专题10.4随机事件的概率与古典概型【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测随机事件的概率与古典概型1.掌握事件、事件的关系与运算，掌握互斥事件、对立事件、独立事件的概念及概率的计算.了解条件概率的概念.2.了解概率与频率概念，理解古典概型，会计算古典概型中事件的概率.2022•浙江理12;2022•浙江文14.1.考查互斥事件、对立事件；2.考查古典概型概率的计算.3.备考重点：(1)掌握互斥事件、对立事件等概念；(2)掌握二项式系数的性质及其简单应用古典概型概率的计算方法.【知识清单】1.随机事件的概率1．随机事件和确定事件：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件.(1)在条件下，一定会发生的事件叫做相对于条件的必然事件．(2)在条件下，一定不会发生的事件叫做相对于条件的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．(4)在条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母表示．2．频率与概率(1)在相同的条件下重复次试验，观察某一事件是否出现，称次试验中事件出现的次数为事件出现的频数，称事件出现的比例为事件出现的频率．(2)对于给定的随机事件，如果随着试验次数的增加，事件发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作，称为事件的概率，简称为的概率．3．互斥事件与对立事件互斥事件的定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.即为不可能事件()，则称事件与事件互斥，其含义是：事件与事件在任何一次试验中不会同时发生．一般地，如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥.对立事件：若不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；即为不可能事件，而11\n为必然事件，那么事件与事件互为对立事件，其含义是：事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生．互斥事件和对立事件的区别和联系：对立事件是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件.两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.4.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件(或称事件包含于事件)(或)相等关系若且，那么称事件与事件相等并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件(或和事件)(或)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件与事件的交事件(或积事件)(或)互斥事件若为不可能事件，那么称事件与事件互斥对立事件若为不可能事件，为必然事件，那么称事件与事件互为对立事件且5.随机事件的概率事件的概率：在大量重复进行同一试验时,事件发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率,记作.由定义可知，显然必然事件的概率是，不可能事件的概率是.5．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率：.(3)不可能事件的概率：.(4)互斥事件的概率加法公式：①(互斥)，且有．②(彼此互斥)．(5)对立事件的概率：．对点练习：11\n1．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件的对立事件是（）A.1个白球2个红球B.2个白球1个红球C.3个都是红球D.至少有一个红球【答案】C2．古典概型1.一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=。基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)．2.古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．概率公式：P(A)＝.对点练习：【2022山东，理8】从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】C【考点深度剖析】11\n概率是高考热点之一，以互斥事件、对立事件的概率为主．客观题与大题都有可能考查，在大题中更加注重实际背景，考查分析、推理能力.【重点难点突破】考点1：随机事件的概率【1-1】有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一个白球；③两球中至少有一个白球.其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A【解析】根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两球都为白球”和事件“两球都不是白球”；事件“两球都为白球”和事件“两球中恰有一白球”；不可能同时发生，故它们是互斥事件。但这两个事件不是对立事件，因为他们的和事件不是必然事件。故选A.【1-2】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为，记，则下列说法正确的是()A.事件“”的概率为B.事件“是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件D.事件“”的概率为【答案】D【解析】对于A,,则概率为,选项错误;对于B,“是奇数”即向上的点数为奇数与偶数之和,其对立事件为都是奇数或都是偶数,选项错误;对于C,事件“”包含在“”中,不为互斥事件,选项错误;对于D,事件“”的点数有:,共9种,故概率为,选项正确;综上可得,选D.【1-3】【2022届江西省宜春昌黎实验学校高三第二次段考】五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A.B.C.D.【答案】C11\n【领悟技法】1.概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．2.判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系．3．对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.11\n对于个互斥事件，其加法公式为.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.5.对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．6.实际生活中的概率问题，在阅读理解的基础上，利用互斥事件分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，这类问题重在考查学生思维的灵活性和解决实际问题的能力．7.求解随机事件的概率关键是准确计算基本事件数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图列举．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．【触类旁通】【变式一】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【变式二】【2022届浙江省台州市高三上学期期末】袋子里装有编号分别为“”的个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的个球编号之和大于的概率为（）A.B.C.D.【答案】B11\n考点2古典概型【2-1】【2022天津，文3】有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种，由古典概型公式，满足题意的概率值为.本题选择C选项.【2-2】【2022北京文6】从甲、乙等名学生中随机选出人，则甲被选中的概率为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有种选法其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为.故选B.【2-3】【2022课标II，文11】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.B.C.D.【答案】D11\n【领悟技法】1.古典概型中基本事件的探求方法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．(3)排列组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识．2.计算古典概型事件的概率可分三步(1)判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；(2)分别计算基本事件的总个数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝求出事件A的概率．3.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.【触类旁通】【变式一】某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是()A.B.C.D.【答案】C11\n【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：本题选择C选项.【变式二】【2022江苏7】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是．【答案】【易错试题常警惕】易错典例：甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人一次各抽取一题，（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？易错分析：（1）错把分步原理当作分类原理来处理.（2）该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的，两人都抽取到选择题这种情况被重复计数.概率值不会大于1，这是错解.错解：（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为.（2）甲、乙中甲抽到判断题的种数是6×9种，乙抽到判断题的种数6×9种，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为12×9；又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是10×9，故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是.【解析】（1）甲从选择题中抽到一题的可能结果有个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是11\n，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为；又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有，所以概率值为.（2）甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9=90；故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是.方法二：利用对立事件事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3=12；故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是.温馨提醒：1．概率是对大量重复试验来说存在的一种规律性，但对单次试验而言，事件的发生是随机的；2．随机事件的概率，其中是试验中所有等可能出现的结果（基本事件）的个数，是所研究事件中所包含的等可能出现的结果（基本事件）个数，因此，正确区分并计算的关键是抓住“等可能”，即个基本事件及个基本事件都必须是等可能的；3．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．4．互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【学科素养提升之思想方法篇】对立统一，峰回路转——正难则反正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.11\n具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.【典例】袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？【答案】得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.试题解析：解：设任取一个小球得到红球、黑球、黄球、绿球的事件分别为，则它们彼此是互斥事件.由题意得，，，又事件与事件对立，所以，而，所以，，所以，所以，所以得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.11
