相切问题例1：如图，等边的周长为，半径是1的从与AB相切于点D的位置出发，在外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则自转了（）A.2周B.3周C.4周D.5周【解答】C【解析】该圆的运动可分为两部分，在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，圆在三边运动自转的周数：，圆绕过三角形外角时，共自转了三角形外角和的度数360°，刚好一周，所以，自转了周.例2：如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为，圆P与轴相切于点O，若将圆P沿轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的个数是（）A.2B.3C.4D.5 【解答】B【解析】由题意可得，，将沿轴向左移动，如图所示：①当与该直线相切于时，，由可得，解得；②当与该直线相切于时，，由可得，解得.从到，整数点有、、，故横坐标为整数的点P共有3个.例3：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像是直线，与轴、轴分别交于A、B两点，直线过点且与直线垂直，其中.点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位；点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位.（1）求出A点的坐标和AB的长；（2）当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的与直线、轴都相切，求此时的值. 【解答】，；（2）或【解析】（1）一次函数的图像是直线，与轴、轴分别交于A、B两点，当时，即，解得，，当时，即，与轴的交点坐标为，即，；（2）由题意可得又点P在上，在运动过程中始终保持与相切.①当在轴右侧与轴相切时，设与相切于点F，连接，则，如图所示： 由可得解得，运动时间为秒，直线经过点且与直线垂直，，，，即，解得，；②当在轴左侧与轴相切时，设与相切于点E，连接，则，如图所示：由可得解得，则，运动时间为秒，即当点P、Q运动了2秒或秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的与直线、轴都相切，直线经过点且与直线垂直，在运动过程中始终保持与相切于点P，，同理可得，，即，解得，，综上，当或时，以点Q为圆心，PQ为半径的与直线、轴都相切. 巩固练习1.如图，的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点为正方形ABCD的中心，垂直AB于P点，，若将绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现了（）A.3次B.5次C.6次D.7次【解答】B【解析】的半径为1，正方形ABCD边长为6，点为正方形ABCD的中心，垂直AB于P点，设交于点M，则，是以P为圆心，以4为半径的圆相外切，如图所示：共有5次，依次是在正方形ABCD外，与边AD相切；在正方形ABCD内，与AD相切；在正方形ABCD内，与边CD相切；在正方形ABCD内，与边CB相切；在正方形ABCD外，与边BC相切. 2.如图，平面直角坐标系中，的圆心在轴上，半径为1，直线的解析式为，若沿轴向右运动，当与直线有公共点时，点A移动的最大距离是（）A.B.3C.D.【解答】A【解析】如图所示：设与直线第一次相切于点D，连接，则，直线分别交轴、轴于B、C两点，由可得，即，由对称性可得，点A移动的最大距离是.3.如图，在平面直角坐标系中，已知，过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为A、C两点，动点P从O点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为秒. （1）当时，；（2）当时，；（3）以点O为圆心，OP的长为半径作，当与ABCD的边所在直线相切时，求的值.【解答】（1）；（2）；（3）秒或秒或秒【解析】（1）由题意可得，，又，四边形DBPC是平行四边形，，即当秒时，；（2），即，解得，，即当秒时，；（3）分情况讨论：①当与DC相切时，秒；②当与BC相切时，过点O作于点E，如图所示： ，，此时秒；③当与DB相切时，过点O作交DB的延长线于点F，如图所示：由B、D的坐标可以得到直线BD的解析式为，直线OF的解析式为，，解得，，，秒，综上，当秒或秒或秒，与ABCD的边所在直线相切. 4.如图，抛物线的图像经过点，对称轴为，一次函数的图像经过点A，交轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧.（1）求抛物线的解析式；（2）若，求一次函数解析式；（3）在（2）的条件下，当时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得同时与轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2）或；（3）.【解析】（1）抛物线的对称轴为，，解得，将点代入中，解得，抛物线的解析式为；（2）P、A、B三点共线，，且点A、B位于点P的同侧，，又点P为轴上的点，，，当时，有，解得，点B的坐标为或，①将和代入中可得 ，解得，此时一次函数解析式为；②将和代入中可得，解得，此时一次函数解析式为；（3）假设存在这样的点C，使得同时与轴和直线AP都相切，设点C的坐标为，，直线AP的解析式为，当时，，解得，，当时，，，令与直线AP的切点为F，与轴的切点为E，抛物线的对称轴与直线AP的交点为D，连接CF，如图所示：，在中，，解得，故当时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得同时与轴和直线AP都相切，此时 .
