直角三角形存在性问题例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.【解答】或【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，在中，，由得，即，解得，①如图2，当时，由，得，，解得；②如图3，当时，，得，，解得. 例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.【解答】，，，【解析】将代入中，解得，①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，由AB的解析式可得的解析式为，即；②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，由AB的解析式可得的解析式为，即；③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则， ，即，解得或3，，综上，，，，.巩固练习1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且，动点P在过A、B、C三点的抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得是以AC为直角边的直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）；（2）或.【解析】（1）由点A的坐标是（4，0），并且可得，设抛物线的解析式为，将A、B、C三点的坐标代入得，解得，抛物线的解析式为；（2）存在，①如图，当以C为直角顶点时，过点C作交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足为M， 设，则，解得（舍），，即；②如图，当以点A为直角顶点时，过点A作交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足为N，交轴于点F， 轴，设，则，解得（舍），，综上，点P的坐标是或.2.如图，在中，，点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，连接CE、DE.（1）求底边AB上的高；（2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长；（3）连接AE，当是直角三角形时，求AD的长.【解答】（1）；（2）或；（3）或7.【解析】（1）过点C作，垂足为H，如图所示，在中，； （2）①如图1，当时，F是AB的中点，，在中，此时；②如图2，当时，，作，垂足为点G，那么，在中，设那么，由可得，解得，此时；（3）只存在的情况，①如图3，当点E在AD的下方时，根据对称性可得此时是等腰直角三角形，；④如图4，当点E在AB上方时，根据对称性可得此时 是等腰直角三角形，.3.如图，已知抛物线的顶点为P，与轴相交于A、B两点（点A在点B的右边），点B的横坐标是1.（1）求P点的坐标及的值；（2）如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后抛物线记为，的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求的解析式；（3）如图2，点Q是轴正半轴上一点，将抛物线绕点Q旋转后得到抛物线，抛物线的顶点为N，与轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标.【解答】（1），；（2）；（3）或.【解析】（1）由抛物线可得顶点坐标，将代入中，可得，解得；（2）连接PM，作轴于点H，作轴于点G，如图所示， 点P、M关于点B成中心对称，PM过点B，且，，，顶点M的坐标是（4，5），抛物线是由抛物线关于轴对称得到的，抛物线是由抛物线平移得到的，抛物线的表达式为；（3）抛物线是由绕轴正半轴上点Q旋转后得到的，顶点N、P关于Q成中心对称，由（2）可知，点N的纵坐标为5，我们不妨设N点的坐标为，作轴于点H，作轴于点G，作于点K，如图所示： 旋转中心Q在轴上，则，顶点P的坐标为，由勾股定理可得，①当时，即，解得，；②当时，即，解得，；③；综上，当点Q的坐标为或时，以P、N、F为顶点的三角形是直角三角形.
