相似、全等三角形存在性问题例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线经过点A和轴正半轴上的点B，.（1）求这条抛物线的解析式；（2）连接OM，求的大小；（3）如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标.【解答】（1）；（2）；（3）或【解析】（1）过点A作轴，垂足为E，如图所示：，
，解得，故该抛物线的解析式为；（2）过点M作于点F，如图所示：；（3）当点C在轴负半轴上时，则而，此时，不存在；当点C在轴正半轴上时，①当时，即，又解得，；②当时，，即解得，，
综上，当与相似时，点C的坐标为或.例2：如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO.（1）求二次函数表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为，当为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，，点E、F在的边上，且满足与全等，求点E的坐标.【解答】（1）；（2）；（3），，，【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数解析式可得，解得，该二次函数表达式为；（2），抛物线的对称轴为，如图所示：
由两点间距离公式可得，点C是OB的中点，为等边三角形，，又点B与点B’关于CQ对称，，，在中，；（3）①当F在边OA上时：1）如图1，过点D作轴，垂足为F，，且E在线段OA上，，由（2）得，点D在线段BO上，，，则；
2）如图2，过点D作轴于F，过点D作轴，交AB于E，连接EF，过点E作轴于G，，，，，同理可得，；3）如图3，将沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，过点B作轴于M，过点E作于N，由翻折性质可得，，在中，由勾股定理得，则，；②当点F在AB上时：过点D作轴，交AB于点F，连接OF与OA，轴，由抛物线的对称性可得，，
则则，点E与点A重合，此时点E的坐标为.综上，点E的坐标为，，，.巩固练习1.如图，抛物线与轴交，与轴交于点D，顶点为C.（1）求此抛物线的解析式；（2）在轴下方的抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与相似若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2）、、【解析】（1）抛物线与轴交两点，解得，抛物线的解析式为；（2）由，得，如图1，由，可得，
与都是直角三角形，设M的横坐标是，分类讨论：①如图2，当，且M在A右侧时，，解得时，此时；②如图3，当，且M在A左侧时，，解得，不符合题意；③如图4，当，且M在A右侧时，，解得，此时；④如图5，当，且M在A左侧时，，解得，此时.
2.如图，在中，的半径为2，动点P从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，延长BA交于点D，连接AP交于点E，连接DE并延长交BC于点F.设点P运动的时间为秒，当与相似时，求的值.【解答】【解析】当时，，如图所示：与AC重合，.3.如图，已知抛物线（是实数且）与轴分别交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与轴正半轴交于点C.
（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰三角形如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得、、中任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.【解答】（1），；（2）；（3）或【解析】（1）令，即，解得，b是实数且，点A位于点B的左侧，，令，解得，；（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且是以点P为直角顶点的等腰三角形，过点P作轴于点D，过点P作于点E，连接OP，如图所示：设点P的坐标为，则，
四边形PEOD是矩形，即，由解得，，，即，解得，符合题意，；（3）假设存在这样的点Q，使得、、中任意两个三角形均相似，要使、相似，只能是，只能，此时由，要使、相似，只能或.①当时，，由得，解得；②当时，即，又，即，解得，此时符合题意，，综上，存在点或，使得、、中任意两个三角形均相似.
