特殊四边形的存在性问题例1：如图，已知抛物线与轴的负半轴交于点C，点E的坐标为，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】或或.【解析】在抛物线中，当时，，解得，即抛物线与轴交于两点，，点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，若四边形CMEN是平行四边形，则CE与MN互相平分，M是抛物线的顶点，即；若四边形CEMN是平行四边形，则，，M的横坐标为2，当时，，即；M的纵坐标为，当时，，即；不存在满足条件的四边形CMNE、四边形CNME、四边形CNEM是平行四边形，满足条件的点M的坐标为或或. 例2：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形.【解答】或或或.【解析】由直线表达式得，直线AB与坐标轴的夹角是45°，在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以OA为分类标准.①如图1，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点关于OA的对称点D的坐标为，；如果OA是菱形的边，又可以分为两种情况：②以点O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点，那么正方形AOCD的顶点D的坐标为，；③以点A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点和， 将点C与点向左平移4个单位得到点和例3：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.【解答】，；（2），.【解析】（1），令，解得，，直线经过点A，，即，，令，整理得，，点D的横坐标为4，直线的函数表达式为；（2）令，即，解得，，，抛物线的对称轴为，设， ①若AD是矩形的一条边，则，则，四边形ADPQ是矩形，，，即，即，；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，，，四边形APDQ是矩形，，即，综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形. 巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点C的坐标为，过点C作于点E，点D为轴正半轴的一动点，且满足，连接DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA.（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出的值.【解答】（1）或；（2）或【解析】（1）在中，，在中，，当四边形DEFA是矩形时，在中，， ①如图1，当点C在轴上方时，可得方程，解得；②如图2，当点C在轴下方时，可得方程，解得；（2）如果四边形DEFA是菱形，那么在等腰三角形ADE中，，①如图3，当点C在轴上方时，可得方程，解得；②如图3，当点C在轴下方时，可得方程，解得. 2.将抛物线沿轴翻折，得到抛物线，如图所示：（1）请直接写出抛物线的函数表达式；（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线向右平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2）.【解析】（1）；（2）存在，连接AN、NE、EM、MA，由题意可得四边形ANEM是平行四边形，如图所示： 要使四边形ANEM是矩形，必须满足，即，解得，当时，以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形.3.如图，抛物线经过两点，且与轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交轴于点E，连接BD.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作轴于点F，G是抛物线上一动点，M为轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.【解答】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）经过点，，解得，该抛物线的函数表达式为； （2）连接PC、PE，如图所示，轴，，设直线BD的解析式为，则，解得，直线BD的解析式为，设点P的坐标为，令中，解得，即，故，，解得，；（3）设点M的坐标为，则点G的坐标为，以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，，即，当时，整理得，解得，当时，整理得，解得，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为 .
