（江苏专用）2013高考数学总复习《第65讲随机事件及其概率、古典概型》基础达标演练（含解析）理苏教版A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．高一(2)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为________．解析 设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个．答案 62．(2011·盐城调研)从{1,2,3}中随机选取一个数a，从{2,3}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是________．解析 从{1,2,3}中随机选取一个数a，从{2,3}中随机选取一个数b的情形(a在前，b在后)有：(1,2)；(1,3)；(2,2)；(2,3)；(3,2)；(3,3)，共6种，满足b＞a的有(1,2)；(1,3)；(2,3)；所以b＞a的概率是＝.答案 3．(2011·苏州调研)已知集合A＝{2,5}，在A中可重复的依次取出三个数a，b，c，则“以a，b，c为边恰好构成三角形”的概率是________．解析 从A中可重复取三个数共有8种，其中(2,2,2)；(5,5,5)；(5,5,2)；(5,2,5)；(2,5,5)可构成三角形，故所求概率为P＝.答案 4．(2011·苏北四市调研)一个质地均匀的正四面体(侧棱长与底面边长相等的正三棱锥)玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字．若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是________．解析 所求概率为P＝＝.答案 5．从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是________．解析 取出的两个数是连续自然数有5种情况，则取出的两个数不是连续自然数的概率P7\n＝1－＝.答案 .6．(2011·苏北四市调研)若以连续两次掷骰子得到的点数m，n分别作为点P的横坐标和纵坐标，则点P在圆x2＋y2＝16内的概率是________．解析 (m，n)中m，n均可取1,2,3,4,5,6，这样的点共有36个，其中点(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共8个点在圆x2＋y2＝16内，故所求概率为P＝＝.答案 7．(2011·南京市金陵中学模拟)为了调查高中学生眼睛高度近视的原因，某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从全校三个年级的高度近视眼患者中，抽取若干人组成样本进行深入研究，有关数据见表(单位：人)：若从高一与高三抽取的人选中选2人进行跟踪式家访调研，则这2人都来自高三年级的概率是________.年级高度近视眼患者人数抽取人数高一18x高二362高三54y解析 由＝，得x＝1；由＝，得y＝3.故所求概率为P＝＝.答案 二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·天津卷)编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格：7\n区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；②求这2人得分之和大于50的概率．解 (1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13.从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15种．②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5种，所以P(B)＝＝.9．(2011·福建卷)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．解 (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝＝0.15，等级系数为5的恰有2件，所以c＝＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，7\n故所求的概率P(A)＝＝0.4.10．(2010·福建卷)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)若“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．解 (1)有序数组(m，n)的所有可能结果为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．(2)由am⊥(am－bn)，得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝＝.B级 综合创新备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2010·辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E，E，B将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．解析 三张卡片的排列方法有3种，则恰好排成英文单词BEE的概率为.答案 2．(2011·苏锡常镇调研)某所学校有小学部、初中部和高中部，在校小学生、初中生和高中生人数之比为5∶2∶3，且已知初中生有800人，现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为80的学生样本以了解学生对学校文体活动方面的评价，则每个高中生被抽到的概率是________．解析 设在校小学生、初中生和高中生人数分别为5x,2x和3x，则由2x＝800，得x＝400，即小学生人数为2000，高中生人数为1200人．故每个高中生被抽到的概率为P＝＝＝.答案 3．(2011·南京外国语学校调研)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为________．解析 Δ＝b2－4c≥0，且b，c在{1,2,3,4,5,6}中取值．若c＝1，则由b2≥4，得b＝2,3,4,5,6；若c＝2，则由b2≥8，得b＝3,4,5,6；7\n若c＝3，则由b2≥12，得b＝4,5,6；若c＝4，则由b2≥16，得b＝4,5,6；若c＝5，则由b2≥20，得b＝5,6；若c＝6，则由b2≥24，得b＝5,6.故所求概率为P＝＝.答案 4．(2011·安徽卷)从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．解析 假设正六边形的6个顶点为A，B，C，D，E，F，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取的4个点为顶点的四边形为矩形的有3种结果，故所求概率为.答案 5．某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为________；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为________.相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644解析 设调查小组总人数为n，由题意＝，n＝9，则x＝×9＝2，y＝×9＝3，公务员中两人分别用A、B表示，教师用C、D、E表示．从中任选2人可能的结果为(A，B)；(A，C)；(A，D)；(A，E)；(B，C)；(B，D)；(B，E)；(C，D)；(C，E)；(D，E)，共10种，其中恰有一个公务员有6种，故所求概率为P＝＝.答案 9 6．(2011·四川卷改编)在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a＝(a，b7\n)．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则＝________.解析 向量a的坐标可能有以下6种情况：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边共可作平行四边形15(个)，即n＝15.以向量a，b为邻边的平行四边形的面积S＝|a||b|sin〈a，b〉＝|a||b|·＝|a||b|·＝.分别以a＝(2,1)，b＝(4,1)；a＝(2,1)，b＝(4,3)；a＝(4,5)，b＝(2,3)为邻边的平行四边形的面积为2，故m＝3，所以＝＝.答案 二、解答题(每小题15分，共30分)7．(★)新华中学高三(1)班共有学生50名，其中男生30名、女生20名，采用分层抽样的方法选出5人参加一个座谈会．(1)求某同学被抽到的概率以及选出的男、女同学的人数；(2)座谈会结束后，决定选出2名同学作典型发言，方法是先从5人中选出1名同学发言，发言结束后再从剩下的同学中选出1名同学发言，求选出的2名同学中恰好有1名为女同学的概率．解 (1)某个同学被抽到的概率P＝＝，根据分层抽样方法，应抽取男同学3人，女同学2人．(2)记选出的3名男同学为A1，A2，A3,2名女同学为B1，B2.则基本事件是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)(B1，A3)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，A2)(B2，A3)，(B2，B1)．基本事件的总数为20个，其中满足“恰好有1名为女同学”的基本事件有12个，故所求的概率P＝＝.【点评】近几年新课标高考对概率与统计的交汇问题考查次数较多.解决此类题目步骤主要有：7\n第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层抽样、有的用到频率分布直方图等知识)；第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数；第三步：找出所求事件的个数；第四步：根据古典概型公式求解；第五步：明确规范表述结论.8．(2011·南通调研)某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：组号分组频数频率第一组[230,235)80.16第二组[235,240)①0.24第三组[240,245)15②第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10合计501.00(1)写出表中①②位置的数据；(2)为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；(3)在(2)的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．解 (1)①②位置的数据分别为12,0.3；(2)第三、四、五组参加考核人数分别为3,2,1；(3)设上述6人为a、b、c、d、e、f(其中第四组的两人分别为d，e)，则从6人中任取2人的所有情形为：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15种．记“2人中至少有一名是第四组”为事件A，则事件A所含的基本事件的种数有9种．所以P(A)＝＝，故2人中至少有一名是第四组的概率为.7
