െ香 െ 故估计这个开学季内市场需求量众数为ʌെ罈 ，灰需求量为ሾെ െ灰 덀的频率ʌ 罈 灰 ʌ െ，需求量为ሾെ灰 െ香 덀的频率ʌ െ 灰 ʌ 灰，需求量为ሾെ香 െ 덀的频率ʌ െ罈 灰 ʌ ，需求量为ሾെ െͺ 덀的频率ʌ െ灰罈 灰 ʌ 灰罈，需求量为ሾെͺ 灰 덀的频率ʌ Ͳ罈 灰 ʌ െ罈．则平均数ʌെെ െ െ 灰 െ罈 െͲ 灰罈 െͲ െ罈ʌെ罈 ；髠灰덀因为每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元，所以当െ 香ʌ덀 െ髠 െ ʌ ，时 െ െ ，\n当െ ݂ 灰 时， ʌെ ʌ香ͺ ，香 െ െ െ 所以 ʌ．香ͺ െ ݂ 灰 髠 덀因为利润不少于1200元，所以香 െ 香 ，解得 െ香 ．所以由髠െ덀知利润不少于4000元的概率 ʌെ ʌ Ͳ．11.面积为െ 灰的矩形薄铁皮髠如图덀，并沿虚线 െ， 灰裁剪成A，B，C三个矩形髠个 C全等덀，用来制成一个柱体．现有两种方案：方案 ：以 െ为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案 ：以 െ为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形髠各边分别与 െ或 灰垂直덀作为正四棱柱的两个底面．髠െ덀设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案 制成的圆柱的底面，求底面半径；髠灰덀设 െ的长为 ，则当x为多少时，能使按方案 制成的正四棱柱的体积最大？【答案】解：髠െ덀设所得圆柱的半径为 ，则髠灰 灰 덀 香 ʌെ ，罈灰髠 െ덀解得 ʌ．灰髠 െ덀\n罈灰髠 െ덀答：圆柱的底面半径为dm．灰髠 െ덀髠灰덀设所得正四棱柱的底面边长为 ， 灰灰则െ 即灰 香 ݂ 灰െ 方法一：由题意知所得正四棱柱的体积 ʌ 灰 香香 ሻ灰െ ݂ 灰െ 记函数 髠덀ʌ香香 ሻ灰െ 则 髠덀在髠 灰െ 上单调递增，在ሾ灰െ 덀上单调递减，所以当 덀髠 ，时 െ灰ʌʌ灰 െ ．所以当ʌ灰െ ， ʌെ 时， ʌ灰 െ ． 灰 方法二：灰 ，从而 െ ． 灰灰灰 所得正四棱柱的体积 ʌ 髠덀ʌ灰 灰 െ ． 所以当 ʌെ ，ʌ灰െ 时， ʌ灰 െ ． 答：当x为灰െ 时，能使按方案 制成的正四棱柱的体积最大
