特殊几何图形在坐标系中问题例1：在中，，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在轴上，直角顶点A在反比例函数的图像上，求点C的坐标【解答】，，，【解析】①当点A在第一象限时，过点A作轴，如图所示：点A在反比例函数上，点C的坐标为；②当点A在第一象限时，过点A作轴，如图所示： 点A在反比例函数上，点C的坐标为；③当点A在第三象限时，过点A作轴，如图所示：点C的坐标为；④当点A在第三象限时，过点A作轴，如图所示： 点C的坐标为，综上，，，，.例2：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点A、B，若以AB为一边的等腰三角形ABC的底角为30°，求点C的坐标【解答】，，，，，.【解析】因为一次函数的图像分别与轴、轴相交于点A、B，分别令，可求出点，点，，.（1）当AB为等腰的腰时，以B为顶点，如图1所示，①利用对称性可直接得；②在中，由勾股定理可得，则； （2）若以A为顶点，如图2所示：③作轴，且，，；④作轴，且则，；（3）以AB为等腰的底边时，如图3所示：⑤作的角平分线交轴于，，在中，；⑥过点B作轴，且，.例3：在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴相交于A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式【解答】或或或【解析】设二次函数的图像的对称轴与轴相交于点E.①当时，如图所示： 是菱形，且一边长为2，，，解得；②当时，如图所示：由菱形性质可得解得；同理可得与.巩固练习1.在中，，将它放在直角坐标系中，使斜边AB在轴上，直角顶点C在反比例函数的图像上.（1）当按如图所示放置，求出点A的坐标；（2）如果改变的放置方式，A点的坐标还可能是. 【解答】（1）；（2）或或.【解析】（1）作于点M，如图所示：在中，，，即，解得，在中，当时，，，在中，，，即；（2）如图所示， 由图可知，，，过点作轴，由（1）可得，；，综上所述，A点的坐标还可能是，，.2.在中，，OA边上的高线长为4，将放在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，点A在轴的正半轴上，那么画出相应的图形并求出点B的坐标是.【解答】【解析】建立如图所示坐标系，以O点为圆心，5为半径作圆，作直线，与分别交于、、，具体如下图所示： 由图可得3.在平面直角坐标系中，已知点，在轴上是否存在一点M，使得为等腰三角形若存在，请写出所有满足点M的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】或或或【解析】由得，如图所示：①如图1，当时，M、C关于轴对称，此时；②如图2，当时，则，此时；③如图3，当时，作于点N，则，即，解得此时， 综上，.
