四平实验中学2022-2022学年度下学期高二期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复平面内，复数所对应的点到坐标原点的距离为（）A.B.C.D.2.一批灯泡400只，其中20W、40W、60W的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（）A．20,10，10B.15,20,5C.20,5,15D.20,15,53.曲线f(x)＝xlnx在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x－2B．y＝x－1．C．y＝2x＋2D．y＝x＋14.已知回归直线的斜率估计值是1.23，样本中心为（4,5），则回归直线的方程为（）A.B.C.D.5．设等差数列的前n项和为，若，，则等于( )A．15B．12C．36D．276.若，则（）A.2022B.2022C.2022D.20227．位于坐标原点的一个质点P，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是．质点P移动5次后位于点（2，3）的概率是（）A．B．C．D．8．将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（）A． B．C．D．9．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F10\n且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）A．[1,2]B．(1,2)C．（2，＋∞)D．[2，＋∞)10．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（ ） ＡＢＣ Ｄ11．已知函数是定义在R上可导函数，满足，且，对时。下列式子正确的是（）A．B．C．D．12.已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（）A. B. C. D.二、填空题：（本题共5个小题；每小题4分，共20分）13．命题“”的否定是．14.圆心在曲线（x>0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为。15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形．则10\n的表达式为__________。16．给出下列命题：①函数在区间[1,3]上是增函数；②函数f（x）=2x－x2的零点有3个；③函数y=sinx（x∈）图像与x轴围成的图形的面积是S=；④若～N（1，），且P（0≤≤1）=0.3，则P(≥2）=0.2．其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）：．三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（10分）在中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=,cosC=.（Ⅰ）求sinA的值;（Ⅱ）求的面积。18．（12分）为了参加年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中选出人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：班级高三（）班高三（）班高二（）班高二（）班人数（I）从这名队员中随机选出两名，求两人来自同一班级的概率；（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其中来自高三（7）班的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．19、（12分）ABPCD如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面.若.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明，若不存在，请说明理由；10\n（Ⅲ）求二面角的余弦值.20、（12分）（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2），，21、（12分）已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．22、（12分）已知函数。（1）若在处取得极值，求的值；（2）求的单调区间；（3）若且，函数，若对于，总存在使得，求实数的取值范围。10\n2022-2022年下学期高二期中考试数学（理科）参考答案一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）１Ｃ２Ｄ３Ｂ４Ｃ５Ａ ６Ａ７Ｂ８Ｂ９Ｄ１０Ｃ１１Ｄ １２Ａ二、非选择题（本题共5个小题；每小题4分，共20分）13．；14．15;16.②④.三、计算题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）18、（本题满分12分）解：（I）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件，则（II）的所有可能取值为则 ∴的分布列为：10\n012∴19、（本题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以.…………2分在底面中，因为，，所以，所以.又因为，所以平面.……………………………4分（Ⅱ）在上存在中点，使得平面，证明如下：设的中点是，连结，，，则，且.由已知，所以.又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.GHABPCD因为平面，平面，所以平面.……………8分（Ⅲ）设为中点，连结，则.又因为平面平面，所以平面.过作于，连结，则，所以所以是二面角的平面角.设，则,.在中，由相似三角形可得：，所以.所以10\n，.即二面角的余弦值为.………………………12分zyxABPCD解法二：因为，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.又因为，所以，，两两垂直.分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，，，，.（Ⅰ），，,可得，，所以，.又因为，所以平面.………………………………4分（Ⅱ）设侧棱的中点是，则，.设平面的一个法向量是，则因为，，所以取，则.所以，所以.因为平面，所以平面.………………………………8分（Ⅲ）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（Ⅱ）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为.……12分10\n20．（本题满分12分）【证明】（1）由题设，…………2分所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，…………3分所以即…………4分（2）∵，…………5分∴………………①…………8分解法一：2…………………②②－①得：………12分解法二：先验证时，……8分……10分∴………12分21、（本题满分12分）解 椭圆的标准方程为……………………3分（2）（Ⅰ）设， 10\n解得 ………………4分 P到直线的距离为，则……6分 ……………………7分（或）（Ⅱ） 消去得 ………………8分…………10分定值………………12分22、（本小题12分）解：（1）…………4（2）10\n若…………………6若或（舍去）－0＋…………………8（3）由（2）得………………9又…………………10由…………………1210
