线段问题例1：如图，抛物线与轴交于A、B两点，过点B的直线交抛物线于点E，且，有一只蚂蚁从点A出发，先以1个单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以个单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是多少【解答】【解析】过点E作轴的垂线，过点D作轴的平行线，两直线相交于点H，如图所示： 设则，蚂蚁从D点到E点的时间为，若设蚂蚁从D点到H点的速度为1个单位/s，则蚂蚁从D点到H点色时间为，蚂蚁从D点爬到H点所用的时间和从D点爬到E点所用的时间相等，蚂蚁从A出发，先以1个单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以个单位/s的速度沿着DE爬到E点所用的时间等于它从A点以1个单位/s的速度爬到D处，再从D点以1个单位/s速度爬到H点所用的时间，作于点G，则，的最小值为的长，令时，即，解得，设直线与轴相交于点C，则，设直线BE的解析式为，将代入得，解得，，解方程组，解得或，，，蚂蚁从A点爬到G点的时间，即蚂蚁从A点到E点的最短时间为.例2：如图，已知一条直线过点，且与抛物线交于A、B两点，其实点A的横坐标为.（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；（2）过线段AB上一点P，作轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点，当点M的横坐标为何值时，的长度最大最大值是多少 【解答】（1），；（2）当点M的横坐标为6时，的长度最大，最大值为18.【解析】（1）点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为，，设直线的函数解析式为，将代入得，解得，直线的函数关系式为，直线与抛物线相交，，解得（舍），当时，，；（2）延长MP与轴交于点Q，如图所示：设，在中，由勾股定理得， 又点P与点M纵坐标相同，，解得，，，又当时，取到最大值，最大值为18，当点M的横坐标为6时，的长度最大，最大值为18.巩固练习1.如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点M相应的位置记为点.①写出点的坐标；②将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点C，设点B、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）. 【解答】（1）；（2），；（3）①；②.【解析】（1）将代入中，解得，将代入中，即，解得，该抛物线的函数表达式是；（2）将代入中，即，解得，点M是抛物线上的一个动点，且点M在第一象限内，，将代入中，解得，设M的坐标为，则当时，取得最大值，最大值为；（3）①由（2）可得；②过点B作于点D，过点作于点E，如图所示，则， 由题意可得，，，当AC最小，即时，的值最大，此时，在中，，.2.如图，在平面直角坐标系中，将二次函数的图像M沿轴翻折，把所得到的图像向右平移2个单位长度再向上平移8个单位长度，得到二次函数图像N.（1）求N的函数表达式；（2）设点是以点为圆心，1为半径的圆上一动点，二次函数的图像M与轴相交于A、B两点，求的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数. 【解答】（1）；（2）的最大值；（3）25个【解析】（1）二次函数的图像M沿轴翻折得到的函数图像表达式为，此时顶点坐标为，将函数图像向右平移2个单位长度再向上平移8个单位长度得到二次函数图像N的顶点坐标为，N的函数表达式为；（2），当PO最大时，最大，延长OC与交于点P，此时OP最大，如图所示： OP的最大值，的最大值；（3）M与N所围成封闭图形如图所示：红色点即为整点，由图可得，整点的个数为25个（包括边界）.3.如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于A、B两点，与轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D.（1）若点D的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少 【解答】（1）；（2）当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少.【解析】（1），令解得，，将点B的坐标代入直线表达式得，解得，BD所在的直线表达式为，当时，，，将点D的坐标代入抛物线表达式得，解得，该抛物线的函数表达式为；（2）过点D作轴，垂足为点N，作轴，过点F作，垂足为点G，过点A作，垂足为H，如图所示： 由（1）可得，，，由题意可知动点M的运动时间为，则t最短时为AH所在位置，AH与BD交点即为所求的F点，点A的横坐标为，将其代入直线BD的解析式解得，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少.
