第1讲平面向量的概念及其线性运算A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2022·合肥检测)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )．A.＝B.＝2C.＝3D．2＝解析 由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.答案 A2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )．A．a－b＋c－d＝0B．a－b－c＋d＝0C．a＋b－c－d＝0D．a＋b＋c＋d＝0解析 依题意，得＝，故＋＝0，即－＋－＝0，即有－＋－＝0，则a－b＋c－d＝0.选A.答案 A3．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为( )．A.B.C.D.解析 由＋2＝3，得－＝2－2，即＝2，所以＝.故选A.答案 A4．(2022·山东)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A25\n.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是( )．A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上解析 若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2022·开县模拟)设a，b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．解析 ∵＝＋＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.答案 －16.如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.解析 根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.答案 4三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB中，设＝a，＝b，＝，＝.试用a，b表示，及.解 由题意知，在平行四边形OADB中，＝＝＝(－5\n)＝(a－b)＝a－b，则＝＋＝b＋a－b＝a＋b.＝＝(＋)＝(a＋b)＝a＋b，＝－＝(a＋b)－a－b＝a－b.8．(13分)(1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．(1)证明 因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，所以＝＋＝10e1＋15e2.又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解 D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，＝2e1＋ke2，若A，B，D共线，则∥D，设D＝λ，所以⇒k＝－8.B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2022·济南一模)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的( )．A．AB边中线的中点B．AB边中线的三等分点(非重心)C．重心D．AB边的中点5\n解析 设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．答案 B2．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为( )．A.B.C.D.解析 设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．解析 ＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，∴|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．解析 ∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.5\n答案 2三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．解 ∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，又∵＝，∴＋λ＝，即λ＝，∴λ＝.6．(13分)已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点．(1)求＋＋；(2)若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，求证：＋＝3.(1)解 ∵＋＝2，又2＝－，∴＋＋＝－＋＝0.(2)证明 显然＝(a＋b)．因为G是△ABO的重心，所以＝＝(a＋b)．由P，G，Q三点共线，得∥，所以，有且只有一个实数λ，使＝λ.而＝－＝(a＋b)－ma＝a＋b，＝－＝nb－(a＋b)＝－a＋b，所以a＋b＝λ.又因为a，b不共线，所以消去λ，整理得3mn＝m＋n，故＋＝3.5
