12.2古典概型与几何概型\n-2-知识梳理双基自测2314561.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.互斥基本事件\n-3-知识梳理双基自测2314562.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件.(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性.只有有限个相等\n-4-知识梳理双基自测2314563.古典概型的概率公式\n-5-知识梳理双基自测2314564.常用结论(1)古典概型中的基本事件都是互斥的.(2)任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.\n-6-知识梳理双基自测2314565.几何概型(1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.(2)特点①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个;②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.(3)公式:P(A)=.长度\n-7-知识梳理双基自测2314566.随机模拟方法使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法.\n2-8-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.()(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.()(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为()(5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.()×√×√√\n-9-知识梳理双基自测234152.在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-10-知识梳理双基自测234153.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行,当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行,则这只蚊子安全飞行的概率是.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测234154.在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-知识梳理双基自测234155.从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数,则这两个数的和为3的倍数的概率为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-考点1考点2考点3考点4考点5考点6例1(1)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3(2)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中信a没有放入A中的概率是.思考如何求古典概型的概率?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-14-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得1.求古典概型的思路:先求出试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,再代入古典概型的概率公式.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数时,应用两个原理及排列与组合的知识进行求解.\n-15-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练1(1)从1,2,3,4,5中选出三个不同的数字组成五位数,则其中有两个数字各用两次(例如12332)的概率为()(2)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-16-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考向一古典概型与平面向量的交汇思考如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本事件有关的问题?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-17-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考向二古典概型与解析几何的交汇例3将一枚骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为.思考如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件有关的问题?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3考点4考点5考点6考向三古典概型与函数的交汇(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.思考如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转换成与概率的基本事件有关的问题?\n-19-考点1考点2考点3考点4考点5考点6(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f'(1)=a+b,所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为.\n-20-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得1.由向量的数量积公式,得出两个向量夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的基本事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了.3.开口向上的二次函数f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成f(x)的图象的对称轴大于等于-1,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的基本事件数.\n-21-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练2(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),则点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)的概率是()(2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x∈{-1,1,3},y∈{1,3,9},则a∥b的概率为;a⊥b的概率为.D\n-22-考点1考点2考点3考点4考点5考点6(3)设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b且ab≠0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线的概率为.(4)已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1,设a∈{-1,1,2,3,4,5},b∈{-2,-1,1,2,3,4},则f(x)在区间[1,+∞)内是增函数的概率为.\n-23-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解析:(1)连续掷两次骰子,以先后得到的点数m,n为点P的坐标(m,n),基本事件总数N=6×6=36,点P在圆x2+y2=17内部(不包括边界)包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共8个,\n-24-考点1考点2考点3考点4考点5考点6\n-25-考点1考点2考点3考点4考点5考点6例5(1)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()B\n-26-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解析:(1)这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为,故选B.\n-27-考点1考点2考点3考点4考点5考点6(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB=,BC=1,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点的概率为.思考如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求?解析:(2)因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射线AP落在∠CAB内,区域h为∠CAB,\n-28-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长度比计算几何概型的概率;当考察对象为线时,一般用角度比计算几何概型的概率.\n-29-考点1考点2考点3考点4考点5考点6(2)如图,在平面直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-30-考点1考点2考点3考点4考点5考点6例6(1)在棱长为2的正方体内部随机取一点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为()思考求与面积、体积有关的几何概型的基本思路是什么?(2)(2021全国Ⅰ,理8)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于的概率为()DB\n-31-考点1考点2考点3考点4考点5考点6\n-32-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得求与面积、体积有关的几何概型的基本思路:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,然后用公式\n-33-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练4(1)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为()(2)若从(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为()BB\n-34-考点1考点2考点3考点4考点5考点6\n-35-考点1考点2考点3考点4考点5考点6例7(1)从区间[-2,2]中随机选取一个实数a,则函数f(x)=4x-a·2x+1+1有零点的概率是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-36-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来.如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解决.\n-37-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练5(1)在区间[-π,π]上随机取两个数分别记为a,b,则函数f(x)=x2+2ax-b2+π2有零点的概率为()(2)任取k∈[-1,1],直线l:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,则|MN|≥2的概率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-38-考点1考点2考点3考点4考点5考点6例8从区间[0,1]中随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()思考依据题意如何用随机模拟的方法求圆周率π的近似值?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-39-考点1考点2考点3考点4考点5考点6解题心得将π看作未知数表示出四分之一的圆面积,根据几何概型的概率公式,四分之一的圆面积与矩形面积之比等于m,n之比,从而用m,n表示出π的近似值.\n-40-考点1考点2考点3考点4考点5考点6对点训练6如图,矩形的长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300粒黄豆,数得落在椭圆外的黄豆为96粒,以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案解析解析关闭答案解析关闭
