山东省实验中学2022届高二期终考试理科数学试卷一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内,复数对应的点位于（D）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知，则“”是“”的（A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.直线与圆的位置关系是（C）A.相离B.相切C.相交D.与k的取值有关4.函数的图象如图，则的解析式可以为（D）A.B.C.D.5.正四棱锥P－ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为，则此球的表面积为（B）A.B.C.D.6．设斜率为的直线l与双曲线交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.7．已知函数的定义域为[a,b],值域为[0,1]，那么满足条件的有序对共有（）A.3对B.4对C.5对D.9对8.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2022个数是（）A.3948B.3953C.3955D.39589\n9.已知：奇函数的定义域为R，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为1，公差为1的等差数列，则的值等于（）A0 B1 C－１ D210.如果关于x的方程有且仅有一个正实数解，那么实数的取值范围为（）A.B.或C.D.若二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若椭圆的左焦点在抛物线的准线上，则p的值为_________．12.双曲线－＝1的左右焦点分别为F1﹑F2，在双曲线上存在点P，满足︱PF1︱＝5︱PF2︱。则此双曲线的离心率e的最大值为.13.已知，为原点，点的坐标满足，则的最大值是14.某种股票今天的股价是2元/股，以后每一天的指数都比上一天的股价增加0.2%，则100天以后这种基金的股价约是__________元/股（精确到0.01）.15.设函数的定义域分别为DJ,DE．且DJDE，若对于任意DJ,都有则称函数为在DE上的一个延拓函数.设为在上的一个延拓函数，且是奇函数，则=________________________；设,为在R上的一个延拓函数，且且是偶函数，则=________________________.三．(解答题本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)某办公室有5位教师，只有3台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（1）若上午某一时段A、B、C三位教师需要使用电脑的概率分别是、、，求这一时段A、B、C三位教师中恰有2位教师使用电脑的概率；9\n（2）若下午某一时段每位教师需要使用电脑的概率都是，求在这一时段该办公室电脑使用的平均台数和无法满足需求的概率。解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为A、B、C，因为各位教师是否使用电脑是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有2位使用电脑的概率是：……6分（2）电脑数无法满足需求，即指有4位以上（包括4位）教师同时需要使用电脑，记有4位教师同时需要使用电脑的事件为M，有5位教师同时需要使用电脑的事件为N，……………………………………8分所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）=。…………11分,即平均使用台数为台。……………………12分17．(本小题满分12分)已知角α、β满足：5sinα＋5cosα＝8，且α∈(0，)，β∈(，)，求cos(α＋β)的值.解：∵5sinα＋5cosα＝8，∴sin(α＋)＝．………………3分∵α∈(0，)，∴α＋∈(，)，∴cos(α＋)＝．………………5分又∵，………………8分∵β∈(，)，∴β＋∈(，)，∴cos(β＋)＝－，………………10分∴sin[(α＋)＋(β＋)]＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin(β＋)＝－，∴cos(α＋β)＝－．………………12分18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=900，D为棱BB1上一点，且面DA1C⊥面AA1C1C.1）求证：D点为棱BB1的中点；9\nA1C1B1ACBA1D2）若二面角A－A1D－C的平面角为600，求的值。解：1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF﹑EF。∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C∴直线DE⊥面AA1C1C………3分又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA1C1C由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，A1C1B1ACBA1DHEFG又点F是AC的中点，所以DB＝EF＝AA1＝BB1，所以D点为棱BB1的中点；………6分2）解法1：延长A1D与直线AB相交于G，易知CB⊥面AA1B1B，过B作BH⊥A1G于点H，连CH，由三垂线定理知：A1G⊥CH，由此知∠CHB为二面角A－A1D－C的平面角；………9分设AA1＝2b，AB＝BC＝；在直角三角形A1AG中，易知AB＝BG。9\n在直角三角形DBG中，BH＝＝，在直角三角形CHB中，tan∠CHB＝＝，据题意有：＝tan600＝，解得：，所以＝。………12分9\n2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA1＝2b，AB＝BC＝，A1C1B1ACBA1DyOxZ则D（0,0,b）,A1(a,0,2b),C(0,a,0)所以，………8分设面DA1C的法向量为则可取又可取平面AA1DB的法向量cos〈〉………10分据题意有：，解得：＝………12分19．（本小题满分13分）已知．⑴求函数在区间上的最小值；⑵对一切实数，恒成立，求实数a的取值范围；⑶证明对一切，恒成立．解：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………1分①，t无解；………………………………………………2分②，即时，；………………………………3分③，即时，在上单调递增，；9\n所以．………………………………………………………………5分⑵，则，设，则，，，单调递增，，，单调递减，所以，因为对一切，恒成立，所以；………………9分⑶问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．………………13分20．（本小题满分13分）设正项数列｛｝的前项和为Sn，q为非零常数。已知对任意正整数n,m，当n＞m时，总成立。1）求证数列｛｝是等比数列；2）若正整数n,m,k成等差数列，求证：＋≥。解：1）因为对任意正整数n,m，当n＞m时，总成立。所以当≥2时：，即，且也适合，又＞0，故当≥2时：（非零常数），即｛｝是等比数列。………5分2）若，则。所以≥。………7分若，则，，。………8分9\n所以≥。………10分又因为≤。所以≥≥。综上可知：若正整数n,m,k成等差数列，不等式＋≥总成立。当且仅当时取“＝”。………13分21．（本小题满分13分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON；2）对于椭圆C上任意一点M，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。解：1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：①………2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为：②………3分由①，②有：③设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：所以，即为所求。………5分9\n2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。………7分又点在椭圆C上，所以有整理为。④由③有：。所以⑤又A﹑B在椭圆上，故有⑥将⑤，⑥代入④可得：。………11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然。也就是：对于椭圆C上任意一点M，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。………13分9
