等腰三角形存在性问题例1：如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标【解答】、、【解析】方法一、几何法①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，在中，此时；方法二：代数法设，由题意可得，①当时，，解得，当时，既不满足点P在轴的正半轴，也不存在； ②当时，，解得，如图4所示，当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；③当时，，解得.总结：几何法只要图画的够好，就能快速找到目标，代数法不需要画图，但有时计算量会比较大，而且算出来的结果还要进行检验，这类存在性的问题，要能够把几何法与代数法相结合，才能使得解题又快又准。例2：如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点B，其对称轴与轴交于点D.（1）求该二次函数的解析式；（2）连接BC，在线段BC上是否存在点E，使得为等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2），，.【解析】（1）二次函数的图像与轴交于两点， ，解得，二次函数的解析式为；（2）假设在线段BC上存在点E，使得为等腰三角形，由二次函数的解析式可得对称轴为，，，由二次函数解析式可得，设BC的解析式为，将B、C两点坐标代入得，解得，BC的解析式为，设，①当时，即，解得（舍），当时，，；②当时，即，解得，当时，，；③当时，即，解得（舍），当时，，. 巩固练习1.如图所示，在矩形ABCD中，，动点P以2个单位/秒的速度从A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动，在P、Q两点移动过程中，当为等腰三角形时，则.【解答】或或【解析】由勾股定理可得，，在中，，①如图1，当时，有，解得；②如图2，当时，过点Q作于点M，则，在中，，解得；③如图3，当时，过点P作于点N，则，在中，，解得， 综上，当或或时，为等腰三角形.2.如图，直线与轴交于点A，与轴交于点B，点P是轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交轴于点Q，当是等腰三角形时，点P的坐标为.【解答】或【解析】由得，，，设，则，①当时，即，解得或，此时符合条件的点P不存在；②当时，即，解得，点P是轴正半轴上的一个动点，；③当时，即，解得，点P是轴正半轴上的一个动点，，综上，或.3.如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，直线经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点 A、D的坐标分别是.（1）求抛物线的函数表达式，并求出点B、点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，直线PB与直线交于点Q，试探究：当m为何值时，是等腰三角形.【解答】（1）抛物线解析式：，，；（2）；（3）或.【解析】抛物线经过点，，解得，抛物线的解析式为， ，该抛物线的对称轴为，又抛物线与轴交于A、B两点，且，，设直线的解析式为，经过，，直线的解析式为，又点E为抛物线与直线的交点，；（2）假设抛物线上存在点F，使得，此时点F的纵坐标为，解得，或；（3）①当时，过点E作直线交轴于点M，交轴于点H，如图所示：，又，设直线ME的解析式为，直线ME的解析式为， 令得，解得，，，即，解得；②当时，如图所示：当时，，，，，，设直线CE交轴于点N，解析式为，解得，直线CE解析式为，令得，解得，，，即解得，综上，当或时，是等腰三角形.
