第十章计数原理、概率、随机变量及其分布\n第四讲 随机事件的概率 古典概型\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 随机事件的有关概念1．随机实验——对随机现象的实现和对它的观察，常用E表示．样本点——随机试验的每个可能的____________常用w表示．样本空间——全体样本点的集合，常用Ω表示．基本结果\n2．随机事件——样本空间Ω的子集，简称事件，常用A，B，……表示．基本事件——____________________的事件．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时称为事件A发生，Ω________发生，称Ω为必然事件，∅在每次试验中都________发生，称∅为不可能事件．只包含一个样本点总会不会\n知识点二 事件的关系与运算发生一定发生B⊇A(或A⊆B)A⊇BA＝B\n当且仅当事件A与事件B至少有一个发生A∪B(或A＋B)当且仅当事件A与事件B同时发生A∩B(或AB)\n不可能A∩B＝∅不可能必然事件A∩B＝∅，且A∪B＝Ω\n只有有限个相等\n3．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)P(Ω)＝_____，P(∅)＝_____.(3)如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝_____________.P(AB)＝_____.(4)如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝___________.(5)如果A⊆B，那么P(A)______P(B)．(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．10P(A)＋P(B)01－P(B)≤\n知识点四 频率与概率在任何确定次数的随机试验中，随机事件A发生的频率具有随机性．随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．称频率的这个性质为频率的稳定性，因此，可用频率fn(A)估计概率P(A)．\n求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数常用两个计数原理及排列、组合知识，另外还有列举法、列表法、树状图法等．\n××\n×√√\n题组二 走进教材2．(必修2P235例8)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为______.\nA\n\nB\n\n5．(2021·全国高考)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8C\n\n考点突破·互动探究\n(1)(多选题)(2022·山东潍坊核心素养测评)不透明的口袋内装有红色和绿色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有()A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片至多有一张红色例1AB考点一随机事件的关系——自主练透\n(2)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件D\n(3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A\n[解析](1)“2张卡片都为红色”的对立事件为“2张卡片不都为红色”即“2张卡片至多有一张红色”．排除D，“2张卡片至少有一张红色”包含“2张卡片都为红色”排除C．选AB．(2)根据互斥事件与对立事件的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件．\n\n(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．\n〔变式训练1〕(1)(2022·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品B\n(2)(2020·陕西西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B()A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件A\n[解析](1)∵“至少有n个”的反面是“至多有n－1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A的对立事件为“至多有1件次品”．(2)某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．\n例2考点二古典概型——师生共研C\nA\nA\nC\n\n\n\n[引申]本例(4)中，(1)“必须分开”改为“相邻”，则概率为____；(2)“必须分开”改为“不和‘数’相邻”的概率为______.\n求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择．\nA\nD\n\n\n例3考点三较复杂的古典概型问题——多维探究B\n\n例4B\n\n例5D\n\n角度4古典概型与统计的综合(2022·河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A类行业：85，82，77，78，83，87；B类行业：76，67，80，85，79，81；C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82.例6\n(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；(2)若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．\n\n\n较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．\nA\nA\n(4)(角度4)(2022·衡水中学模拟)某中学有初中生1800人，高中生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．\n①写出a的值；②试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；③从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．\n\n(4)①由题意得a＝0.1－0.04－0.02－0.005×2＝0.03.②∵初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.020＋0.005)×10＝0.25.∴所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.25×1800＝450(人)．同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.03＋0.005)×10＝0.35，∴所有高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.35×1200＝420(人)．\n∴该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450＋420＝870.③由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A．初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005×10＝0.05，样本人数为0.05×60＝3.记为A1，A2，A3.\n\n名师讲坛·素养提升\n有放回抽样与无放回抽样(1)(2021·山东济南一中期中)已知7件产品中有5件合格品，2件次品，为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为______.例7\nA\n\n[引申]若将本例(2)中“放回”“改为”“不放回”，则所求概率为______.\n〔变式训练4〕袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”，每次从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个小球都摸到就停止摸球．①若有放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为______；②若无放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为______.
