课时作业(二十六) 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．在Rt△ABC中，AB边的高为CD.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )A.a－b B．a－bC.a－b D．a－b答案：D解析：解Rt△ABC，得AB＝，AD＝.即＝＝(－)＝a－b，故应D.2．(2015·济南模拟)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为( )A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1λ2－1＝0D．λ1λ2＋1＝0答案：C解析：若A，B，C三点共线，则＝t，即λ1a＋b＝t(a＋λ2b)，∵a，b不共线，∴消去t知，λ1λ2＝1，即λ1λ2－1＝0.故应选C.3．(2015·青岛模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使＋＝0成立的是( )A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a⊥b答案：A解析：由＋＝0可知，a与b必共线且反向，结合四个选项可知，A正确．4．在△ABC中，＝2，＝m＋n，则的值为( )6\nA．2B．C．3D．答案：B解析：解法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴m＝，n＝，＝.解法二：∵＝2，∴－＝2(－)，∴＝＋，得m＝，n＝.∴＝.故应选B.5．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )A．矩形B．平行四边形C．梯形D．以上都不对答案：C解析：由已知，＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴∥，又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．故应选C.二、填空题6\n6．已知AM是△ABC的BC边上的中线，若＝m，＝n，则等于________．答案：2n－m解析：∵＋＝2，∴＝2－＝2n－m.7．如图所示，向量a－b＝________(用e1，e2表示)．答案：e1－3e2解析：由题图知，a－b＝＝e1＋(－3e2)＝e1－3e2.8．(2014·新课标全国Ⅰ)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________．答案：90°解析：∵＝(＋)，∴点O是△ABC中边BC的中点，∴BC为直径，根据圆的几何性质有〈，〉＝90°.9．(2015·盐城模拟)给出以下命题：①对于实数p和向量a，b，恒有p(a－b)＝pa－pb；②对于实数p，q和向量a，恒有(p－q)a＝pa－qa；③若pa＝pb(p∈R)，则a＝b；④若pa＝qa(p，q∈R，a≠0)，则p＝q.其中正确命题的序号为________．答案：①②④解析：根据实数与向量乘积的定义及其运算律可知，①②④正确；③不一定成立，因为当p＝0时，pa＝pb＝0，而不一定有a＝b.10．已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹所过的定点为________．答案：边BC的中点6\n解析：依题意，由＝＋λa＋λb.得－＝λ(a＋b)，即＝λ(＋)．如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，则＝λ，∴A，P，D三点共线，即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.三、解答题11．如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得AN＝AC，在AB上取点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取一点Q，使＝λ时，＝，试确定λ的值．解：＝－＝(－)＝(＋)＝.＝－＝－λ＝＋λ.又＝，∴＋λ＝，∴λ＝(－)＝.∴λ＝.12.如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.(1)用a，b表示向量，，，，；(2)求证：B，E，F三点共线．6\n解：(1)如图，延长AD到G，使＝，连接BG，CG，得到▱ABGC，所以＝a＋b，＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，＝＝b，＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，＝－＝b－a＝(b－2a)．(2)证明：由(1)可知，＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．13．已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.证明：(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．又∵与有公共点B，∴A，P，B三点共线．(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．又＝m＋n，故有m＋(n－1)＝λ－λ，6\n即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0.∵O，A，B不共线，∴，不共线，∴∴m＋n＝1.6
